2024年新高考藝體生沖刺復(fù)習(xí)考點(diǎn)21 隨機(jī)變量與分布列（解析版）

考點(diǎn)21隨機(jī)變量及分布列

知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)變量的

知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)三均值與方差

知識(shí)點(diǎn)四兩點(diǎn)分布

知識(shí)點(diǎn)五超幾何分布

知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)六二項(xiàng)分布

知識(shí)點(diǎn)七條件概率

隨

機(jī)知識(shí)點(diǎn)八事件的相互獨(dú)立性

變

知識(shí)點(diǎn)九獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

量

及知識(shí)點(diǎn)十正態(tài)分布

分

布

列「考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列及均值與方差

一考點(diǎn)二超幾何分布

~一一考點(diǎn)三二項(xiàng)分布

考點(diǎn)一

一考法四相互獨(dú)立事件

考點(diǎn)五條件概率及全概率

考點(diǎn)六正態(tài)分布

一.隨機(jī)變量的有關(guān)概念

1.隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母x,匕前小…表示.

2.離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量.

離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)

1.概念：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為田，及，…，X，…,心，X取每一個(gè)值Mi=L2,…，〃)

的概率P(X=M=p”以表格的形式表示如下：

XX2???Xi?..X”

PPiP2???Pi???p〃

此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.有時(shí)也用等式p(x=M)=0,i=l,2

〃表示X的分布列.

2.分布列的性質(zhì)

Q）pr>0,/=1,2,3,...?/:；②

三,均值與方差

I.均值：稱卬0=即〃|+叼2+...+.叩+...+”m為隨機(jī)變量*的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變

量我值的平均水平.

n

2.方差：稱。（為=工卬一雙曾］2/方為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值￡（X）的平均偏離程

度，其算術(shù)平方根歷為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

3.均值與方差的性質(zhì)

（l）E（aX+份=a￡（X）+b.（2）O（aX+b）=/D（X）m，6為常數(shù)）.

四.兩點(diǎn)分布

如果隨機(jī)變量X的分布列為

X01

Pl—pP

其中0<p<l,則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布.其中〃=RX=1）稱為成功概率.

五.超幾何分布

1.概念:在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則尸（乂=6=筆金"=0』,2,…,

m,其中機(jī)=min{M,〃},且脛N,M&N,n,M,N￡N",稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

X01???m

d/C吼%cba」

P???

acwCK，

2.特征

<1）超幾何分布描述的是不放叵抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)

（2）考察對(duì)象分兩類

（3）已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)

（4）從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的

小球等概率模型，蛀實(shí)質(zhì)是古典概型

六.二項(xiàng)分布

在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則尸（X=Q

=④//（1一〃廠心=0.1,2,…，〃），此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?8（〃，p）,并稱〃為成功概

率.

七.條件概率

1.定義和性質(zhì)

條件概率的定義條件概率的性質(zhì)

設(shè)4,8為兩個(gè)事件，且W)>0,稱P(B\A)=0O(1)O<P(B|A)S1;

P(A)(2)如果8和C是兩個(gè)互斥事件，則尸(BUCIA)

為在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率=P(8|A)+P(C|A)

2.求條件概率的兩種方法

(1)利用定義，分別求P(A)和尸(AB),得P(陰4)=這是求條件概率的通法.

P(A)

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)〃(㈤，再求事件人與事件B的交事件中包含的

基本事件數(shù)〃(48),得代用田=生竺2.

"(4)

八.事件的相互獨(dú)立性

I.定義：設(shè)A,8為兩個(gè)事件，如果尸(48)=P(A)/(8),則稱事件A與事件3相互獨(dú)立.

2.性質(zhì)：①若事件A與4相互獨(dú)立，則P(陰A)=P⑹，P(4|8)=P(A).

②如果事件4與8相互獨(dú)立，那么4與石，7"與B,工與方也相互獨(dú)立.

3.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法

(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.

(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：

①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解?.

②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.

九,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

在相同條件下重復(fù)做的〃次試驗(yàn)稱為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中A/i=l,2,…，〃)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則

P(AM2A3…4)=P(ADP(A2)P(A3)…P(A〃).

