2025年高考數(shù)學(xué)考前終極押題模擬卷01（解析版）

年高考數(shù)學(xué)考前終極押題01新高考地區(qū)專用（解析版）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.2．設(shè)集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡,進(jìn)而由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】或，由得,所以，故選：D3．19世紀(jì)美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若（，），則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】結(jié)合條件及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】依題意，得，又，故．故選：B．4．若為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式及解一元二次方程求出，從而求出，再利用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡，最后代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，解得或（舍去），因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，，所?故選：C.5．已知函數(shù)，函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可先做出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論，即可確定m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，．由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的大致圖象如圖所示．設(shè)，則，由圖可知當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)實(shí)根，則最多有3個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．當(dāng)時(shí)，的解是，．有2個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，則有4個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．當(dāng)時(shí)，有3個(gè)不同的實(shí)根，，，且，，．有2個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，有3個(gè)不同的實(shí)根，則有7個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的實(shí)根，，且，．有2個(gè)不同的實(shí)根，有3個(gè)不同的實(shí)根，則有5個(gè)不同的實(shí)根，符合題意．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的實(shí)根，，且，，有2個(gè)不同的實(shí)根，，有2個(gè)不同的實(shí)根，則有4個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)實(shí)根，則最多有3個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意，綜上，m的取值范圍是．故選：C.6．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【分析】首先寫出、展開式的通項(xiàng)，將兩個(gè)通項(xiàng)相乘，令，求出、，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為,展開式的通項(xiàng)為,所以，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為．故選：D7．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上．若．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先構(gòu)造函數(shù)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，解之即可.【詳解】因?yàn)?所以,設(shè)可得,為偶函數(shù)在上有，，故在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞減，由得，即，，即，,解得.故選：A.8．如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左邊），且．下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的最小值為B．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積不變C．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使得D．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角為定值【答案】C【分析】對(duì)A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對(duì)B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷.對(duì)C：由反證法判斷；對(duì)D：平面即為平面，平面即為平面，從而得出二面角為定值.【詳解】對(duì)A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)樵谏?，且，，可設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，即，取，則，平面的法向量為，所以．設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最小值，故A說法正確．對(duì)B：因?yàn)椋c(diǎn)A到平面的距離為，所以體積為，即體積為定值，故B說法正確．對(duì)C：若，則四點(diǎn)共面，與和是異面直線矛盾，故C說法錯(cuò)誤．對(duì)D：連接，平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小保持不變，故D說法正確．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線是圖象的一條對(duì)稱軸B．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到C．若，則的最小值為D．方程有3個(gè)實(shí)根【答案】BCD【詳解】由圖可知，，所以，又圖象過點(diǎn)，所以，，即，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以直線不是的對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；的圖象向左平移個(gè)單位得，B正確；因?yàn)椋员貫橐粋€(gè)為最大值，一個(gè)為最小值，所以的最小值為，C正確；作函數(shù)如圖，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，結(jié)合圖象可知，函數(shù)與有且只有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：BCD10．定義在R上的函數(shù)，滿足，，，，則（

）A．是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B．2是的一個(gè)周期C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．若，且，，則n的最小值為2【答案】ABC【分析】由已知可推得關(guān)于直線對(duì)稱，.又有.進(jìn)而得出，即有，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)的周期可得出的周期為4，結(jié)合的對(duì)稱性，即可得出A項(xiàng)；由的對(duì)稱中心，即可得出關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合的性質(zhì)，即可得出C項(xiàng)；根據(jù)的周期性以及對(duì)稱性可得，，然后分討論求解，即可判斷D項(xiàng).【詳解】由可得，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，即關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以有，所以有，所以.又由可得，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，的周期為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于A項(xiàng)，由已知周期為2，所以的周期為4.因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故A項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以有，所以函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由C知，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，，所以.又的周期為4，所以對(duì)，.因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，有.因?yàn)椋裕粷M足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意.故n的最小值為3，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．平面與平面的交線垂直于C．直線，與平面所成角相等D．點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在正方體的內(nèi)部【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，可證明平面，然后注意到平面與平面不重合從而得出結(jié)論；B選項(xiàng)，先補(bǔ)全兩個(gè)平面的交線后進(jìn)行證明；C選項(xiàng)，利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化線面角后進(jìn)行說明；D選項(xiàng)，投影點(diǎn)是否在內(nèi)部，結(jié)合B選項(xiàng)構(gòu)建的平面，考慮二面角是鈍角還是銳角.【詳解】對(duì)于A，連接，，，，，，類似可說明，故，，又，平面，于是平面，而為中點(diǎn)時(shí)，平面與平面不重合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，延長，交于，連接交于，連接，則為平面與平面的交線，根據(jù)正方體性質(zhì)易知為平行四邊形，故//，由中位線性質(zhì)，//，于是，而根據(jù)A選項(xiàng)，平面，由平面，，，故B正確；對(duì)于C，連接，則，由可知，與平面所成角相等，于是直線，與平面所成角也相等，故C正確；對(duì)于D，易知三棱錐是正三棱錐，除為等邊三角形之外，其余都是等腰直角三角形，取中點(diǎn)，連接，由，得（三線合一），同理，于是的平面角是，若設(shè)長方體的邊長為，則，，可得，，又，根據(jù)勾股定理可得，即是銳二面角.于是是鈍二面角，根據(jù)B選項(xiàng)可知//，于是共面，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在四邊形之外，即正方體的外部，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，，，則以下說法正確的是（

