北京市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

高二數(shù)學(xué)（試卷滿分150分考試時間120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1.已知，，，若，則（）A.5 B.4 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可以先求出，再由它們平行可以得到比例關(guān)系從而求出參數(shù)，由此即可得解.因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，解得，所?故選：A.2.已知直線，．若，則實(shí)數(shù)（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】利用兩條直線斜率之積為求解.若，則，解得或.故選：C.【點(diǎn)睛】若直線和直線，當(dāng)直線時有，.3.直線繞其與軸的交點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式可求得直線的斜率.設(shè)直線的傾斜角為，則，將直線繞其與軸的交點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的傾斜角為，因此，直線的斜率為，故選：D.4.已知方程表示一個圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用方程表示圓充要條件，列式求解即得.方程表示一個圓，則，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D5.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長為的橢圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出所求方程的橢圓長半軸長即可.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所求方程的橢圓長半軸長，所以所求方程為.故選：A6.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則.故答案為：A.7.正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0、、、、、、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，可得，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2則，取，則，對于A選項(xiàng)，，A錯；對于B選項(xiàng)，，，且平面，則平面，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯；對于D選項(xiàng)，，，D錯.故選：B.8.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，且有，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.由橢圓方程得，設(shè)，則，為橢圓上一點(diǎn)，，可得，且有，．因?yàn)?，?dāng)時，取得最大值.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓中向量數(shù)量積最值的求解，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)在以下兩方面：（1）的變化是由點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動而產(chǎn)生，解題時可設(shè)，將利用點(diǎn)的坐標(biāo)加以表示；（2）在求的最值時，充分利用橢圓的有界性結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解.9.在三棱錐中，平面，，，，則直線與平面所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.75°【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用線面、面面垂直的判定及性質(zhì)確定線面角，進(jìn)而求出大小.在三棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由，得，而平面，平面，則，平面，則平面，又平面，因此平面平面，在平面上的射影為直線，即是直線與平面所成的角，由，得，在中，，.故選：C10.在正方體中，若點(diǎn)P（異于點(diǎn)B）是棱上一點(diǎn)，則滿足與所成的角為的點(diǎn)P的個數(shù)為（）A.0 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法建立點(diǎn)坐標(biāo)間的等式，再分類討論得解.在正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)，，，于是，整理得，顯然點(diǎn)不能在坐標(biāo)軸上，否則，當(dāng)時，，而，無解，即點(diǎn)不能在棱上；當(dāng)時，，若，則；若，則無解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上；當(dāng)時，，若，則無解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上，所以可以在棱上，點(diǎn)P個數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線線角的求法建立等式，分類討論求解.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及空間向量坐標(biāo)運(yùn)算計算即得.由，，得，，由，得，即，即，解得，所以實(shí)數(shù)的值為2.故答案為：212.圓被直線截得的弦長為________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的弦長公式計算即得.圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，所以所求弦長為.故答案為：813.在正方體中，異面直線與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】由，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，在直角中，即可求解.如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為，可得在直角中，可得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】利用橢圓的定義，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，得最小值.在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，.當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線且、在、之間時等號成立．所以的最小值為.故答案為：.15.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由到兩個定點(diǎn)和點(diǎn)的距離之積等于的所有點(diǎn)組成的．對于曲線，有下列四個結(jié)論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線中心對稱圖形；③曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只有個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④點(diǎn)Px,y是曲線上的點(diǎn)，則．其中正確結(jié)論的編號為________．【答案】①②【解析】【分析】根據(jù)題意求出曲線方程，將代入方程可判斷①，將代入可判斷②，分析額可得，分別令、、，根據(jù)可判斷③，根據(jù)滿足方程可判斷④.