十.正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線的特點(diǎn)：

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線X="對(duì)稱；

③曲線在x=n處達(dá)到峰值志；

④曲線與x軸之間的面枳為1；

⑤當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著"的變化而沿工軸平移；

⑥當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；〃越大，曲線越“矮

胖”，表示總體的分布越分散.

2.正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)

①P(〃一《X%+㈤=0.682_7；

@P(/i~2。VX9+2。)=0.954_5；

③P3—3。VX<j.i+3。）=0.997.3.

典例剖析|-----------------------------

考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列及均值與方差

【例1-1］（2024,全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：

X1234

\_2

PP

636

則〃為（）.

2

C.D

3-I

【答案】B

【蟀析】由分布列的性質(zhì)可知，!+?+:+〃=1，得〃="故選：B

□363

【例1-2】（2024?江西）（多選）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

Pa0.40.30.2

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=3x+i,則（）

A.EX=1.6B.￡7=5.8

C.OX=1.84D.DY=7.56

【答案】ABD

【變式】

1.（2024?遼寧）設(shè)Ovpvl,隨機(jī)變量4的分布列為:

5

p_2P

323

則〃=()

124

A.-C.一D.-

455

【答案】D

【解析】由H,所以回’.故選：D

2.（2023上?天津河?xùn)|?高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為:

X1234

I7

Pnmn

已知E(X)==,貝ij2〃?+〃=

6

【答案】-/0.5

0

【解析】依題意有，解得回

則回

故答案為：j

3.（2024?山東德州）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x,y（x,yeN)代替,

分布列如F：

X=i123456

P(X=/)0.210.200.050.100.100.10

則嗚<X<?卜（）

A.035B.0.45C.0.55D.0.65

【答案】B

【解析】由題意得0，化簡(jiǎn)得國(guó)

乂I國(guó)因兇卜所以應(yīng).

所以回一

故選：B

4.（2024?河南南陽(yáng)）（多選）已知X的分布列為

X-101

ptn

24

則（）

A.P（X=1）=：B.E（X）T

C.D（X）=-D.P（X2=1）=-

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,由分布列的性質(zhì)可得A正確:

對(duì)于B,0,B正確；

對(duì)于C,回，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)|同一閾局』時(shí),|ET

IMIIMIII

所以，S,D正確.故選：ABD.

考點(diǎn)二超幾何分布

【例2】（2024?廣東廣州?高三?？计谀┠硨W(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生400人，為了

解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450?950分

之間，根據(jù)調(diào)行的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：

將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為，高分選手

⑴求”的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）:

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)溶在［550,650）,［750,850）內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨

機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

【答案】（1）［］I，平均數(shù)670,中位數(shù)650,眾數(shù)600

⑵分布列見解析，B

［解析］（1）由題意知|區(qū)］一…”—

解得I凹-----1，

樣本平均數(shù)為厄------I，

由于區(qū)］,故中位數(shù)650,

眾數(shù)600.

（2）由題意，從|岡一一］中抽取7人,從|岡…--］中抽取3人,

隨機(jī)變量X的所有可能取值有0,1,2,3.

0

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

【變式】

1.（2024?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，

首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的

又一里程碑.為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)10。名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100

名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間［50,6。），［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］內(nèi),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)旬的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）;

⑵為了進(jìn)一步『解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組150.60）,|60,70）,

［80,90）的游客中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于180,90）的人數(shù)J的分布列

和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）醫(yī)

（2）分布列見解析?，數(shù)學(xué)期望為售

【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得:

I國(guó)~—二!?

（2）由題意可知［50,60）,160,70）和|80,90）的頻率之比為：

故抽取的10人中［50.60）,［60,70）和［80,90）分別為:2人，4人,4人,

隨機(jī)變量J的取值可以為01，2,3,

aa

aH

所以H

2.（2023上?河南南陽(yáng)?高三南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者，某電了?商務(wù)公司

對(duì)該地區(qū)〃名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都

在區(qū)間［0.5,1.1］內(nèi)，其頻率分布宜方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的〃，Ac,d滿足

d=c+0.5=0+l=。+1.5,且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.

