2024-2025學(xué)年陜西省西安市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則下列關(guān)系成立的是（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.中，角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，已知,則A=A. B. C. D.5.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知、均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.8.如圖，在函數(shù)的部分圖象中，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)fx=Asinωx+φ，的部分圖象如圖中實(shí)線所示，記其與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為C，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說(shuō)法正確的是（A.函數(shù)的最小正周期是πB.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于對(duì)稱(chēng)D.若圓C的半徑為，則10.已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A B. C. D.11.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，且．則____________．13.在微積分中“以直代曲”是最基本、最樸素思想方法，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”：用圓的外切正邊形和內(nèi)接正邊形“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的近似值，事實(shí)上就是用“以直代曲”的思想進(jìn)行近似計(jì)算的.借用“以直代曲”的方法，在切點(diǎn)附近可以用函數(shù)圖象的切線代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)“近似計(jì)算”.則用函數(shù)“近似計(jì)算”的值為_(kāi)______.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.14.已知，則使不等式能成立的正整數(shù)的最大值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，．設(shè)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求的值．16.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求、的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.已知在銳角三角形中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為.（1）求；（2）若，求的取值范圍.18.已知函數(shù)．（1）若，求證：在上單調(diào)遞增；（2）若，判斷極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)．19.已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年陜西省西安市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則下列關(guān)系成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合，再利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，，排除A、B；又空集是任何集合的子集，所以，排除D，因?yàn)槿魏渭隙际窃摷系淖蛹?，所以，C正確，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)定義求解即可.【詳解】，所以，所以.故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域求解即可.【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于，即，解得，所以是的充要條件.故選：C.4.中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知,則A=A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】試題分析：由余弦定理得：，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選C.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是高考?？贾R(shí)內(nèi)容.本題難度較小，解答此類(lèi)問(wèn)題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及基本計(jì)算能力等.5.已知函數(shù)，函數(shù)圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在的條件建立不等式求解即可.【詳解】函數(shù)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到，令，得，所以，若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則需，所以，所以，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)k=0時(shí)，得，解得，當(dāng)k=1時(shí)，得，解得，綜上：函數(shù)在上有零點(diǎn)時(shí)，或，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，.所以的取值范圍是.故選：A本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于難題.6.已知、均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】轉(zhuǎn)化，結(jié)合均值不等式，即可得解.【詳解】均為正實(shí)數(shù)，且，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為20.故選：C.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)其單調(diào)性可得答案.【詳解】因，則.構(gòu)造函數(shù)，，則.令，，則.則在上單調(diào)遞增，得，則在上單調(diào)遞增.又注意到，則.故選：D8.如圖，在函數(shù)的部分圖象中，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意首先得，進(jìn)一步得由得，將它們代入函數(shù)表達(dá)式結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角公式即可求解.詳解】由題意，則，所以，設(shè)Ax1,所以，解得，所以，所以，又由圖可知，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)fx=Asinωx+φ，的部分圖象如圖中實(shí)線所示，記其與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為C，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下列說(shuō)法正確的是（A.函數(shù)的最小正周期是πB.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于對(duì)稱(chēng)D.若圓C的半徑為，則【正確答案】AD【分析】A選項(xiàng)，由圖象得到，進(jìn)而得到的最小正周期；B選項(xiàng)，求出，，從而得到，判斷出函數(shù)不單調(diào)；C選項(xiàng)，求出平移后的解析式，得到當(dāng)時(shí)，，故不關(guān)于對(duì)稱(chēng)；D選項(xiàng)，由圓的半徑求出，進(jìn)而代入解析式，求出，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，由圖象可知，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故，設(shè)的最小正周期為，則，解得，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，將代入解析式得，，因?yàn)?，所以，故，解得，故，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，故在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到，當(dāng)時(shí)，，故不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，圓C的半徑為，由勾股定理得，故，將其代入中，得，解得，故，D正確.故選：AD10.已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)分析這兩個(gè)函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，A對(duì)B錯(cuò)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，C對(duì)；因?yàn)?，則，即，D對(duì).故選：ACD.11.