專題01 五類解三角形題型-2025年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)練習(xí)（新高考專用）（解析版）

專題01五類解三角形題型2025年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)（解析版）解三角形問(wèn)題一般分為五類：類型1：三角形面積最值問(wèn)題；類型2：三角形周長(zhǎng)定值及最值；類型3：三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題；類型4：三角形涉及角平分線問(wèn)題類型5：三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題。類型1：面積最值問(wèn)題技巧：正規(guī)方法：面積公式+基本不等式①②③秒殺方法：在中，已知,則：其中分別是的系數(shù)面積最值問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)1．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，.(1)求；(2)若在線段上且和都不重合，，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又，所以，?）由，得，由余弦定理知，又因?yàn)?，所以，所以，所以，如圖，設(shè),則,,，在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，故，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，?2．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.(1)求；(2)若，，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，在中，，∵，∴,即，∴，∵，∴，可得，解得：.（2）由題意及（1）得在中，，，，∴為邊的中點(diǎn)，∴,∴，即，設(shè)，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴的面積的最大值為.3．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)點(diǎn)D在邊上，且，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，即，∴，∴．（2）根據(jù)題意可得，所以平方可得．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為．4．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，．(1)求A；(2)若M是直線BC外一點(diǎn)，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以．?）由得，故．因?yàn)?，所以，所以，可?根據(jù)正弦定理可得，.設(shè)，，在中，，由余弦定理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.所以．故面積的最大值為．5．在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，D為邊上一點(diǎn)，平分．(1)求角A；(2)求面積的最小值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由，可得，整理得，則，又，則.（2）過(guò)點(diǎn)D作于E，作于F，又，則，則，則，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則，則，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則面積的最小值為．6．在①，，；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿足________．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：選①：因?yàn)?，由，可得，由正弦定理?，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，所?選②：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，可得，則，即，可得，因?yàn)?，所?選③：因?yàn)?，可得，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?（2）解：因?yàn)?，且，由余弦定理知，即，可得，又由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的面積，即的面積的最大值為.類型2：三角形周長(zhǎng)定值及最值類型一：已知一角與兩邊乘積模型 第一步：求兩邊乘積第二步：利用余弦定理求出兩邊之和類型二：已知一角與三角等量模型 第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度最值步驟如下：第一步：先表示出周長(zhǎng)第二步：利用正弦定理將邊化為角第三步：多角化一角+輔助角公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值周長(zhǎng)定值及最值問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)7．在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，為在方向上的投影向量，且滿足.(1)求的值；(2)若，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由為在方向上的投影向量，則，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得.（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，，，由（1）可知，，則，由，則，解得，，根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長(zhǎng).8．如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長(zhǎng)的最大值；(2)若，，求的值．【答案】(1)9(2)．【詳解】（1）在中，，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故周長(zhǎng)的最大值是9．（2）設(shè)，則，．在中，，在中，，兩式相除得，，因?yàn)?，∴，故?．已知的面積為，角所對(duì)的邊為．點(diǎn)為的內(nèi)心，且．(1)求的大??；(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，可得，因?yàn)?，所以．?）設(shè)周長(zhǎng)為，，如圖所示，由（1）知，所以，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，，分別是，的平分線，且，所以，在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，可得周長(zhǎng)．10．在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以；?）銳角中，，，由正弦定理得：，故，則，因?yàn)殇J角中，，則，，解得：，故，，則，故，所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.11．在中，角的對(duì)邊分別是，．(1)求C；(2)若，的面積是，求的周長(zhǎng)．【答案】(1).(2).【詳解】（1）由題意在中，，即，故，由于，所以.（2）由題意的面積是，，即，由，得，故的周長(zhǎng)為.類型3：三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題①中線長(zhǎng)定理：（兩次余弦定理推導(dǎo)可得）+（一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦值） 如：在與同用求 ②中線長(zhǎng)常用方法 ③已知，求的范圍∵為定值，故滿足橢圓的第一定義∴半短軸半長(zhǎng)軸三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.(1)若，求的值；(2)若BC邊上的中線長(zhǎng)為，求a的值.