(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛好調(diào)查，

①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；

②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴I國(guó)、I,I回1；I回“T，IgI,

(2)①各組應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3,4,5,6；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為附

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為0I，又因?yàn)榈谖逍〗M的頻數(shù)為2400,

所以樣本容量0

因?yàn)榈诹〗M的頻率為I臼|，所以第六小組的頻數(shù)是|臼I.

由須率之和為1，得岡,所以I回-----I.

因?yàn)轭l率分布直方圖中的|臼蹣足4=c+0.5=。+1=〃+1.5,

所以I回1.

所以代AI國(guó)I中，得回1，

得I回I，解得?ZL所以I回—.

(2)①因?yàn)榍?組的頻率之比力回，

且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛好調(diào)查，

所以在|岡------|應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是

②由題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值是0123.則

1~

故隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為0

3.(2024?山西呂梁?校考模擬預(yù)測(cè))作為影視打卡基地，都勻秦漢影視城推出了4大影視博物館：陳情令

館、慶余年館、大秦館、雙世寵圮館，館內(nèi)還原了影視劇中部分經(jīng)典場(chǎng)景，更有豐富的、具有特色的影視

劇紀(jì)念品共游客選擇，國(guó)慶期間甲、乙等5名同學(xué)準(zhǔn)備從以上4個(gè)影視館中選取一個(gè)景點(diǎn)游覽，設(shè)每個(gè)人

只選擇一個(gè)影視館且選擇任一個(gè)影視館是等可能的,

⑴分別求“恰有2人選擇慶余年館"和"甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館〃的概率;

⑵設(shè)X表示5人中選擇博物館的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴“恰有2人選擇慶余年館”和“甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館”的概率分別為回月

（2）分布列見解析，期望為S

【解析】（1）解：所有可能選擇的方式有他巾，設(shè)“恰有2人選擇慶余年館”為事件A,

則其余3人每人都有3種選擇，所以，S,

設(shè)“甲選擇慶余年且乙不選擇陳情館"為事件B,

則乙有3種選擇，其余3人每人都有3種選擇，則0

則“恰有2人選擇慶余年館〃的概率為何:

"甲選擇慶余年館且乙不選擇陳情館”的概率為因

所以，回

考點(diǎn)三二項(xiàng)分布

【例3】（2024上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期末）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了

部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；

【變式】

1.（2024上?安徽合肥?高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲、乙

各射擊一次，甲、乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為070.2,0.1,

乙擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6,020.2，且甲、乙兩人射擊相互獨(dú)立.

⑴在一場(chǎng)比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；

⑵若獨(dú)立進(jìn)行三場(chǎng)比賽，其中X場(chǎng)比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴0.2

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6

【解析】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件A,

則寄件A包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，

則|岡.

（2）由題可知X的所有可能取值為01,2,3,

由（1）可知，在一場(chǎng)比賽中，年擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2,

則舊]，

所以|回|，

B，

故x的分布列為

X0123

P0.5120.3840.0960.008

所以I區(qū)

2.（2024上?北京昌平?高三統(tǒng)考期末）某汽車生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一款新上市的新能源汽車進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研，統(tǒng)計(jì)

該款車車主對(duì)所購(gòu)汽車性能的評(píng)分，將數(shù)據(jù)分成5組：[90,100）,口00,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140],

并整理得到如下頻率分布直方圖：

⑴求"的值;

⑵該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購(gòu)買這款車的車主中任選3人,對(duì)評(píng)分低于110分的車主送價(jià)值3000元的售后服務(wù)

項(xiàng)目，對(duì)評(píng)分不低于110分的車主送價(jià)值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目.若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價(jià)

值為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

⑶用隨機(jī)抽樣的方法從購(gòu)買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這1。人中評(píng)分不低于110分的人數(shù)為V,問

女伏=0,1,2,…』0）為何值時(shí)，P（Y=k）的值最大？（結(jié)論不要求證明）

【答案】⑴臼——I;

（2）分布列見解析,期望6900；

（3）1gI.

