廣東省廣州市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

廣東省廣州市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二第一學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試用120分鐘.注意事項1．開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、班級、考號等信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，不得使用涂改液，不得使用計算器.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（） A． B．1 C． D．22．已知平行六面體中，棱兩兩的夾角均為，，為點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（） A． B． C． D．3．已知，則（） A． B． C． D．4．已知直線，，“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．過兩條直線，的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程為（） A． B． C． D．6．一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，則反射光線所在直線的方程為（） A． B． C． D．7．點(diǎn)在直線上運(yùn)動，，則的最大值是（） A． B． C．3 D．48．在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，動點(diǎn)在體對角線上，則頂點(diǎn)到平面距離的最大值為（） A． B． C． D．二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分．在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求．全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分．9．直線的方程為：，則（） A．直線斜率必定存在 B．直線恒過定點(diǎn) C．時直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 D．時直線的傾斜角為10．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則（） A． B．點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為 C．向量在上的投影向量為 D．點(diǎn)到直線的距離為11．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段內(nèi)的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（） A．平面 B．存在點(diǎn)，使得 C．平面與底面所成角的余弦值是 D．三棱錐的體積是三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分．12．對任意的實數(shù)，直線所過的定點(diǎn)為.13．，與直線平行，則直線與的距離為.14．已知三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為.四、解答題:本題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．15.（本題滿分13分）已知直線，直線（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值16.（本題滿分15分）某班20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：（1）求這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）從成績在的學(xué)生中任選2人，求此2人的成績都在中的概率．17.（本題滿分15分）如圖，是圓的直徑，平面面，且（1）求證：平面；（2）若，求直線與面所成角的正弦值．18.（本題滿分17分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)．（1）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．（3）已知直線經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求直線的方程．19.（本題滿分17分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求點(diǎn)到平面的距離．（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．廣東省廣州市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二第一學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)參考答案一、單選題12345678DDDAAAAA二、多選題91011BCBCACD三、填空題12．13．14．四、解答題15．【詳解】（1）因為，所以，整理得，解得或。當(dāng)時，，，重合當(dāng)時，，，符合題意，故.（2）因為，所以，解得或.16．【詳解】（1）根據(jù)直方圖知組距為，由，解得．?dāng)?shù)學(xué)成績的眾數(shù)是分．由，得平均數(shù)為分．所以眾數(shù)是分，平均數(shù)為分；（2）成績落在中的學(xué)生人數(shù)為，成績落在中的學(xué)生人數(shù)為；記成績落在中的人為，成績落在中的人為，則從成績在的學(xué)生中任選人的基本事件有共個，其中人的成績都在中的事件有共個，故所求概率為．17．【詳解】（1）證明：因為平面⊥平面，且，平面∩平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為是圓錐的直徑，所以．因為，平面，所以平面．（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，設(shè)，，，．則，．設(shè)平面的法向量為，則，即，得出．而，設(shè)直線與平面所成角為，則，計算得．所以直線與平面所成角的正弦值為．18．【詳解】解：（1）因為，，可得，所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，即；（2）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因為，因為是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以線段垂線的斜率為，且線段AB的中垂線過點(diǎn)，所以線段AB垂直平分線的方程為，即，所以點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，由可得：，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，則直線AC的方程為或；（3）①當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，直線在兩坐標(biāo)軸上截距均等于，故直線的斜率為，所求直線方程為，即．②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)其方程，由題意可得，又經(jīng)過點(diǎn)，有，解得，，則方程為，即．故所求直線的方程為，或．19．【詳解】（1）在中，，為的中點(diǎn)，∴．又∵側(cè)面底面，平面平面，平面，∴平面．（2）在中，，，∴．在直角梯形中，為的中點(diǎn)，∴，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，