高考數學解排列組合問題的策略

高考數學解排列組合問題的策略2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運用解題策略解決簡單的綜合應用題。提高學生解決問題分析問題的能力

3.學會應用數學思想和方法解決排列組合問題.教學目標1.進一步理解和應用分步計數原理和分類計數原理。解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略一.特殊元素優(yōu)先法和特殊位置優(yōu)限法例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.

解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數原理得=288特殊位置優(yōu)限法和特殊元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件。7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習題二.相鄰問題捆綁法:例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素捆綁為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意捆綁的元素內部要松綁。某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為（）練習題20捆在一起的相同元素不需要松綁。捆在一起的相同元素的個數若不同，便是不同的元素了。三.不相鄰問題插空法:例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端的“空”中。某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數為（）

30練習題有6個座位連成一排，安排3人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有（）種？72四.部分元素定序問題倍縮法:例人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1（插空法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？五.重復排列問題求冪法:例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n個不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種nm某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習題六.環(huán)排問題線排法例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈60七.分排問題直排法:例人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是______346練習題八.排列組合混合問題先分類再分步,先組合后排列:例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有_____種方法.根據分步計數原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192在一條南北方向的步行街同側有8塊廣告牌,廣告牌的底色可選用紅、藍兩種顏色，若只要求相鄰兩塊牌的底色不都為紅色，則不同的配色方案共有（）種55九.小集團問題先整體后局部例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內部共有

_______種排法，由分步計數原理共有

_______種排法.31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種十.相同元素分堆問題隔板法:例10.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為練習題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？2.不定方程x+y+z+w=7的正整數解的個數是多少個?十一.正難則反淘汰法:例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有____,只含有1個偶數的取法有_____,和為偶數的取法共有_________再淘汰和小于10的偶數共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?練習題十二.平均分堆問題等額有序和等額無序法:例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現重復計數的現象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數)避免重復計數。1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4

個隊,有多少分法？名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為______

十三.公共元素問題韋恩圖法:例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞

3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計數原理共有______________________種。++本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可以得到正確結果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2

號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選

2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,

這3人共有多少乘船方法.27十四.構造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2

盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.

有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.

有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有2種對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果練習題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,

然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572十六.分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數整除分析：先把30030分解成質因數的乘積形式

30030=2×3×5×7×11×13依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個因數中任取若干個組成乘積，所有的偶因數為：例17.正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共__________每個四面體有___對異面直線,正方體中的8個頂點可連成____________對異面直線66×58=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據問題分解后的結構,用分類計數原理和分步計數原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例18.25人排成5×5方隊,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3×3方隊,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，從5×5方隊中選取3行3列有_____選法所以從5×5方隊選不在同一行也不在同一列的3人有__________________選法。處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題如此繼續(xù)下去.從3×3方隊中選3人的方法有___________種。再從5×5方隊選出3×3方隊便可解決問題某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習題BA設有編號為1、2、3、4、5的五個球和編號為1、2、3、4、5的五個盒子，現將5個球投放到這五個盒子內，要求每個盒內放一個球，若球的編號恰好與盒子的編號均不同，則不同的投放方法的種數為多少？將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有多少種？我校邀請了6位同學的父母共12人,請這12名家長中的4位介紹對子女的教育情況,如果這4位中恰有一對是夫妻,那么不同的選擇方法的種數是多少?在5雙不同的手套中任取4只,則其中至少有兩只配成一副手套的取法有多少種?小結

本節(jié)課，我們對有關排列組合的幾種常見的解題策略加以復習鞏固。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數字龐大，難以驗證。同學們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的基礎。

每年進入夏季，由于氣溫高、濕度大，對幼兒的照顧要特別注意，以下是出國留學網為您搜集整理的育兒健康小常識1.不是所有寶寶都需額外補充維生素很多家長會問，孩子多大需要開始補充維生素?小嬰兒是否需要補充維生素?劉主任表示，孩子多大補充維生素沒有明確的界定，如果寶寶是吃母乳或奶粉，一般營養(yǎng)物質都足夠、全面，不需要額外補充維生素，如果出現了某些癥狀，如缺乏維生素B或維生素C等，再有針對性的補充