備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題01集合與常用邏輯用語(yǔ)含解析

易錯(cuò)點(diǎn)01集合與常用邏輯用語(yǔ)—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題【典例分析】（2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A.–4 B.–2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)1．代表元素意義不清致錯(cuò)【例1】集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，則A∩B等于()A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}C．{(2,4)} D．?【錯(cuò)解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x＋2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))故選A.【錯(cuò)因】導(dǎo)致錯(cuò)誤的緣由是沒(méi)有弄清集合中元素的意義，A中的元素是實(shí)數(shù)y，而B中的元素是實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，也就是說(shuō)，集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，因此A、B兩個(gè)集合中沒(méi)有公共元素，從而這兩個(gè)集合的交集為空集．【正解】D易錯(cuò)點(diǎn)2．忽視集合元素的互異性致錯(cuò)【例2】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.【錯(cuò)解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.當(dāng)a＝1時(shí)，集合B＝{0,7,3,1}；當(dāng)a＝－5時(shí)，集合B＝{0,7,3}．綜上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．【錯(cuò)因】由題設(shè)條件知集合B中有四個(gè)元素，集合中出現(xiàn)了相同的元素，與集合中元素的互異性沖突，導(dǎo)致錯(cuò)解．【正解】應(yīng)將當(dāng)a＝－5時(shí)的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．易錯(cuò)點(diǎn)3．忽視空集致錯(cuò)【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【錯(cuò)解】由B?A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.【錯(cuò)因】上述解法是初學(xué)者解此類問(wèn)題的典型錯(cuò)誤會(huì)法．緣由是考慮不全面，由集合B的含義及B?A，忽視了集合為?的可能而漏掉解．因此題目若出現(xiàn)包含關(guān)系時(shí)，應(yīng)首先想到有沒(méi)有出現(xiàn)?的可能．【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.①若B＝?，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時(shí)有B?A；②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}.易錯(cuò)點(diǎn)4．推斷充要條件時(shí)出錯(cuò)【例4】(1)設(shè)x∈R，則x>2成立的必要條件有________．(填上全部正確的序號(hào))①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.【錯(cuò)解】③；因?yàn)閤>3?x>2，所以x>2的一個(gè)必要條件為x>3.【錯(cuò)因】錯(cuò)解的主要緣由是沒(méi)弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義，前者說(shuō)明b?a；后者等價(jià)于“b是a的必要條件”，即a?b.【正解】①⑤；因?yàn)閤>2?x>1，所以x>2的一個(gè)必要條件為x>1.同理x>2?x>0，所以x>2的一個(gè)必要條件為x>0.(2)命題p：“向量a與向量b的夾角θ為銳角”是命題q：“a·b>0”的________條件．【錯(cuò)解】若向量a與向量b的夾角θ為銳角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要條件．【錯(cuò)因】推斷兩個(gè)命題是否可以相互推導(dǎo)時(shí)，要留意特別狀況的推斷，以防推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤．【正解】若向量a與向量b夾角θ為銳角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)>0?a·b>0；而a·b>0時(shí)，θ＝0°也成立，但此時(shí)a與b夾角不為銳角．故p是q的充分不必要條件．易錯(cuò)點(diǎn)5．對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全【例5】已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，寫出.【錯(cuò)解一】命題：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2≥0.【錯(cuò)解二】命題：對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2<0.【錯(cuò)因】該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但錯(cuò)解一中得到的仍是特稱命題，明顯只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定；錯(cuò)解二中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．【正解】命題：對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2≥0.【變式練習(xí)】1．已知集合，那么（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由解得或，所以，故.所以.故選：B2．（2024·廣東省高三其他（理））已知集合則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?故選：C3．設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】即中至少有一個(gè)是零；復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故為小范圍，故為必要不充分條件.4．（2024·濟(jì)源市第六中學(xué)高二月考（文））已知命題，則命題的否定為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】命題的否定是：.故選：C.5．下列有關(guān)命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若“”為假命題，則與均為假命題；B．“”是“”的充分不必要條件；C．若命題，則命題；D．“”的必要不充分條件是“”.【答案】D【解析】由題可知：時(shí)，成立，所以滿意充分條件，但時(shí)，，所以必要條件不成立，故D錯(cuò)6．（2024·河南省鄭州一中高二期中（文））下列命題中，真命題是（）A．，使得 B．，是的充分不必要條件C．， D．【答案】B【解析】對(duì)于A中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，所以命題“，使得”為假命題；對(duì)于B中，由，可得成立，即充分性成立，反之：例如時(shí)，，所以必要性不成，所以，是的充分不必要條件；對(duì)于C中，例如：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以命題“，”假命題；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，不成立，所以是假命題.7．方程組的解組成的集合為_(kāi)________.【答案】【解析】由，解得或，代入，解得或，所以方程組的解組成的集合為，故答案為.8．已知，，則“”是“”的______條件.【答案】充分不必要【解析】由題意得，在集合中：，即，解得：，即，而，即，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.【真題演練】1．【2024年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】已知集合則A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.【詳解】由解得，所以，又因?yàn)椋?，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.2．【2024年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}【答案】D【解析】【分析】解肯定值不等式化簡(jiǎn)集合的表示，再依據(jù)集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，或，所?故選D．【點(diǎn)睛】本題考查肯定值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.3．【2024年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】采納列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選B.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道簡(jiǎn)單題.4．【2024年高考天津】設(shè)全集，集合，則A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得集合的運(yùn)算結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知，則.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集運(yùn)算，交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5．【2024年高考北京】已知集合，，則A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)交集定義干脆得結(jié)果.【詳解】，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.6．【2024年高考天津】設(shè)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成馬上可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.7．【2024年新高考全國(guó)Ⅰ卷】設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合并集概念求解.【詳解】.故選C【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.8．【2024年高考浙江】已知集合P=，Q=，則PQ=A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合交集定義求解【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.9．【2024年高考浙江】已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線l，m，n．“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，依據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果推斷充分必要條件.【詳解】依題意，是空間不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時(shí)，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)，依據(jù)公理可知確定一個(gè)平面，而，依據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷，考查公理和公理的運(yùn)用，屬于中檔題.10．【2024年高考北京】已知，則“存在使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類探討即可推斷.【詳解】(1)當(dāng)存在使得時(shí)，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當(dāng)時(shí)，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類探討思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．【2024年高考江蘇】已知集合，則_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)集合的交集即可計(jì)算.【詳解】∵,，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題型．12．【2024年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．p2：過(guò)空間中隨意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面．p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．則下述命題中全部真命題的序號(hào)是__________．① ② ③ ④【答案】①③④【解析】【分析】利用兩交線直線確定一個(gè)平面可推斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可推斷命題的真假；利用異面直線可推斷命題的真假，利用線面垂直的定義可推斷命題的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于