常見(jiàn)的相似三角形判定定理的證明

常見(jiàn)的相似三角形判定定理的證明1.AA（角角）相似定理：如果兩個(gè)三角形中有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E。由于三角形內(nèi)角和為180°，因此∠C=180°∠A∠B，∠F=180°∠D∠E。由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以∠C=∠F。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。2.SSS（邊邊邊）相似定理：如果兩個(gè)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF。我們可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形來(lái)證明這一點(diǎn)。在三角形ABC和三角形DEF中，分別作高AH和DK，垂直于DE和BC。由于AB/DE=AC/DF，所以AH/HD=AC/DF。同理，由于BC/EF=AC/DF，所以AH/HD=BC/EF。因此，AH/HD=BC/EF，即AHDK和AHEF是相似三角形。由于∠HAD=∠HEF=90°，所以三角形AHDK和三角形AHEF是直角三角形。因此，∠HAK=∠HEF，∠HDK=∠HEF。由于∠HAK=∠HDK，所以∠AKH=∠DKH。因此，三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。由于AK/DK=AH/HD，所以三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。因此，∠KAH=∠DKH。因此，∠KAH=∠DKH=∠BAC=∠EDF。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。3.SAS（邊角邊）相似定理：如果兩個(gè)三角形中有一對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=AC/DF，且∠B=∠E。我們可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形來(lái)證明這一點(diǎn)。在三角形ABC和三角形DEF中，分別作高AH和DK，垂直于DE和BC。由于AB/DE=AC/DF，所以AH/HD=AC/DF。同理，由于∠B=∠E，所以∠HAD=∠HEF。因此，三角形AHDK和三角形AHEF是相似三角形。由于∠HAD=∠HEF=90°，所以三角形AHDK和三角形AHEF是直角三角形。因此，∠HAK=∠HEF，∠HDK=∠HEF。由于∠HAK=∠HDK，所以∠AKH=∠DKH。因此，三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。由于AK/DK=AH/HD，所以三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。因此，∠KAH=∠DKH。因此，∠KAH=∠DKH=∠BAC=∠EDF。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。常見(jiàn)的相似三角形判定定理的證明4.HL（斜邊直角邊）相似定理：如果兩個(gè)直角三角形中，它們的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)直角三角形ABC和直角三角形DEF中，斜邊AB=斜邊DE，直角邊BC=直角邊EF。由于直角三角形的斜邊是最長(zhǎng)的邊，且斜邊與直角邊的比例關(guān)系唯一確定，所以∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。5.RHS（直角斜邊斜邊）相似定理：如果兩個(gè)直角三角形中，它們的斜邊相等，且一條直角邊也相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)直角三角形ABC和直角三角形DEF中，斜邊AB=斜邊DE，直角邊BC=直角邊EF。由于直角三角形的斜邊是最長(zhǎng)的邊，且斜邊與直角邊的比例關(guān)系唯一確定，所以∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。6.直角三角形相似定理：如果兩個(gè)直角三角形中，它們的兩個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)直角三角形ABC和直角三角形DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE。由于直角三角形的內(nèi)角和為180°，且直角為90°，所以∠ABC=∠DEF。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。常見(jiàn)的相似三角形判定定理的證明7.相似三角形的比例性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形相似，那么它們對(duì)應(yīng)邊的比例相等。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。我們可以通過(guò)相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明這一點(diǎn)。由于三角形ABC和三角形DEF相似，它們的對(duì)應(yīng)角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。由于三角形內(nèi)角和為180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°。因此，∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F。由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以AB/DE=BC/EF=AC/DF。因此，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例相等。8.相似三角形的面積比例：如果兩個(gè)三角形相似，那么它們面積的比等于相似比的平方。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。我們可以通過(guò)相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明這一點(diǎn)。