浙江省九校2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷（含解析）

浙江省2024學年第一學期期中聯(lián)考高二數(shù)學試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、學號和姓名；座位號寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.直線l：3x+y﹣3＝0的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C解析：直線的斜率,故傾斜角滿足,又,故.故選：C2.向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B詳解】由可得，因此可得，解得.故選：B3.若點在圓內(nèi)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D解析：由題可知，，解得.故選：D4.若直線與直線垂直，則的值是（）A.2 B.0 C.0或2 D.2或-2【答案】C解析：直線與直線垂直則，解得或.故選；C5.已知橢圓的下焦點是，上焦點是，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么（）A. B. C. D.【答案】A解析：設點，由題意可知：，所以，所以，因為線段的中點在軸上，所以由中點坐標公式可知：，所以，代入橢圓方程得：，所以點，則，，所以.故選：A.6.已知平面上兩定點，則滿足（常數(shù)且）的動點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知在中，，，則面積的最大值是（）A.4 B. C. D.【答案】D解析：在平面直角坐標系中，不妨設因為得化簡得，易知，該圓圓心，三點共線，該圓半徑，所以面積最大值是.故選：D7.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于、兩點，其中為上頂點，且，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B解析：由題意，，設則由，可得，解得，即，又在橢圓上，故，即，故，即離心率.故選：B8.一條東西走向的高速公路沿線有三座城市，其中在正西處，在正東處，臺風中心在城市西偏南方向處，且以每小時的速度沿東偏北方向直線移動，距臺風中心內(nèi)的地區(qū)必須保持一級警戒，則從地解除一級警戒到地進入一級警戒所需時間（單位：小時）在以下哪個區(qū)間內(nèi)（）A. B. C. D.12,1【答案】A解析：作與，作與，直線的方程為，故又可得，，，從地解除一級警戒到地進入一級警戒所需時間為小時.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項正確的是（）A.空間向量與垂直B.已知空間向量，，則在方向上的投影向量的模為C.已知向量，，，若可作為一組基底，則可取1D.若和分別是直線和直線方向向量，則兩直線所成夾角為【答案】BC解析：對于A，由向量與，得，不垂直，A錯誤；對于B，向量，，在方向上的投影向量，其模為，B正確；對于C，當時，，假定共面，即存在有序數(shù)對使得，則，于是，此方程無解，因此不共面，即當時，可作為一組基底，C正確；對于D，由，而，解得，直線所成夾角為，D錯誤.故選：BC10.已知橢圓的離心率為，短軸長為2，為橢圓上任意一點，，分別為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B.存在點，使得的長度為4C.橢圓上存在4個不同的點，使得D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ACD解析：對A，由題意，則，故，解得，故橢圓，則過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為，故A正確；對B，根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，即，故，即不存在點，使得的長度為4，故B錯誤；對C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點，易得該圓與橢圓有四個交點，即橢圓上存在4個不同的點，使得，故C正確；對D，的周長為，設的內(nèi)切圓半徑為，則，故當最大時最大，此時為上下頂點，，則，解得，故D正確.故選：ACD11.在數(shù)學中有“四瓣花”系列曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.曲線恰好經(jīng)過9個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）B.曲線夾在直線和直線之間C.曲線所圍成區(qū)域面積是所圍成區(qū)域面積的9倍D.曲線上任意兩點距離都不超過【答案】ABC解析：A選項，，，有，，，有，，時，有，，時，，畫出圖形，如下：經(jīng)過的整點有：，，，，，，，，，共9個，故A正確；B選項，曲線，當，，有，即，當，，有，即，當，，有，即，當，，有，即，畫出圖形，如下：其中，，故，則，故曲線由四個弓形組成，弓形的弓高為，是夾在直線和直線之間，故B正確.C選項，由A選項知，表示的圖形可以分解為一個正方形和四個半圓，其中正方形邊長為，半圓半徑為，故其面積為，同理，曲線也可以分解一個正方形和四個半圓，其中正方形邊長為，半圓半徑為，其面積為，所圍成區(qū)域面積為所圍成的區(qū)域面積的9倍，C正確；D選項，當，，有，即，當，，有，即，當，，有，即，當，，有，即，畫出圖形，如下：連接兩圓心并延長，分別與兩圓交于，則，D錯誤.故選：ABC第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線經(jīng)過的定點坐標為__________.【答案】解析：，即，則，解得，則其經(jīng)過定點.故答案為：.13.在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們兩兩所成夾角都是，則線段的長度為__________.【答案】解析：因為，所以，則，故答案為：14.若點在橢圓上，點在直線上，則的最小值是__________.【答案】解析：，當且僅當，等號成立，令，即，代入橢圓方程得，由，解得，，則（可驗證等號可?。?，故的最小值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的頂點在直線上運動，點為，點為.（1）求直線的方程；（2）的面積是否為定值？若是，求出該值.若不是，說明理由.【答案】（1）（2）4（1）解析：由，得，由點斜式方程，化簡得.（2）解析：的面積為定值，由于，故，又點在直線上運動，故點到直線的距離為定值，即為兩平行直線的距離，，，.16.在平面直角坐標系中，已知圓及點和（1）若斜率為1的直線過點，且與圓相交，截得的弦長為，求圓的半徑；（2）已知點在圓上，且，若點存在兩個位置，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（1）解析：圓化為，故，解得，所以圓心為，直線的方程為，圓心到直線距離為，由垂徑定理得，解得.（2）解析：點在以為直徑的圓上，由于點和，故此圓方程為，從而圓與圓有兩個交點，其中圓心距，只需滿足，得，即，解得17.如圖，，，且，平面平面，四邊形為正方形.（1）求證：.（2）若點在線段上，且點到平面距離為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.（1）解析：證明：如圖，連接，，，，又，，又平面平面，且交線為，平面，且平面,，而四邊形為正方形，則，且，平面，平面，平面，.（2）解析：，平面平面，且交線為，平面，平面，平面，故平面平面，從而點到平面的距離為點到直線的距離，且為，又點在線段上，且點到平面距離為，故點為線段的三等分點（靠近點）.如圖，取中點，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，.又，，設平面的法向量，則，不妨令，可得，，，設平面的法向量n=x2,則，不妨令，可得，故平面的法向量設平面與平面所成角為，，由圖可知平面與平面所成角銳角，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知橢圓左、右焦點分別為，，點在橢圓上，過的直線交橢圓于、兩點，過的直線交橢圓于、兩點，且，當直線的斜率為0時，.（1）求橢圓的方程；（2）若是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；（3）求四邊形的面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）.（1）解析：當直線的斜率為0時，直線垂直于軸，，，即，在上，所以，解得：，，所以橢圓方程為；（2）解析：由（1）F1-1,0，F(xiàn)則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值2當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值3，所以的取值范圍為（3）解析：（i）當?shù)男甭蚀嬖谇視r，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得，必有，設，，則，，；因為與相交于點，且的斜率為，所以.四邊形的面積當時，上式取等號.（ii）當?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r，四邊形的面積6.綜上，四邊形的面積的最小值為.19.在空間直角坐標系中，任何一個平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空間向量為該平面的一個法向量.有四個平面，，，（1）若平面與平面互相垂直，求實數(shù)的值；（2）請利用法向量和投影向量的相關知識證明：點到平面的距離為；（3）若四個平面，，，圍成的四面體的外接球體積為，求該四面體的體積.【答案】（1）（2）證明見