［解析］（1）由頻率分布直方圖可知|回卜

（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知評(píng)分低于110分的占比國(guó),！評(píng)分不低于110分的占比日,

任選3人中其評(píng)分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分,1人不低于110分；1人低于110分，

2人不低于110分；3人均不低于110分,

所以X可取|回------|四種情況,

回''

區(qū)，回'

故X的分布列為:

X9000800070005000

1B0.0270.1890.4410.343

則岡

（3）由題意可知|回’一

可知當(dāng)百I時(shí)|回~］取得最大值.

證明如下：設(shè)|岡|最大,即因

回

化笥得，因?yàn)?叵］-------I，故國(guó)

考法四相互獨(dú)立事

【例4】（2024上?北京通州?高三統(tǒng)考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收

飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢、體檢鑒定、飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)、背景調(diào)查、高考選拔等5項(xiàng)流程，其

中前4項(xiàng)流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位

報(bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三

學(xué)生甲、乙、丙三人報(bào)名民航招飛.

⑴估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；

⑵求甲、乙、丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率：

⑶根據(jù)甲、乙、丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)，預(yù)估高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為933,設(shè)甲、乙、

JJJ

丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴）

O

⑵區(qū)

⑶分布列見解析，0

【解析】（1）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約3為12:且能否通過相互獨(dú)立，

433

所以估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率H

（2）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為!，

O

所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率回

（3）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招匕卬請(qǐng)的概率為:，且預(yù)估甲、乙、丙三人的高考成績(jī)能被招9院

6

?33

校錄取的概率分別為（泥,

JJJ

所以甲能被招飛院校錄取的概率0

乙能被招飛院校錄取的概率s

丙能被招飛院校錄取概率s

依題意X的可能取值為0』,2,3,

0

所以

所以X的分布列為:

X02

P區(qū)回臼

所以0

【變式】

1.（2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京舉行，會(huì)議再次

強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車消費(fèi).發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從“汽車大國(guó)"邁向"汽車強(qiáng)國(guó)”的必由之路.我國(guó)某地一

座新能源汽車工廠對(duì)線下的成品車要經(jīng)過多項(xiàng)檢測(cè)，檢測(cè)合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測(cè)試分別為碰

撞測(cè)試和續(xù)航測(cè)試，測(cè)試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格

可得1分，該型號(hào)新能源汽車在他撞測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為g，良好的概率為"；在續(xù)航測(cè)試中結(jié)果

為優(yōu)秀的概率為,2，良好的概率為：2，兩項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，互不影響，該型號(hào)新能源汽車兩項(xiàng)測(cè)試得分之

和記為短

⑴求該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率：

（2）求離散型隨機(jī)變量J的分布列與期望.

時(shí)長(zhǎng)y[0,1)U,2)23)[3,4)[4同

學(xué)生數(shù)3024401610

⑴估計(jì)這120個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）以表中的分組中各組的頻率為概率，校領(lǐng)導(dǎo)要從120名學(xué)生中任意抽取兩名進(jìn)行家長(zhǎng)座談.若抽取的

時(shí)長(zhǎng)則贈(zèng)送家長(zhǎng)慰問金100元；抽取的時(shí)長(zhǎng)ye抽取,則贈(zèng)送家長(zhǎng)慰問金200元；抽取的時(shí)長(zhǎng)

ye[2,5],則贈(zèng)送家長(zhǎng)慰問金300元.設(shè)抽取的2名學(xué)生家長(zhǎng)慰問金額之和為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望.

【答案】⑴舊

（2）分布列見解析：期望為國(guó)

【解析】（1）這120個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)回

（2）依題意可得。1）的概率為

），€[1⑵的概率為0,叵二|的概率為叵

X的所有可能取值為200,300,400,500,600,

0,0

回一-

0,0

則X的分布列為

X200300400500600

1

P記回回

故0

考點(diǎn)五條件概率及全概率

【例5-1]（2024上?廣東佛山?高三石門中學(xué)?？计谀┘僭O(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有5件，其中有2

件次品；第二箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑選1箱，然后從該箱中隨機(jī)取出1個(gè)

零件,若取到的是次品.則這件次品是從第一箱中取出的概率為（）

【答案】D

【解析】設(shè)事件A表示"從第一箱中取出1個(gè)零件"，事件8表示“取出的零件是次品",

0

則

故選：D.

