廣西壯族自治區(qū)河池市十校協(xié)作體2024-2025學年高二上學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題

2024年秋季學期高二年級校聯(lián)體第二次聯(lián)考數(shù)學（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知拋物線C：的焦點為F，拋物線上的點到焦點F的距離為A．1B．2C．3D．42．已知直線，，則與的距離為A．1B．2C．D．3．若橢圓焦點在x軸上且橢圓經過點（0，2），，則該橢圓的標準方程為A．B．C．D．4．已知兩個向量，，且，則的值為A．2B．4C．6D．85．已知直線平分圓C：的周長，則a＝A．2B．4C．6D．86．已知拋物線的準線經過雙曲線的一個焦點，則該雙曲線的漸近線方程為A．B．C．D．7．在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，，，E為棱的中點，則到平面的夾角余弦值為A．B．C．D．8．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，A，B是雙曲線上關于原點對稱的兩點，并且，則的面積等于A．6B．7C．8D．9二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知直線，，則下列說法正確的是A．當時，直線的傾斜角為135°B．當時，C．若，則D．直線始終過定點（-1，0）10．如圖，正方體的棱長為1，M是上的中點，以下說法正確的是A．△MAC的面積是定值B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值為D．平面的一個法向量是（1，1，-1）11．已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點，點A，B分別為它的左右頂點，已知定點N（4，4），點M是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有A．存在4個點M，使得B．直線MA與直線MB斜率乘積為定值C．有最小值D．的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線l過點（l，2），傾斜角為45°，則直線l的縱截距為________________．13．已知圓與直線相切，則r＝________________．14．雙曲線C：的離心率為________________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知△ABC的頂點分別為A（2，2），B（4，-2），C（-6，2）．（1）求BC邊的中線所在直線的方程；（2）求BC邊的垂直平分線所在直線的方程．16．（15分）已知橢圓C：，M為橢圓上一點，，分別為它的左右焦點，M到，距離之和為4，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：與橢圓交于A，B兩點，求|AB|的長以及三角形AOB面積．17．（15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側棱，，且，，，E為PC中點．（1）求點C到平面EAD的距離；（2）求平面PBC與平面EAD夾角的正弦值．18．（17分）已知圓，圓．（1）證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長；（2）已知過點（0，1）的直線l與圓交于A，B兩點，且，求直線l的斜率．19．（17分）設拋物線C：的焦點為F，已知點F到圓E：上一點的距離的最大值為2．（1）求拋物線C的方程；（2）已知，是雙曲線左右焦點，過右焦點的直線l與C交于M，N兩點．證明：．2024年秋季學期高二年級校聯(lián)體第二次聯(lián)考數(shù)學參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【答案】C【詳解】由焦半徑公式得：．故選：C2．【答案】C【詳解】由題意得，與的距離．故選：C．3．【答案】B【詳解】由題意得橢圓焦點在x軸上且經過點（0，2），所以，，，橢圓的標準方程為．故選：B．4．【答案】A【詳解】，，，，．故選：A．5．【答案】A【詳解】由，可得圓心為（0，1），因為直線平分圓C：的周長，所以直線過圓的圓心，則，解得．故選：A．6．【答案】D【詳解】已知拋物線的準線為，所以雙曲線的一個焦點為（-4，0），所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7．【答案】B【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，，，如圖，在底面ABCD中，過點D作，垂足為H，以D為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．則D（0，0，0），，，，，，，設平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，，則平面的一個法向量為，則到平面的夾角正弦值，故選：B．8．【答案】B【詳解】由雙曲線的對稱性以及A，B是雙曲線上關于原點對稱的兩點可知，A，B，O三點共線，連接，，，，，則四邊形為矩形，所以，，由雙曲線C：可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．【答案】ABD【詳解】對于A，當時，直線，故斜率，則傾斜角為135°，A正確，對于B，等價于，解得，故B正確，對于C，若，且，故，故C錯誤，對于D，令且，解得，，故恒過（-1，0），D正確，故選：ABD．10．【答案】BC【詳解】A選項：M在上且，M到AC的距離等于到AC的距離，則為定值1，，故A選項錯誤；如圖所示建系，A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），，，B選項：，與同向的單位向量為，故B選項正確；C選項：，，，，故C選項正確；D選項：設，則，，即不垂直，不垂直，（1，1，-1）不是面的一個法向量，故D選項錯誤；故選：BC．11．【答案】AD【詳解】對于A中，由橢圓C：，可得，，，且，可得，所以，故在第一象限有點M，使得，根據對稱性四個象限各有一個，一共4個，所以A正確；對于B中，設，則，且A（-5，0），B（5，0），可得，則為定值，所以B錯誤．對于C中，由橢圓的定義，可得，則，當且僅當時，即時等號成立，所以C錯誤．對于D中，由點N在橢圓外，設直線，與橢圓相交于，，如圖所示，則，因為，且，可得，即，所以，所以，所以D正確．選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．【答案】1【詳解】由題意知，斜率為，則直線方程為，令即，，直線l的縱截距為1．故答案為：1．13．【答案】【詳解】由已知圓得標準方程為的圓心為（1，-3），半徑為r，依題意，．故答案為：．14．【答案】2或【詳解】當，所以．當，，故答案為：2或．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【詳解】（1）設BC中點D的坐標為，則，，BC邊的中線AD過點A（2，2），D（-1，0）兩點，AD所在直線方程為，即；（2）BC的斜率，BC的垂直平分線的斜率，BC的垂直平分線所在直線的方程為，即．16．【詳解】（1）由題意得，解得，，故，故橢圓方程為；（2）由得，，則弦長O到直線l：距離為：所以三角形AOB面積：17．【詳解】（1）設AC與BD交點為O，連接OE，則，所以，所以OC，OD，OE三條直線兩兩互相垂直，以OC，OD，OE所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，由題意知，，則A（-1，0，0），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），P（-1，0，2），E（0，0，1），，設平面EAD的法向量為，，可取．，則點C到平面EAD的距離：（2），，，，設平面PBC的法向量為，則，可?。?，所以平面PBC與平面PAD夾角的余弦值為，所以平面PBC與平面PAD夾角的正弦值為．18．【詳解】（1）圓化成標準方程為，圓心，半徑，圓化成標準方程為，圓心，半徑，由，所以兩圓相交，兩圓方程作差得．即公共弦所在直線的方程為．圓的圓心到直線距離為：公共弦長為：（2）由題可知，設，，①當直