【答案】(1)(2)(1)由正弦定理，又，若為鈍角，則也為鈍角，與三角形內(nèi)角和矛盾，故，即(2)取BC邊上的中點(diǎn)，則，設(shè)在中，利用余弦定理知在中，利用余弦定理知又，則即，即，解得又故a的值為.13．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求中的最大值；(2)求邊上的中線長(zhǎng)．【答案】(1)最大值為(2)【詳解】（1），故有，由余弦定理可得，又，，故．（2）設(shè)邊上的中線為，則，，，即邊上的中線長(zhǎng)為．14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角B的值；(2)若，的面積為，求邊上中線的長(zhǎng).【答案】(1)(2)7【詳解】（1）解：由正弦定理得，，，則，，；（2），，，由余弦定理，得，，15．如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線．(1)求及線段BC的長(zhǎng)；(2)求△ADE的面積．【答案】(1)，BC＝6(2)【詳解】（1）∵，∴，∴，∴由余弦定理得（負(fù)值舍去），即BC＝6.（2）∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD為BC邊的中線，∴，∴.16．在中，，，點(diǎn)在上，.(1)若為中線，求的面積；(2)若平分，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(1)解：由余弦定理得，，解得（負(fù)值舍）.所以，，故.(2)解：由正弦定理得，即，解得.又，則，，.又平分，則.所以，，則，故.由余弦定理得.因此，.17．在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知______.(1)求角；(2)若，，求邊上的中線的長(zhǎng).注：若選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，則按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.【答案】(1)任選一個(gè)，答案均為(2)．（2）在和中分別應(yīng)用余弦定理后相加可得．【詳解】（1）選①，由正弦定理得，，，，三角形中，所以，又，所以；選②由正弦定理得，三角形中，所以，又三角形中，所以，，所以，即；選③，由余弦定理得，整理得，所以，而，；（2）由（1），，由余弦定理得：，又，，所以，所以，．類型4：三角形涉及角平分線問(wèn)題張角定理如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，連接,設(shè)，則一定有三角形涉及角平分線問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)18．設(shè)a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．(1)求角A的大??；(2)從下面兩個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分．①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，且，求面積的最小值．②設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)①；②.【詳解】（1）∵且,∴，即，∴，又，∴；（2）選①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，∴，即的面積的最小值為；②因?yàn)锳D是BC邊上的中線，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，即的面積的最大值為.19．在銳角三角形中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：∵，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴，∵為銳角，∴，∴，∴；（2）解：由題意可知，設(shè)，∴，∵，又∵，∴，在中，由正弦定理可得：，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴三角形面積的取值范圍為.20．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，滿足.（1）求；（2）若，，角的角平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理化邊為角可得：，即所以，因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?（2）在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)可得：即.解得：或(舍).所以，所以，在中，由是的角平分線，得，則，在中，由正弦定理得：即，可得：.21．已知的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且有．（1）求；（2）設(shè)是的內(nèi)角平分線，邊，的長(zhǎng)度是方程的兩根，求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理得：，即，又，，又，，，，又，；（2）為方程的兩根，，，由（1）知：，，，，即，解得：.22．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知外接圓的半徑為1，且___________.（1）求角；（2）若，是的內(nèi)角平分線，求的長(zhǎng)度.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）選擇①：，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：,所以.因?yàn)?所以，所以因?yàn)?所以.選擇②：得：，即，由正弦定理得：.由余弦定理得：，因?yàn)?所以.選擇③：由，結(jié)合正弦定理得：.因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?所以，所以因?yàn)?所以.（2）在中，由正弦定理得：,所以，所以（因?yàn)?，由?nèi)角和定理，B不可能為）.在中，由正、余弦定理建立方程組得：，即，解得：，即.類型5：三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題秒殺：解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)23．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為．(1)求；(2)延長(zhǎng)至,使，若，求的最小值．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）解：由余弦定理可得，因?yàn)榈拿娣e為，可得，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所?（2）解：如圖所示，因?yàn)?，設(shè)，則，由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．24．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且(1)求；(2)若，，求線段長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以根?jù)余弦定理，可得，所以，所以.因?yàn)?，所?（2）解法一：因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，，所以，則.令，，則.令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，，所以，線段長(zhǎng)的最大值為.解法二：設(shè)外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理，可得，所以.當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，的長(zhǎng)取得最大值.作，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，線段長(zhǎng)的最大值為.25．銳角中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若b+c=6，求BC邊上的高AD長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以或，若，則，與為銳角三角形矛盾，舍去，從而，則，又，所以；（2）由（1）知，化簡(jiǎn)