【例5-2】（2024上?河南焦作?高三統(tǒng)考期末）（多選）甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負(fù)貴某

個(gè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目由A優(yōu)。三個(gè)工序組成，甲只負(fù)責(zé)其中一個(gè)工序，且甲負(fù)責(zé)工序的概率分別為

0.5,03,0.2,當(dāng)他負(fù)責(zé)工序A8,C時(shí)，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率分別為0.6,0.8,0.7,則下列結(jié)論正確的是（）

A.該項(xiàng)忖達(dá)標(biāo)的概率為0.68

B.若甲不負(fù)責(zé)工序C,則該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.54

C.若該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)貨工序A的概率為登

34

D.若該項(xiàng)目未達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序4的概率為:

O

【答案】ACD

【解析】記甲負(fù)貨工序A為事件同，甲負(fù)責(zé)工序3為事件向］,甲負(fù)費(fèi)工序C為事件國(guó)，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)為

事件叫

對(duì)于選項(xiàng)A,該項(xiàng)FI達(dá)標(biāo)的概率為

回―|回------I，故選項(xiàng)

A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,

回，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)C,因，所選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,回，所以選項(xiàng)D正確,

故選：ACD.

【變式】

1.（2024全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校有7名同學(xué)獲省數(shù)學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，其中男生4名，女生3名.現(xiàn)隨

機(jī)選取2名學(xué)生作“我愛數(shù)學(xué)”主題演講.假設(shè)事件A為“選取的兩名學(xué)生性別相同〃，事件3為“選取的兩名

學(xué)生為男生”,則P（0A）=（）

13I2

A.-B.-C.-D.-

4433

【答案】D

【解析】由題意得，事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)|國(guó)-----

事件A和4包含的樣本點(diǎn)數(shù)|岡

所以回

故選：D

212024上?江西?高三校聯(lián)考期末）甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲

箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以A，4分別表示由甲箱中取出的是向球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一

球，以8表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

S113

A.A，4互斥B.P（5|A）=-c.P（AB）=-D.P⑻=機(jī)

【答案】C

【解析】因?yàn)槊看沃蝗∫磺颍?，4是互斥的事件，故A正確；

由題意得區(qū)1,0，區(qū)，區(qū),

0，故B,D均正確；

因?yàn)閮?，故C錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（2024?河南信陽(yáng)?統(tǒng)考二模）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行

方式.某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別

為:，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為!，：，!，結(jié)果這一天他遲到了，

333456

在比條件下，他自駕去上班的概率是（）

121534

A.—B.—C.-D.一

373757

【答案】B

【解析】設(shè)事件A表示"自駕”，事件8表示“坐公交車〃，事件。表示“特共享單車"，事件。"表示遲到”，

由題意可知：0,

則s,

回——

0

若小明遲到了，則他自駕去上班的概率是

故選：B.

考點(diǎn)六正態(tài)分布

【例6】（2022上?河南?高三校聯(lián)考專題練習(xí)）為了普及傳染病防治知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的健康意識(shí)和疾病防

犯意識(shí)，提高自身保護(hù)能力，校委會(huì)在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個(gè)人衛(wèi)生相關(guān)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽

（摘分100分），競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如卜.：得分在［70,80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在［80,90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，

得分在［90,100］內(nèi)的學(xué)生獲?等獎(jiǎng)，其它學(xué)生不得獎(jiǎng).教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取

了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，求這兩名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率.

（2）若該校所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布其中cr-15,〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，

利用所得正態(tài)分布模型解決以卜.問題：

①若該校共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中超過79分的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）：

②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分

以上的學(xué)生人數(shù)為求隨機(jī)變量4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則P（〃-b<XW〃+。卜0.6827,

F（//-2<T<X<//+2a）0.9545,P（//-3cr<X<//+3cr）?0.9973.

14

【答案】⑴京

JJ

⑵①百樂②分布列見解析，0?

【解析】（1）解：由樣本頻率分布直方圖知，樣本中獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)為一

獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)為1臼-------I,

若三等獎(jiǎng)的人數(shù)為?臼

獲獎(jiǎng)人數(shù)共訴I，0人沒有獲獎(jiǎng)，

從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，基本事件總數(shù)為同.

