專題03 四類立體幾何題型-2025年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項練習(xí)（新高考專用）

專題03四類立體幾何題型2025年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項練習(xí)立體幾何問題一般分為四類：類型1：線面平行問題；類型2：線面垂直問題；類型3：點面距離問題；類型4：線面及面面夾角問題；下面給大家對每一個類型進行秒殺處理.技巧：法向量的求算待定系數(shù)法：步驟如下：①設(shè)出平面的法向量為．②找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量，．③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組④解方程組，取其中的一個解，即得法向量．注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時，方程組有無數(shù)多個解，只需給中的一個變量賦于一個值，即可確定平面的一個法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量．秒殺：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）向量，是平面內(nèi)的兩個不共線向量，則向量是平面的一個法向量.特別注意：空間點不容易表示出來時直接設(shè)空間點的坐標，然后利用距離列三個方程求解.類型1：線面平行問題1．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點，AC=AA1=2.(1)求證：DE∥平面A1BC；(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.2．如圖，在多面體中，已知是正方形，，平面分別是的中點，且．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．3．如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面.是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點，且.(1)證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值.4．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點是母線的中點，圓柱底面半徑.(1)求證：平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.5．在直三棱柱中，，M、N分別為棱BC和的中點，點P是側(cè)面上的動點.(1)若平面AMN，試求點P的軌跡，并證明；(2)若P是線段的中點，求二面角的余弦值.類型2：線面垂直問題6．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點，，．(1)求證：平面；(2)求點D到平面ABE的距離．7．如圖，四邊形為菱形，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的大小.8．如圖，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，平面平面．(1)求證：；(2)若點E是線段上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐的體積為?9．如圖，在直三棱柱中，，，，D為棱的中點，F(xiàn)為棱BC的中點．(1)求證：BE⊥平面；(2)求三棱錐B-DEF的體積．10．如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點.(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.類型3：點面距離問題11．如圖，在底面是矩形的四棱雉中，平面，，，是PD的中點.(1)求證：平面平面PAD；(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值；(3)求B點到平面EAC的距離.12．如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點P，M分別為，上靠近的三等分點．(1)求點M到直線的距離；(2)求直線PD與平面所成角的正弦值.13．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點.(1)求二面角的余弦值；(2)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面BDF的距離；如果不平行，說明理由.14．四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，對角線AC與BD相交于點O，底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點．(1)求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；(2)證明：平面PAD，并求點E到平面PAD的距離．15．斜三棱柱的各棱長都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離．類型4：線面及面面夾角問題16．如圖，在四邊形中，，以為折痕將折起，使點D到達點P的位置，且．(1)證明：平面；(2)若M為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．17．在四棱錐中，面面，，是線段上的靠近點的三等分點.(1)求證：面；(2)若面和面的夾角為，求線段的長.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直線PD與底面ABCD所成的角為．(1)求證：平面平面PAC；(2)若，求二面角的余弦值．19．如圖，在中，，，是的中點，在上，，以為折痕把折起，使點A到達點的位置，