設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則由題可得，即曲線的方程為，若在曲線上，則，①將代入可得，滿足方程，即曲線關(guān)于軸對稱，曲線是軸對稱圖形，故①正確；②將代入可得，滿足方程，即曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的中心對稱圖形，故②正確；③由x+12+y令，則，解得，此時點(diǎn)、、1,0在曲線內(nèi)，令，可得，可得，若，則，即點(diǎn)?1,1、0,1、在曲線內(nèi)，由對稱性可知，點(diǎn)、、也在曲線內(nèi)，綜上所述，曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只有個整點(diǎn)，故③錯誤；④因?yàn)闈M足方程，在曲線上，但此時，故④錯誤.故答案為：①②.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究曲線的性質(zhì)，主要是通過研究相應(yīng)的方程所滿足的性質(zhì)來研究曲線性質(zhì).三、解答題（本大題共6小題，共85分．）16.已知圓C經(jīng)過，，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求圓C經(jīng)過點(diǎn)的切線方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出線段的中垂線方程，求出圓心坐標(biāo)及半徑即可.（2）按切線斜率存在與否，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出切線方程.【小問1】線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此圓C的圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2】點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓C相切；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以圓C經(jīng)過點(diǎn)的切線方程為或.17.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．（1）寫出橢圓C焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）求的面積．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的橢圓方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率.（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合三角形面積公式計算即得.【小問1】橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，所以，離心率.【小問2】由（1）知，直線的方程為，由消去得：，解得，所以的面積.18.如圖，平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得出，利用三線合一的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1】證明：因?yàn)槠矫妫矫妫?，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平?【小問2】解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，則，取，可得，由（1）可知，平面的一個法向量為，則，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.19.如圖，六面體中，四邊形為菱形，、、、都垂直于平面．若，．（1）求證：；（2）在棱（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）連接，推導(dǎo)出平面，四邊形為平行四邊形，可得出，可得出平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，計算出三棱錐的體積，利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離，可求出的面積，設(shè)，根據(jù)的面積可得出關(guān)于的等式，解之即可得出結(jié)論.【小問1】證明：連接，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)椋?，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則.【小問2】解：設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，因?yàn)?，則是邊長為的等邊三角形，則，因?yàn)槠矫妫?，則，又因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，因?yàn)?，平面，平面，則平面，同理可證平面，因?yàn)椋⑵矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，，同理，，故四邊形為平行四邊形，線段的中點(diǎn)為，且線段的中點(diǎn)也為，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，點(diǎn)到平面的距離為，，則，因?yàn)?，設(shè)，則，其中，，故在棱上不存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積等于三棱錐的體積.20.已知橢圓（）的長軸長為6，離心率．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點(diǎn)F作斜率為k（）的直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出弦長，及線段的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求解.【小問1】依題意，，由離心率，得橢圓半焦距，因此，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2】由（1）知，直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線方程為，令，得，，而，所以.21.設(shè)n為大于等于2的正整數(shù)，n個實(shí)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組（）稱為上的n維向量．n維向量通常用希臘字母，，等表示．對于n維向量，，設(shè)，，定義內(nèi)積=．（1）已知，，，求，和；（2）求證：四個二維向量中必有兩個向量內(nèi)積為非負(fù)數(shù)，五個三維向量中必有兩個向量內(nèi)積為非負(fù)數(shù)；（3）若m個n（）維向量兩兩內(nèi)積均為負(fù)數(shù)，求證：．【答案】（1），，.（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題干中對內(nèi)積的定義計算即可；（2）先由抽屜原理證明二維向量的情形，然后三維的情形可以化歸為二維的情形；（3）證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，往往可以考慮數(shù)學(xué)歸納法，本題通過對第一個坐標(biāo)分量的討論，借助數(shù)學(xué)歸納法達(dá)到“降維”效果.【小問1】，，.【小問2】先證命題：四個二維向量中必有兩個向量內(nèi)積為非負(fù)數(shù).不妨設(shè)，，，，若存在，則有，那么命題得證，若任意，，由抽屜原理知中必存在兩個數(shù)同號，不妨設(shè)，則又因?yàn)?，所?命題得證.再證命題：五個三維向量中必有兩個向量內(nèi)積為非負(fù)數(shù).不妨設(shè)，，，若存在，則，命題得證，若任意，，考慮4個二維向量，由4個二維向量中必有兩