設(shè)“抽取兩名學(xué)生中有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)〃的事件為A,則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為反

因?yàn)槊總€(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，所以區(qū)1,

即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為三14.

（2）解：由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)估計(jì)值為

//=35x0.06+45x0.12+55x0.184-65x0.34+75x0.16+85x0.08+95x0.06

=64,

所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N（64.152）.

\-<X<+

①因?yàn)椤?。=79,P(X>19)=P(X>ju+<y)=

2

1-0.6827

X---------------0.15865,

2

所以，參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的人數(shù)約為0.15865x10000=1587；

②由〃=64,得P（X>64）=；,

即從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生的成績(jī)?cè)?4分以上的概率為

所以隨機(jī)變量隨機(jī)變量g的可能值為0、1、2、3,

且%=。）=唳*

球=2）式窗『撲"（一）=《；"

所以隨機(jī)變量4的分布列為

隨機(jī)變鼠4的數(shù)學(xué)期望0

【變式】

1.(2024?陜西西安?統(tǒng)考一模)某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽"，分

預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績(jī)排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從

參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：

■頻率/蛆距

0.0150........威

0.0125...............—|

0.0KX)-I

0.0075-------------------

0.0050—

020構(gòu)6080100學(xué)生的位賽成績(jī)(百分制)

⑴規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求

至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布,其中〃可近似為

樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，且，=362,已知小明

的預(yù)賽成績(jī)?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？

附：若則夕(〃-b<Z<〃+b)=().6827,尸(〃-2b<Z<〃+2b)p().9545,

P(p-3cr<Z<//+3cr)?0.9973；7362?19.

【答案】⑴目分布列見解析，0

⑵有資格參加復(fù)賽

【解析】(1)預(yù)賽成績(jī)?cè)诤蠖莘秶鷥?nèi)的樣本量為：I臼-----I，

預(yù)賽成績(jī)?cè)诟?］范圍內(nèi)的樣本量為:舊一I，

設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為X,可能取值為0,1,2,則S,

乂回

則X的分布列為:

故叵

⑵向

（T2=362，則I國(guó)…］，又回

故0

故全市參加預(yù)賽學(xué)生中，成績(jī)不低于91分的有回人,

因?yàn)榕fI，故小明有資格參加復(fù)賽，

2.（2024上?湖南婁底?高三統(tǒng)考期末）某無人飛機(jī)研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機(jī)，在投放市場(chǎng)

前對(duì)100架新能源無人飛機(jī)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率

（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代

表）；

⑵經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差，的近似值為50,根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款新能源無人飛機(jī)

的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布NJ。?）（用樣本平均數(shù)天和標(biāo)準(zhǔn)差$分別作為〃和。的近似

值），現(xiàn)任取一架新能源無人飛機(jī)，求它的單次最大續(xù)航里程X《250,400］的概率；（參考數(shù)據(jù)?：若隨機(jī)

變量乂~'（〃,"），則

P(〃一b<X<〃+o■卜0.6827,一2b4X?〃+2b卜0.9545,P(〃-3b<X<〃+女r卜0.9973)

⑶該無人飛機(jī)研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機(jī)的載重量和續(xù)航能力分為卓越人型、卓越8型和卓越。型，統(tǒng)

⑴用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；

⑵將此次競(jìng)賽成績(jī)看近似看作服從正態(tài)分布N(〃,4)(用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為〃的近似值),

己知樣本的標(biāo)準(zhǔn)差$。8.5.現(xiàn)從該校參與知識(shí)競(jìng)賽的所有學(xué)生中任取200人，記這200人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)

超過89分的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望：

⑶從得分區(qū)間［80,90)和［90,100］的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再?gòu)倪@10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)

3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來自丁不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間［80,90)的概率.

參考數(shù)據(jù)：若4?則P(〃-b<J?〃+b)°0.68,—2b<&?〃+2b)=0.95,

P(//-3(r<<f<//+3(T)*0.99.

【答案】(1)80.5分

(2)32

【解析］(1)由頻率分布直方圖可知：|國(guó)------

估計(jì)此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)80.5分.