由于三角形ABC和三角形DEF相似，它們的對(duì)應(yīng)邊比例相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。因此，三角形ABC和三角形DEF的面積比等于相似比的平方，即[ABC]/[DEF]=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。因此，相似三角形的面積比等于相似比的平方。9.相似三角形的周長(zhǎng)比例：如果兩個(gè)三角形相似，那么它們周長(zhǎng)的比等于相似比。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。我們可以通過(guò)相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明這一點(diǎn)。由于三角形ABC和三角形DEF相似，它們的對(duì)應(yīng)邊比例相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。因此，三角形ABC和三角形DEF的周長(zhǎng)比等于相似比，即(AB+BC+AC)/(DE+EF+DF)=AB/DE=BC/EF=AC/DF。因此，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。常見(jiàn)的相似三角形判定定理的證明1.AA（角角）相似定理：如果兩個(gè)三角形中有兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E。由于三角形內(nèi)角和為180°，因此∠C=180°∠A∠B，∠F=180°∠D∠E。由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以∠C=∠F。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。2.SSS（邊邊邊）相似定理：如果兩個(gè)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF。我們可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形來(lái)證明這一點(diǎn)。在三角形ABC和三角形DEF中，分別作高AH和DK，垂直于DE和BC。由于AB/DE=AC/DF，所以AH/HD=AC/DF。同理，由于BC/EF=AC/DF，所以AH/HD=BC/EF。因此，AH/HD=BC/EF，即AHDK和AHEF是相似三角形。由于∠HAD=∠HEF=90°，所以三角形AHDK和三角形AHEF是直角三角形。因此，∠HAK=∠HEF，∠HDK=∠HEF。由于∠HAK=∠HDK，所以∠AKH=∠DKH。因此，三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。由于AK/DK=AH/HD，所以三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。因此，∠KAH=∠DKH。因此，∠KAH=∠DKH=∠A=∠D。同理，可以證明∠B=∠E。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。3.SAS（邊角邊）相似定理：如果兩個(gè)三角形中有兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例，且這兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=AC/DF，且∠B=∠E。由于AB/DE=AC/DF，所以三角形ABC和三角形DEF的第三邊BC和EF也成比例。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。4.RHS（直角斜邊斜邊）相似定理：如果兩個(gè)直角三角形中，一對(duì)斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)直角三角形ABC和直角三角形DEF中，∠C=∠F，且AC=DF。由于∠C=∠F，所以∠A=∠D。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。常見(jiàn)的相似三角形判定定理的證明1.AA（角角）相似定理：當(dāng)兩個(gè)三角形的兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等時(shí)，這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E。由于三角形的內(nèi)角和為180°，我們可以推斷出∠C=180°∠A∠B，∠F=180°∠D∠E。由于∠A=∠D，∠B=∠E，因此∠C=∠F。這意味著三角形ABC和三角形DEF的內(nèi)角分別相等，從而證明了它們相似。2.SSS（邊邊邊）相似定理：當(dāng)兩個(gè)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF。我們可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形來(lái)證明這一點(diǎn)。在三角形ABC和三角形DEF中，分別作高AH和DK，垂直于DE和BC。由于AB/DE=AC/DF，所以AH/HD=AC/DF。同理，由于BC/EF=AC/DF，所以AH/HD=BC/EF。因此，AH/HD=BC/EF，即AHDK和AHEF是相似三角形。由于∠HAD=∠HEF=90°，所以三角形AHDK和三角形AHEF是直角三角形。因此，∠HAK=∠HEF，∠HDK=∠HEF。由于∠HAK=∠HDK，所以∠AKH=∠DKH。因此，三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。由于AK/DK=AH/HD，所以三角形AKH和三角形DKH是相似三角形。因此，∠KAH=∠DKH。因此，∠KAH=∠DKH=∠A=∠D。同理，可以證明∠B=∠E。因此，三角形ABC和三角形DEF相似。3.SAS（邊角邊）相似定理：當(dāng)兩個(gè)三角形中有兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例，且這兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角相等時(shí)，這兩個(gè)三角形相似。證明：設(shè)三角形ABC和三角形DEF