四川省成都龍泉中學2025屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷含解析

四川省成都龍泉中學2025屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或2．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．3．已知關于的方程在區(qū)間上有兩個根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．5．元代數(shù)學家朱世杰的數(shù)學名著《算術啟蒙》是中國古代代數(shù)學的通論，其中關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設復數(shù)滿足，在復平面內對應的點為，則（）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．9．為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統(tǒng)計繪制如圖，其中各項統(tǒng)計不重復．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶10．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．11．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．12．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為________．14．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，若，，則________.15．函數(shù)滿足，當時，，若函數(shù)在上有1515個零點，則實數(shù)的范圍為___________.16．在平面直角坐標系中，已知點，，若圓上有且僅有一對點，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）若射線的極坐標方程為（）.設與相交于點，與相交于點，求.18．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數(shù)a，b，c滿足.求證.19．（12分）設直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，設直線（為坐標原點）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點，并求出該定點的坐標；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.20．（12分）已知圓的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)），若直線與圓相切，求實數(shù)的值.21．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.22．（10分）已知橢圓，點，點滿足（其中為坐標原點），點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為，若不經過點的直線與橢圓交于兩點.且與圓相切.的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.2、A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．3、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構造新的函數(shù)，將方程的解的問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)圖象，再結合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結合法，求得范圍.屬于中檔題.4、D【解析】

運用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設，，所以，當時，的最小值，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.5、B【解析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應是一個等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點睛：本題為算法中的循環(huán)結構和數(shù)列通項的綜合，屬于中檔題，解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關系（比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項積等）.6、A【解析】

可將問題轉化，求直線關于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關于直線的對稱直線為，當時，，，當時，，則當時，，單減，當時，，單增；當時，，，當，,當時，單減，當時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當與（）相切時，得，解得；當與（）相切時，滿足，解得，結合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結合思想求解函數(shù)交點問題，導數(shù)研究函數(shù)增減性，找準臨界是解題的關鍵，屬于中檔題7、B【解析】

設，根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到、的關系式，即可得解；【詳解】解：設∵，∴，解得.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義的應用，屬于基礎題.8、D【解析】

設，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【點睛】本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.10、C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．11、A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設，則，又，，，故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，關鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎題.12、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉化目標函數(shù)為，當目標函數(shù)經過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內部，轉化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經過點時，直線的截距最大此時取得最大值1．故答案為：1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.14、127【解析】

已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以，則有，通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學生分析問題的能力,難度較易.15、【解析】

由已知，在上有3個根，分，，，四種情況討論的單調性、最值即可得到答案.【詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個根，而含505個周期，所以在上有3個根，設，，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，又，.若時，在上無根，在必有3個根，則，即，此時；若時，在上有1個根，注意到，此時在不可能有2個根，故不滿足；若時，要使在有2個根，只需，解得；若時，在上單調遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；綜上，實數(shù)的范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點，是一道中檔題.16、【解析】

寫出所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結合題意可得關于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，由的面積是的面積的2倍的點，有且僅有一對，可得點到的距離是點到直線的距離的2倍，可得過圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．【點睛】本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用，考查數(shù)形結合的解題思想方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據(jù)（1）求出曲線的極坐標方程，分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標方程，求出和，即可求出.【詳解】解：（1）因為（為參數(shù)），所以消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為.因為所以直線的直角坐標方程為.（2）曲線的極坐標方程為.設的極徑分別為和，將（）代入，解得，將（）代入，解得.故.【點睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，還考查極徑的運用和兩點間距離，屬于中檔題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結論．【詳解】解：（1）法一：（當且僅當時取等號），又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．19、（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】

（1）設直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過定點（2）由斜率公式分別求出，，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關系得，，，代入，，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點，故設由可得，.，，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點.（2）由（1）知設由可得，，即存在常數(shù)滿足題意.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20、【解析】

將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求實數(shù)的值.【詳解】由，得，，即圓的方程為，又由