第二節(jié)教案(單正態(tài)總體的假設檢驗)

第二節(jié)單正態(tài)總體的假設檢驗內(nèi)容分布圖示★總體均值的假設檢驗（1）★例1★例2★總體均值的假設檢驗（2）★例3★例4★總體方差的假設檢驗★例5★例6★內(nèi)容小結★課堂練習★習題7-2內(nèi)容要點：一、總體均值的假設檢驗當檢驗關于總體均值（數(shù)學期望）的假設時，該總體中的另一個參數(shù)，即方差是否已知，會影響到對于檢驗統(tǒng)計量的選擇，故下面分兩種情形進行討論.1．方差已知情形設總體,其中總體方差已知，是取自總體X的一個樣本,為樣本均值.1）檢驗假設.其中為已知常數(shù).由第五章第三節(jié)知,當為真時,故選取作為檢驗統(tǒng)計量,記其觀察值為u.相應的檢驗法稱為u檢驗法.因為是的無偏估計量,當成立時,不應太大,當成立時,有偏大的趨勢,故拒絕域形式為(待定).對于給定的顯著性水平,查標準正態(tài)分布表得,使由此即得拒絕域為.即根據(jù)一次抽樣后得到的樣本觀察值計算出U的觀察值u,若,則拒絕原假設,即認為總體均值與有顯著差異;若,則接受原假設,即認為總體均值與無顯著差異.類似地，對單側檢驗有:(i)右側檢驗：檢驗假設，其中為已知常數(shù).可得拒絕域為(ii)左側檢驗：檢驗假設，其中為已知常數(shù).可得拒絕域為2．方差未知情形設總體,其中總體方差未知，是取自X的一個樣本,與分別為樣本均值與樣本方差.1）檢驗假設.其中為已知常數(shù).由第五章第三節(jié)知,當為真時,故選取T作為檢驗統(tǒng)計量,記其觀察值為t.相應的檢驗法稱為t檢驗法.由于是的無偏估計量,是的無偏估計量,當成立時,不應太大,當成立時,有偏大的趨勢,故拒絕域形式為(待定).對于給定的顯著性水平,查分布表得使由此即得拒絕域為.即根據(jù)一次抽樣后得到的樣本觀察值計算出T的觀察值t,若則拒絕原假設,即認為總體均值與有顯著差異;若則接受原假設,即認為總體均值與無顯著差異.類似地，對單側檢驗有：(i)右側檢驗：檢驗假設，其中為已知常數(shù).可得拒絕域為(ii)左側檢驗：檢驗假設,其中為已知常數(shù).可得拒絕域為二、總體方差的假設檢驗設,是取自X的一個樣本,與分別為樣本均值與樣本方差.1）檢驗假設.其中為已知常數(shù).由第五章第三節(jié)知,當為真時,故選取作為檢驗統(tǒng)計量.相應的檢驗法稱為檢驗法.由于是的無偏估計量,當成立時,應在附近,當成立時,有偏小或偏大的趨勢,故拒絕域形式為或(待定).對于給定的顯著性水平查分布表得使.由此即得拒絕域為或.即根據(jù)一次抽樣后得到的樣本觀察值計算出的觀察值,若,則拒絕原假設,若,則接受假設.類似地，對單側檢驗有:(i)右測檢驗：檢驗假設:.其中為已知常數(shù),可得拒絕域為(ii)左側檢驗：驗假設：.其中為已知常數(shù).可得拒絕域為.例題選講：總體均值的假設檢驗1.方差已知情形例1(講義例1)某車間生產(chǎn)鋼絲,用X表示鋼絲的折斷力,由經(jīng)驗判斷其中.今換了一批材料,從性能上看估計折斷力的方差不會有什么變化(即仍有),但不知折斷力的均值和原先有無差別.現(xiàn)抽得樣本,測得其折斷力為:578572570568572570570572596584取試檢驗折斷力均值有無變化?解 (1)建立假設(2)選擇統(tǒng)計量(3)對于給定的顯著性水平確定使查正態(tài)分布表得從而拒絕域為(4)由于所以故應拒絕即認為折斷力的均值發(fā)生了變化.例2(講義例2)有一工廠生產(chǎn)一種燈管,已知燈管的壽命X服從正態(tài)分布根據(jù)以往的生產(chǎn)經(jīng)驗,知道燈管的平均壽命不會超過1500小時.