專題2.2 基本不等式（4類必考點）（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題2.2基本不等式TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點1：由基本不等式求最值或取值范圍】 1【考點2：由基本不等式證明不等式】 1【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】 9【考點4：利用基本不等式解決實際問題】 14【考點1：由基本不等式求最值或取值范圍】【知識點：基本不等式】一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0.（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．二．幾個重要的不等式：（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R（2）ba+ab≥2，ab>0，當(dāng)且僅當(dāng)（3）ab≤a+b22，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)（4）a2+b22≥a+b22三.利用基本不等式求最值問題：已知x>0，y>0，則：（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p).（簡記：積定和最?。?）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(p2,4).（簡記：和定積最大）1．（2022春?甘孜州期末）y=x+4A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春?青銅峽市校級期末）已知正數(shù)x，y滿足x+y＝4，則xy的最大值（）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022秋?渝中區(qū)校級月考）已知正實數(shù)a，b滿足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．124．（2022春?尖山區(qū)校級期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，則x+2y的最小值為（）A．8 B．82 C．9 D．5．（2022春?內(nèi)江期末）已知正實數(shù)a、b滿足a+b＝4，則(a+1A．22+2 B．4 C．2546．（2022春?內(nèi)江期末）已知正實數(shù)a、b滿足1a+1b=mA．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）7．（2022春?溫州期末）若正數(shù)a，b滿足a+b＝ab，則a+2b的最小值為（）A．6 B．42 C．3+22 8．（2022春?朝陽區(qū)校級期末）已知x＞53，求y=x9．（2022春?麗江期末）若正數(shù)a，b滿足a+2b＝ab，則2a+b的最小值為．10．（2022春?臺州期末）已知非負(fù)實數(shù)x，y滿足13x+y+12y+2=1，則x11．（2022春?石家莊期末）已知ab＞0，a+b＝1，則a+4bab的最小值為12．（2022春?長春期末）已知a，b都是非零實數(shù)，若a2+4b2＝3，則1a2+13．（2022春?嵐山區(qū)校級月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，則114．（2022?煙臺三模）當(dāng)x＞0時，3xx2+415．（2022春?西青區(qū)校級月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則4x+x+3y16．（2022春?溫州期中）已知a＞b＞0，當(dāng)2a+4a+b+1a?b17．（2022?南京模擬）（1）已知x＞3，求4x?3（2）已知x，y是正實數(shù)，且x+y＝1，求1x18．（2021秋?新泰市校級期末）已知實數(shù)a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【方法技巧1】通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；（3）拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．【方法技巧2】通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值的步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．通過此種方法利用基本不等式求最值的基本步驟為：（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；（2）把確定的定值(常數(shù))變形為1；（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；（4）利用基本不等式求解最值．【考點2：由基本不等式證明不等式】1．（2022春?郫都區(qū)校級期末）若實數(shù)x、y滿足x2+y2＝1+xy，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤22．（2022春?尖山區(qū)校級月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，則（）A．a(chǎn)b≥1 B．a(chǎn)+b≥2 C．a(chǎn)2+b2≥23．（2022春?肥東縣月考）對于不等式①4+6＞25，②x+1xA．①③正確，②錯誤 B．②③正確，①錯誤 C．①②錯誤，③正確 D．①③錯誤，②正確【考點3：利用基本不等式解決存在性或恒成立問題】1．（2021秋?武清區(qū)校級月考）設(shè)x＞0，y＞0，設(shè)2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}2．（2021秋?蘭山區(qū)校級期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，則m的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．73．（2021秋?新興縣校級月考）已知m＞0，xy＞0，當(dāng)x+y＝2時，不等式mx+1A．2≤m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m4．（2022春?合肥期末）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+1y=1，且不等式x5．（2021秋?河南月考）已知x、y為兩個正實數(shù)，且不等式ax+y≤12x+6．（2021秋?黑龍江期末）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y7．（2020秋?安慶期末）已知正實數(shù)x，y滿足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式4x+18．（2021秋?玄武區(qū)校級月考）已知正數(shù)x，y滿足2x+y﹣xy＝0．（1）求2x+y的最小值；（2）若x(y+2)?42＞m9．（2021秋?華龍區(qū)校級期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．（1）求1x（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【考點4：利用基本不等式解決實際問題】【知識點：利用基本不等式解決實際問題】(1)此類型的題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解；(2)當(dāng)運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.1．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是P1，第三年比第二年的增長率是P2，而這兩年的平均增長率為P，在P1+P2為定值的情況下，P的最大值為（用P1、P1表示）．2．（2021秋?陽春市校級月考）用一段長為32m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形