）A．若直線AB與圓C相切，則B．若以A，B為直徑的圓與圓C相切，則C．若，則D．當(dāng)時(shí)，的最小值為34【答案】ACD【分析】根據(jù)直線與圓相切，可得圓心到直線的距離即為半徑，進(jìn)而即可判斷A；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，分圓與外切和內(nèi)切兩種情況討論即可判斷B；設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得到，即圓C與有交點(diǎn)，進(jìn)而即可判斷C；設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(為參數(shù))，從而得到其中，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由，，則直線AB的方程為，所以圓的圓心到直線AB的距離為，又直線AB與圓C相切，所以，故A正確；對(duì)于B，由，，則以A，B為直徑的圓方程為：，所以圓的圓心到圓的圓心的距離為5，當(dāng)圓與外切時(shí)，有，得，當(dāng)圓與內(nèi)切時(shí)，有，得，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以，即，所以圓C與有交點(diǎn)，所以結(jié)合選項(xiàng)B可得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(為參數(shù))，則，，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為34，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．唐代酒宴上的助興游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰手中，誰就上臺(tái)表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時(shí)，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過6次傳遞后，花又在甲手中的概率為______．【答案】【分析】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，根據(jù)題意找出的遞推關(guān)系，寫出的通項(xiàng)公式，然后求即可.【詳解】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，.則，得，.一次傳球后，花不在甲手上，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.即，所以．故答案為：14．已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．【答案】/【分析】由可設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義可得點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)內(nèi)心的向量性質(zhì)可得為的內(nèi)心，進(jìn)而根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，可設(shè)，由，得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點(diǎn)）.因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且故也為的角平分線，為的內(nèi)心.如圖，設(shè)，，則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，又，所以，，在上的投影長為，則在上的投影向量為．故答案為：15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，且，過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則_____【答案】1【分析】根據(jù)題目條件，先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求出直線的方程，聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理即可求得本題答案.【詳解】把點(diǎn)，代入拋物線，得，則點(diǎn)，作，垂直為，設(shè)，所以，，易知，在中，因?yàn)?，即，得，所以，得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，因?yàn)?，所以，，又，所以切線的直線方程為：，化簡得，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，同理可得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即直線的方程為，聯(lián)立消得，，所以，，所以故答案為：1.16．已知，若關(guān)于x的不等式恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是__________．【答案】.【分析】設(shè)，可得，得到函數(shù)的單調(diào)性與極大值，畫出函數(shù)的圖象，如圖（1）所示，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為的圖象與在內(nèi)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合的圖象和函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以函數(shù)的圖象，如圖（1）所示，關(guān)于x的不等式恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)不同的實(shí)根，即的圖象與在內(nèi)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，又由函數(shù)的大致圖象，如圖（2）所示，則，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù),(1)求函數(shù)的最值；(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．【答案】(1)最大值為2，最小值為(2)或【分析】(1)把化為“一角一函數(shù)”的形式：先用誘導(dǎo)公式把角化為，再用二倍角公式把二次項(xiàng)化為一次項(xiàng)，同時(shí)把角化為，最后用輔助角公式把函數(shù)名化為正弦，即可求出函數(shù)的最值；(2)先求出角，由余弦定理得到關(guān)于的方程，再由正弦定理把已知的方程化簡為含的方程，聯(lián)立方程組即可解出的值，再代入三角形的面積公式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最大值?，最小值為．（2）結(jié)合(1)可知，所以．因?yàn)?，所以，則．由余弦定理得，化簡得①．又，由正弦定理可得，即②．結(jié)合①②得或．時(shí)，；時(shí)，．綜上，的面積為或．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合即可求解的通項(xiàng)，進(jìn)而可得的通項(xiàng)；（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和可得，再證明不等式.【詳解】（1）由是公差為1的等差數(shù)列，可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也符合，所以.（2），所以所以.當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)取到最小值.所以.故得證.19．已知，正三棱柱中，，延長至，使.(1)求證：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過底面的邊角關(guān)系可得，，進(jìn)而可證得平面，從而得證；（2）法一：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，可證得為二面角的平面角，從而得解.法二：建立空間直角坐標(biāo)系用向量的方法求解.【詳解】（1）因?yàn)槭钦庵?，所以，，且，從而又，所以，，即，又，、，平面，又，?）解法一：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié).所以，又，故，因?yàn)槠矫?，，所以，又，、，所以平面，又，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)樗?，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.解法二：以直線為軸，直線為軸，直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，又平面的一個(gè)方向量，設(shè)二面角的大小為，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．2016~2020年廣西城鄉(xiāng)居民人均可支配收入的柱形圖如下圖所示.(1)不考慮價(jià)格因素，求廣西2020年農(nóng)村居民人均可支配收入的年增長率(結(jié)果精確到0.15%).(2)現(xiàn)欲了解廣西各年城鎮(zhèn)居民人均可支配收人y(單位，元)與農(nóng)村居民人均可支配收入x(單位:元)是否存在較好的線性關(guān)系.設(shè)廣西2016年城鎮(zhèn)居民人均可支配收人為y1元，農(nóng)村居民人均可支配收人為元，2017年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，，2018年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為、，2019年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，，2020年對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)分別為，.根據(jù)圖中的五組數(shù)據(jù)，得到關(guān)于x的線性回歸方程為，試問y關(guān)于x的線性相關(guān)系數(shù)r是否大于0.95，并判斷y與x之間是否存在較好的線性關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：，，.附：樣本的相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程中的系數(shù)，.【答案】(1)(2)，y與存在較好的線性關(guān)系【分析】（1）由增長率定義求解；（2）求出求出，再由已知求出，根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出.【詳解】（1）因?yàn)閺V西2020年農(nóng)村居民人均可支配收人為14815元，廣西2019年農(nóng)村居民人均可支配收人為13676元，所以廣西2020年農(nóng)村居民人均可支配收入的年增長率為（2）,因?yàn)殛P(guān)于x的線性回歸方程為，所以,所以,，所以，，所以，與x存在較好的線性關(guān)系.2