備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習易錯題01集合與常用邏輯用語含解析

易錯點01集合與常用邏輯用語—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習易錯題【典例分析】（2024年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學）設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A.–4 B.–2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【點睛】本題主要考查交集的運算，不等式的解法等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.【易錯警示】易錯點1．代表元素意義不清致錯【例1】集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，則A∩B等于()A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}C．{(2,4)} D．?【錯解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x＋2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))故選A.【錯因】導致錯誤的緣由是沒有弄清集合中元素的意義，A中的元素是實數(shù)y，而B中的元素是實數(shù)對(x，y)，也就是說，集合A為數(shù)集，集合B為點集，因此A、B兩個集合中沒有公共元素，從而這兩個集合的交集為空集．【正解】D易錯點2．忽視集合元素的互異性致錯【例2】已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.【錯解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.當a＝1時，集合B＝{0,7,3,1}；當a＝－5時，集合B＝{0,7,3}．綜上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．【錯因】由題設(shè)條件知集合B中有四個元素，集合中出現(xiàn)了相同的元素，與集合中元素的互異性沖突，導致錯解．【正解】應(yīng)將當a＝－5時的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．易錯點3．忽視空集致錯【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．【錯解】由B?A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.【錯因】上述解法是初學者解此類問題的典型錯誤會法．緣由是考慮不全面，由集合B的含義及B?A，忽視了集合為?的可能而漏掉解．因此題目若出現(xiàn)包含關(guān)系時，應(yīng)首先想到有沒有出現(xiàn)?的可能．【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.①若B＝?，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時有B?A；②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}.易錯點4．推斷充要條件時出錯【例4】(1)設(shè)x∈R，則x>2成立的必要條件有________．(填上全部正確的序號)①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.【錯解】③；因為x>3?x>2，所以x>2的一個必要條件為x>3.【錯因】錯解的主要緣由是沒弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義，前者說明b?a；后者等價于“b是a的必要條件”，即a?b.【正解】①⑤；因為x>2?x>1，所以x>2的一個必要條件為x>1.同理x>2?x>0，所以x>2的一個必要條件為x>0.(2)命題p：“向量a與向量b的夾角θ為銳角”是命題q：“a·b>0”的________條件．【錯解】若向量a與向量b的夾角θ為銳角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要條件．【錯因】推斷兩個命題是否可以相互推導時，要留意特別狀況的推斷，以防推斷出現(xiàn)錯誤．【正解】若向量a與向量b夾角θ為銳角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)>0?a·b>0；而a·b>0時，θ＝0°也成立，但此時a與b夾角不為銳角．故p是q的充分不必要條件．易錯點5．對含有一個量詞的命題否定不完全【例5】已知命題p：存在一個實數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，寫出.【錯解一】命題：存在一個實數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2≥0.【錯解二】命題：對隨意的實數(shù)x，都有x2－x－2<0.【錯因】該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的仍是特稱命題，明顯只對結(jié)論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；錯解二中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結(jié)論進行否定．【正解】命題：對隨意的實數(shù)x，都有x2－x－2≥0.【變式練習】1．已知集合，那么（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由解得或，所以，故.所以.故選：B2．（2024·廣東省高三其他（理））已知集合則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C3．設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】即中至少有一個是零；復數(shù)為純虛數(shù)，故為小范圍，故為必要不充分條件.4．（2024·濟源市第六中學高二月考（文））已知命題，則命題的否定為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】命題的否定是：.故選：C.5．下列有關(guān)命題的說法錯誤的是（）A．若“”為假命題，則與均為假命題；B．“”是“”的充分不必要條件；C．若命題，則命題；D．“”的必要不充分條件是“”.【答案】D【解析】由題可知：時，成立，所以滿意充分條件，但時，，所以必要條件不成立，故D錯6．（2024·河南省鄭州一中高二期中（文））下列命題中，真命題是（）A．，使得 B．，是的充分不必要條件C．， D．【答案】B【解析】對于A中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，所以命題“，使得”為假命題；對于B中，由，可得成立，即充分性成立，反之：例如時，，所以必要性不成，所以，是的充分不必要條件；對于C中，例如：當時，此時，所以命題“，”假命題；對于D中，當時，不成立，所以是假命題.7．方程組的解組成的集合為_________.【答案】【解析】由，解得或，代入，解得或，所以方程組的解組成的集合為，故答案為.8．已知，，則“”是“”的______條件.【答案】充分不必要【解析】由題意得，在集合中：，即，解得：，即，而，即，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.【真題演練】1．【2024年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知集合則A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.【詳解】由解得，所以，又因為，所以，故選D．【點睛】本題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的學問點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題目.2．【2024年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，則A∩B=A． B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2} D．{–2，2}【答案】D【解析】【分析】解肯定值不等式化簡集合的表示，再依據(jù)集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為，或，所以.故選D．【點睛】本題考查肯定值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.3．【2024年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】已知集合，，則A∩B中元素的個數(shù)為A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】采納列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個數(shù)為3.故選B.【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道簡單題.4．【2024年高考天津】設(shè)全集，集合，則A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】首先進行補集運算，然后進行交集運算即可求得集合的運算結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合補集的定義可知，則.故選C．【點睛】本題主要考查補集運算，交集運算，屬于基礎(chǔ)題.5．【2024年高考北京】已知集合，，則A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)交集定義干脆得結(jié)果.【詳解】，故選D．【點睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.6．【2024年高考天津】設(shè)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成馬上可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選A．【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.7．【2024年新高考全國Ⅰ卷】設(shè)集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，則A∪B=A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合并集概念求解.【詳解】.故選C【點睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.8．【2024年高考浙江】已知集合P=，Q=，則PQ=A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合交集定義求解【詳解】.故選B.【點睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.9．【2024年高考浙江】已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n．“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個條件相互推導，依據(jù)能否推導的結(jié)果推斷充分必要條件.【詳解】依題意，是空間不過同一點的三條直線，當在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當兩兩相交時，設(shè)，依據(jù)公理可知確定一個平面，而，依據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選B.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷，考查公理和公理的運用，屬于中檔題.10．【2024年高考北京】已知，則“存在使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導公式分類探討即可推斷.【詳解】(1)當存在使得時，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當時，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選C．【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導公式的應(yīng)用，涉及分類探討思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．【2024年高考江蘇】已知集合，則_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)集合的交集即可計算.【詳解】∵,，∴.故答案為.【點睛】本題考查了交集及其運算，是基礎(chǔ)題型．12．【2024年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)．p2：過空間中隨意三點有且僅有一個平面．p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．則下述命題中全部真命題的序號是__________．① ② ③ ④【答案】①③④【解析】【分析】利用兩交線直線確定一個平面可推斷命題的真假；利用三點共線可推斷命題的真假；利用異面直線可推斷命題的真假，利用線面垂直的定義可推斷命題的真假.再利用復合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于