(2)由題意可知：回，

因?yàn)槭?〃一°v44〃+b)a0.68,即g,

可得區(qū)1,

由題意可知：抽取的200人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過89分的學(xué)生人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，

即|岡故x的數(shù)學(xué)期望|岡—.

所以抽取的200人中知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)超過89分的學(xué)生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為32人.

(3)由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在［80,90)和［90,］(叫的頻率分別為0.35和0.15,

按照分層抽樣，抽取10份，其中分?jǐn)?shù)在［80,90),應(yīng)抽取0份，

分?jǐn)?shù)在［90,100］應(yīng)抽取0份，

記事件A：抽測(cè)的3份試卷來自于不同區(qū)間；事件8：取出的試卷有2份來自區(qū)間［80,90),

則I，,

0

故

a

所以抽測(cè)3份試卷有2份來自區(qū)間［80,90）的概率為:.

鞏固基礎(chǔ)

1.（2024上?河北?高三校聯(lián)考期末）第19屈亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步〃的

志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館開展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則

當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí)，場(chǎng)館4僅有2名志愿者的概率為（）

A3-21-6D3

A.-B.—C.—

55（）II4

【答案】B

【解析】不考慮甲是否去場(chǎng)館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為0

甲去場(chǎng)館A,￡C的概率相等，所以甲去場(chǎng)館3或C的總數(shù)為S

甲不去場(chǎng)館A,分兩種情況討論，

情形一，甲去場(chǎng)館8,場(chǎng)館4有兩名志愿者共有府…I種;

情形二，甲去場(chǎng)館C,場(chǎng)館9場(chǎng)館C均有兩人共有向三三［種，

場(chǎng)館8場(chǎng)館A均有兩人共有C：=6種，所以甲不去場(chǎng)館A時(shí),

場(chǎng)館8僅有2名志愿者的概率為0

故選：B.

2.（2023上?河南駐馬店?高三統(tǒng)考期末）（多選）為了解高三學(xué)生體能情況，某中學(xué)對(duì)所有高三男生進(jìn)行

了1000米跑測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明所有男生的成績(jī)X（單位：分）近似服從正態(tài)分布N（75,〃），

p（X<60）=0.1,P（X<70）=03,則下列說法正確的是（）

A.若從高三男生中隨機(jī)挑選1人，則他的成績(jī)?cè)冢?0,90］內(nèi)的概率為0.2

B.若從高三男生中隨機(jī)挑選1人，則他的成績(jī)?cè)冢?0,80］內(nèi)的概率為0.4

C.若從高三男生中隨機(jī)挑選2人,則他們的成績(jī)都不低于75的概率為0.25

D.。越大，P（X>75）的值越小

【答案】ABC

【解析】

,故A,B正確.

無論。為何值,,若從高三男生中隨機(jī)挑選2人,

則他們的成績(jī)都不低于75的概率為].故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

3.（2024?廣東廣州）隨機(jī)變量&有.3個(gè)不同的取值，且其分布列如卜.:

-101

則。（/）的值為____.

【釋析】依題意，回向取值為o,1,且回....,0

則他勺期望0,

所以@勺方差0

故答案為：回

4.（2024,吉林）隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X1234

P0.1in0.32m

則尸(X>2)=

【答案】0.7爐

【解析】由分布列的性質(zhì)可得，I同~1，可得月I，

所以國(guó)

故答案為：0.7

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為準(zhǔn)備2022年北京一張家口冬奧會(huì)，某冰上項(xiàng)目組織計(jì)劃招收一批9~14

歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運(yùn)動(dòng)員，共有10000名運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加測(cè)試，其測(cè)試成績(jī)X（滿分100分）

服從止態(tài)分布N(60,"),成績(jī)?yōu)?0分及以上者可以進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)，已知80分及以上的人數(shù)為228人，請(qǐng)

你通過以上信息，推斷進(jìn)入集訓(xùn)隊(duì)的人數(shù)為.附：。(4-b<X<〃+。)=0.6826,

PQi-2a<Xv〃+2cr)=0.9544,0(〃-3cr<X<〃+3oj=0.9974.

【答案】13

【解析】正態(tài)分布而］,可知|回一1

舊)及以上的人數(shù)為面人,貝J區(qū)，

由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得：|回------