為了提高燈管的平均壽命,工廠采用了新的工藝.為了弄清楚新工藝是否真的能提高燈管的平均壽命,他們測試了采用新工藝生產(chǎn)的25只燈管的壽命,其平均值是1575小時.盡管樣本的平均值大于1500小時,試問:可否由此判定這恰是新工藝的效應,而非偶然的原因使得抽出的這25只燈管的平均壽命較長呢(顯著性水平)?解 把上述問題歸納為下述假設檢驗問題:從而可利用右側檢驗法來檢驗,相應于取顯著水平為查附表得因已測出從而由于從而否定原假設接受備擇假設即認為新工藝事實上提高了燈管的平均壽命.2．方差未知情形例3(講義例3)水泥廠用自動包裝機包裝水泥,每袋額定重量是50kg,某日開工后隨機抽查了9袋,稱得重量如下:49.649.350.150.049.249.949.851.050.2設每袋重量服從正態(tài)分布,問包裝機工作是否正常解 (1)建立假設(2)選擇統(tǒng)計量(3)對于給定的顯著性水平確定使查分布表得從而拒絕域為(4)由于所以故應接受即認為包裝機工作正常.例4(講義例4)一公司聲稱某種類型的電池的平均壽命至少為21.5小時.有一實驗室檢驗了該公司制造的6套電池,得到如下的壽命小時數(shù):19,18,22,20,16,25試問:這些結果是否表明,這種類型的電池低于該公司所聲稱的壽命?(顯著性水平.)解 可把上述問題歸納為下述假設檢驗問題:這可利用檢驗法的左側檢驗法來解.本例中對于給定的顯著性水平查附表得再據(jù)測得的6個壽命小時數(shù)算得:由此計算因為所以不能否定原假設從而認為這種類型電池的壽命并不比公司宣稱的壽命短.總體方差的假設檢驗例5(講義例5)某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命(以小時計)長期以來服從方差的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它的生產(chǎn)情況來看,壽命的波動性有所改變.現(xiàn)隨機取26只電池,測出其壽命的樣本方差問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化(取)?解 本題要求在水平下檢驗假設現(xiàn)在根據(jù)檢驗法,拒絕域為代入觀察值得故拒絕認為這批電池壽命的波動性較以往有顯著的變化.例6(講義例6)某工廠生產(chǎn)金屬絲,產(chǎn)品指標為折斷力.折斷力的方差被用作工廠生產(chǎn)精度的表征.方差越小,表明精度越高.以往工廠一直把該方差保持在64(kg2)與64以下.最近從一批產(chǎn)品中抽取10根作折斷力試驗,測得的結果(單位為千克)如下:578,572,570,568,572,570,572,596,584,570.由上述樣本數(shù)據(jù)算得:為此,廠方懷疑金屬絲折斷力的方差是否變大了.如確實增大了,表明生產(chǎn)精度不如以前,就需對生產(chǎn)流程作一番檢驗,以發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)環(huán)節(jié)中存在的問題.試在的顯著性水平下,檢驗廠方的懷疑.解 為確認上述疑慮是否為真,假定多金屬絲折斷力服從正態(tài)分布,并作下述假設檢驗:上述假設檢驗問題可利用檢驗法的右側檢驗法來檢驗,就本例中而言,相應于對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平查附表知,從而有故不能拒絕原假設從而認為樣本方差的偏大系偶然因素,生產(chǎn)流程正常,故不需再作進一步的檢查.課堂練習1.某飼養(yǎng)廠規(guī)定,屠宰的肉用雞體重不得少于3kg,現(xiàn)從該飼養(yǎng)廠的雞群中,隨機抓16