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，的最小值為【正確答案】ACD【分析】求出，則可得f(x)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，則可畫(huà)出f(x)的圖像，利用同構(gòu)可知等價(jià)于，結(jié)合圖像則可判斷AB選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則可得，，構(gòu)造函數(shù)即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，，f(x)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，f(x)在上單調(diào)遞減，所以的圖像如圖所示：又，即，當(dāng)時(shí)，要使越小，則取，故有，故A正確；又與均可趨向于，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，且，記，，恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)成立，故C正確；，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，故D正確，故選：ACD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與交點(diǎn)，屬于難題；畫(huà)出f(x)的圖像，利用同構(gòu)可知等價(jià)于，則可求出判斷出AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，則可判斷C選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)則可判斷D選項(xiàng).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，，且．則____________．【正確答案】5【分析】根據(jù)得到，解得，然后利用坐標(biāo)求模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以?故5.13.在微積分中“以直代曲”是最基本、最樸素的思想方法，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”：用圓的外切正邊形和內(nèi)接正邊形“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的近似值，事實(shí)上就是用“以直代曲”的思想進(jìn)行近似計(jì)算的.借用“以直代曲”的方法，在切點(diǎn)附近可以用函數(shù)圖象的切線代替在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)“近似計(jì)算”.則用函數(shù)“近似計(jì)算”的值為_(kāi)______.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.【正確答案】【分析】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)非常接近，從而求得在處的切線方程，從而在附近用代替計(jì)算即可得解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線，所以在附近可以用代替，即，因?yàn)榉浅＝咏?，?故答案為.14.已知，則使不等式能成立的正整數(shù)的最大值為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】先研究的單調(diào)性，故可得，從而可求正整數(shù)的最大值.【詳解】設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，f′x>0；當(dāng)時(shí)，f故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因?yàn)?，故即，故，故，所以即，而，，故正整?shù)的最大值為，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下多變量的不等式問(wèn)題，可根據(jù)題設(shè)中的不等式的形式構(gòu)建新函數(shù)，從而得到各參數(shù)的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，．設(shè)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，且，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，然后利用三角公式整理為的形式，就可以求出周期了；（2）先通過(guò)求出，再通過(guò)展開(kāi)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】，所以的最小正周期為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，由得，所以，則．16.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求、的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）減函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）由，可求出實(shí)數(shù)、的值，然后驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)即可；（2）判斷出函數(shù)為R上的減函數(shù)，然后任取、，且，作差，變形后判斷的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得出結(jié)論；（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性可得出，求出在0,4上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則，解得，所以，，因?yàn)?，，由奇函?shù)的定義可得，可得，解得，故，則，下面驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，因此，滿(mǎn)足題意.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)為R上的減函數(shù)，理由如下：任取、，且，則，所以，，即，故函數(shù)在R上為減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】存在，使，則，所以，，則，由題意可得k>t25min=017.已知在銳角三角形中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用兩角和的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式可得，再結(jié)合為銳角三角形，可得角.（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，把表示成角的函數(shù)，結(jié)合角的范圍，可得的范圍.【小問(wèn)1詳解】由，得，得，得，得，所以，即，又，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理得，所以.因?yàn)?，所以所以因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即，故的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）若，求證：在上單調(diào)遞增；（2）若，判斷極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）求導(dǎo)，分、兩種情況，令，分析函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可證得結(jié)論成立；（2）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以．若，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，且，，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；若，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，由得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，又，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，則，，所以存在，使得，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．，又，所以存使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)．由當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，可知在上沒(méi)有極大值點(diǎn)．所以有唯一極大值點(diǎn)，故極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．思路點(diǎn)睛：若函數(shù)的零點(diǎn)存在，但無(wú)法求出，我們常先設(shè)其為，再利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理確定所在的區(qū)間，進(jìn)而解決問(wèn)題，我們把這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為“隱零點(diǎn)”問(wèn)題．利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)，不僅要求函數(shù)圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還需要結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．19.已知，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范圍.【正確答案】（1）．（2）．（3）．【詳解】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，解對(duì)數(shù)不等式即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化