2025屆上海市寶山區(qū)上海大學(xué)市北附屬中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆上海市寶山區(qū)上海大學(xué)市北附屬中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．2．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．75．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．7．已知（i為虛數(shù)單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．8．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則9．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．10．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為__________．15．設(shè)第一象限內(nèi)的點(x，y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為40，則＋的最小值為_____.16．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．組別頻數(shù)（1）已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.（?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；（ⅱ）每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，，.19．（12分）網(wǎng)絡(luò)看病就是國內(nèi)或者國外的單個人、多個人或者單位通過國際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機器故障進行查找詢問、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此，實地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式，最近某信息機構(gòu)調(diào)研了患者對網(wǎng)絡(luò)看病，實地看病的滿意程度，在每種看病方式的患者中各隨機抽取15名，將他們分成兩組，每組15人，分別對網(wǎng)絡(luò)看病，實地看病兩種方式進行滿意度測評，根據(jù)患者的評分（滿分100分）繪制了如圖所示的莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷患者對于網(wǎng)絡(luò)看病、實地看病那種方式的滿意度更高？并說明理由；（2）若將大于等于80分視為“滿意”，根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表：滿意不滿意總計網(wǎng)絡(luò)看病實地看病總計并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)？（3）從網(wǎng)絡(luò)看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人，求這2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過點（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A，B，點M坐標為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問k1+k2是否為定值？并說明理由．21．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當時，x在點B處取得最大值，即，得；當時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．5、B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．6、D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題．8、D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關(guān)系.9、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．10、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中等題.11、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12、C【解析】試題分析：由題意知，當時，由，當且僅當時，即等號是成立，所以函數(shù)的最小值為，當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因為，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故選C．考點：函數(shù)的綜合問題．【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點，，則，即，∵，，，當時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.14、【解析】

先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,,所以.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.15、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時，目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當且僅當時取等號，則的最小值為.16、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數(shù)和為1，最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此計算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數(shù)和為1，最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，意在考查學(xué)生的推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可?！驹斀狻浚?）當時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當時，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，①當在上是單調(diào)增函數(shù)，則，解得，檢驗符合；②當在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有?！军c睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識，利用所學(xué)知識分析解決新定義問題。18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式計算出平均數(shù)的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為，，利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率；（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為，再結(jié)合得元、元的概率，分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進而得出分布列，之后利用離散型隨機變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可得，易知，，，；（2）根據(jù)題意，可得出隨機變量的可能取值有、、、元，，，，.所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本題考查概率的計算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計算對應(yīng)事件的概率，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）實地看病的滿意度更高，理由見解析；（2）列聯(lián)表見解析，有；（3）.【解析】

（1）對實地看病滿意度更高，可以從莖葉圖四個方面選一個回答即可；（2）先完成列聯(lián)表，再由獨立性檢驗得有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)；（3）利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】（1）對實地看病滿意度更高，理由如下：（i）由莖葉圖可知：在網(wǎng)絡(luò)看病中，有的患者滿意度評分低于80分；在實地看病中，有的患者評分高于80分，因此患者對實地看病滿意度更高.（ii）由莖葉圖可知：網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評分的中位數(shù)為73分，實地看病評分的中位數(shù)為87分，因此患者對實地看病滿意度更高.（iii）由莖葉圖可知：網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評分平均分低于80分；實地看病的滿意度的評分平均分高于80分，因此患者對實地看病滿意度更高.（iV）由莖葉圖可知：網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評分在莖6上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布；實地看病的評分分布在莖8，上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布，又兩種看病方式打分的分布區(qū)間相同，故可以認為實地看病評分比網(wǎng)絡(luò)看病打分更高，因此實地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.（2）參加網(wǎng)絡(luò)看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有5名對網(wǎng)絡(luò)看病滿意，10名對網(wǎng)絡(luò)看病不滿意；參加實地看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有10名對實地看病滿意，5名對實地看病不滿意.故完成列聯(lián)表如下：滿意不滿意總計網(wǎng)絡(luò)看病51015實地看病10515總計151530于是，所以有的把握認為患者看病滿意度與看病方式有關(guān).（3）網(wǎng)絡(luò)看病的評價的分數(shù)依次為82，85，85，88，92，由小到大分別記為，從網(wǎng)絡(luò)看病的評價“滿意”的人中隨機抽取2人，所有可能情況有：；；；共10種，其中，這2人評分都低于90分的情況有：；；共6種，故由古典概型公式得這2人評分都低于90分的概率.【點睛】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用和獨立性檢驗，考查古典概型的概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20、（1）（2）k1+k2為定值0，見解析【解析】

（1）利用已知條件直接求解，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線在軸上的截距為，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用韋達定理求出，然后化簡求解即可.【詳解】（1）由橢圓過點（0,），則，又a+b＝3，所以，故橢圓的方程為；（2），證明如下：設(shè)直線在軸上的截距為，所以直線的方程為：，由得：，由得，設(shè)，則，所以，又，所以，故.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求解，