2024年高考數(shù)學第一輪復習四十三講43 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例（九大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

考向43統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

經(jīng)典題型

經(jīng)典題型一：隨機抽樣、分層抽樣

經(jīng)典題型二：頻率分布直方圖、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖

經(jīng)典題型三：百分位數(shù)

經(jīng)典題型四：樣本的數(shù)字特征

經(jīng)典題型五：變量間的相關關系

經(jīng)典題型六：線性回歸

經(jīng)典題型七：非線性回歸

經(jīng)典題型八：獨立性檢驗

經(jīng)典題型九：誤差分析

知識點一、抽樣

1、抽樣調(diào)查

（I）總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標的全體構(gòu)成的集合稱為總體.

（2）個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體.

（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本，樣

本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.

2、簡單隨機抽樣

（1）定義

一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取”個個體作為樣本（〃工N）,如果每次抽

取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.這樣抽取的樣本，叫

做簡單隨機樣本.

（2）兩種常用的簡單隨機抽樣方法

①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器

中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取〃次，就得到一個容量為〃的樣本.

②隨機數(shù)法：即利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的值機數(shù)進行:抽樣.這里僅介紹隨機數(shù)表法.隨

機數(shù)表由數(shù)字0,1,2,…，9組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置出現(xiàn)的機會都是一樣的.

注意：為了保證所選數(shù)字的隨機性，需在查看隨機數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置.

（3）抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，但是當總體容量

很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機數(shù)法抽取樣本仍不方便.

（4）簡單隨機抽樣的特征

①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進行分析.

②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作.

③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關的分析和計算.

④等可能性：簡單單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的公平.

只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.

3、分層抽樣

（1）定義

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的

個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的.

（2）分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.

②已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解.：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算.

③分層抽樣的計算應根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=裳等=髭琮舞”

注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取〃,=〃?乂（/=1,2,個個體

N

（其中i是層數(shù)，〃是抽取的樣本容量，N,是第i層中個體的個數(shù)，N是總體容量）.

知識點二、用樣本估計總體

I、頻率分布直方圖

（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法

、頻率

（喻而x組距=頻率.

、頻數(shù)頻數(shù)___

②樣篇量=頻率,鬣=樣本容量，樣本容量x頻率=頻數(shù).

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于I.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設中位數(shù)為工，利用工左（右）側(cè)矩形面積之

和等于0.5,即可求出工.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底

邊中點的橫坐標之和，即有x=NP[+NP]++七〃”，其中X”為每個小長方形底邊的中點，心為每個小長

方形的面積.

3、百分位數(shù)

（1）定義

一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有〃％的數(shù)據(jù)小于或等二這個值，且

至少有（10（）-〃）％的數(shù)據(jù)大丁或等丁這個俏.

（2）計算一組〃個數(shù)據(jù)的的第〃百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計算i=.

③若，?不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)/，則第〃百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第〃百分位數(shù)為

第i項與第"1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）四分位數(shù)

我們之前學過的中位數(shù)，相當于是第50百分位數(shù).在實際應用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有

第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大徘列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位

數(shù).

4、樣本的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

②中位數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平

均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應一組數(shù)據(jù)的中間水平.

③平均數(shù)：〃個樣本數(shù)據(jù)%，仁的平均數(shù)為嚏=%+叔+…，反應一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式

n

變形：為為=疝.

r=l

5、標準差和方差

（1）定義

①標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設樣本數(shù)據(jù)是內(nèi),占,…,天，

；表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標準差S=。[（K-7）2+（勺一；）2+…+（/-亍].

②方差：方差就是標準差的平方，即.”=匕（芭-]+（々-]+…+（.4）2].顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)

n

的分散程度上，方差與標準差是一樣的.在解決實際問題時，多采用標準差.

（2）數(shù)據(jù)特征

標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小.標準差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越

大：標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標準差、方差的大小.

（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)

如果數(shù)據(jù)中七….…，怎的平均數(shù)為"方差為果,那么

①一組新數(shù)據(jù)玉+b,x2+b,xn+。的平均數(shù)為x+0，方差是『.

②一組新數(shù)據(jù)叼,ar,,……《與的平均數(shù)為"，方差是,人2.

③一組新數(shù)據(jù)+b,ax=+b,,axlt+。的平均數(shù)為+〃，方差是.

知識點三、變量間的相關關系

1、變量之間的相關關系

當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關系叫相關關系.由于

相關關系的不確定性，在尋找變品之間相關關系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收

集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關系作出判斷.

注意：相關關系與函數(shù)關系是不同的.相關關系是一種非確定的關系.函數(shù)關系是一種確定的關系.

而且函數(shù)關系是一種因果關系，但相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系.

2、散點圖

將樣本中的〃個數(shù)據(jù)點（％,H）（i=L2,…描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖.根據(jù)散點圖

中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關系.

（I）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它

稱為正相關，如圖（I）所示；

（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右卜角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它

稱為負相關，如圖（2）所示.

3、相關系數(shù)

若相應于變量x的取值吞，變量），的觀測值為y（l工區(qū)〃），則變量不與），的相關系數(shù)

￡（若7）（y一），）

i=l通常用，?來衡量x與），之間的線性關系的強弱，「

的范圍為-1W/W1.

（I）當廠＞0時，表示兩個變量正相關；當廠V。時，表示兩個變量負相關.

（2）卜|越接近i,表示兩個變量的線性相關性越強；卜|越接近o,表示兩個變量間幾乎不存在線性相

關關系.當仍=1時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上.

（3）通常當上|>0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系.

知識點四、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法.

對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（xi，yi）,（X2,力），…，（為”）%），其回歸方程），=云+。的求法為

-幻（》-y）工七%~nxy

-----—=-4.....—

￡（內(nèi)-X）2

1-1J-I

a=y-bx

-i?—?"--

其中，x=—Yxy,y=-y>,.,（x,y）稱為樣本點的中心.

2、殘差分析

對于預報變量y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值月，通過回歸方程得到的y稱為預測俏，觀測值減

去預測值等于殘差，4稱為相應于點（4上）的殘差，即有4力.殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對

殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差

分析.

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點（知e）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這

樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=才匹-%）2分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好;

反之，不合適.

（3）相關指數(shù)

.（V，-y.）2

用相關指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：R2=>4

Z（x-y）2

r=1

R2越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

知識點五、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設出回歸方程，通過換元將陌生的非線

性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原

后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測，注意計算要細心，避免計算錯誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它切之間的關系（是否存在非線性關系）；

（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關系，一般選用反比例函數(shù)、二

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程：

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常：則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

知識點六、獨立性檢驗

1、分類變量和列聯(lián)表

（1）分類變量：

變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

（2）列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設有兩個分類變量X和K它們的取值分別為｛.對，％2｝和｛），1,），2｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱

為2x2列聯(lián)表）為

X力總計

aba+b

X2Cdc+d

總計a+cb+dci+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)，一與，的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關系.

a+bc+d

2、等高條形圖

（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示

列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，一與‘一相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關系.

a+bc+d

3、獨立性檢驗

（1）定義：利用獨立性假設、隨機變量K?來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法

稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

⑵公式：六=(〃+〃)(；：￡“〃十萬其中〃一+〃+c+d為樣本容量.

(3)獨立性檢驗的具體步驟如下：

①計算隨機變量片的觀測值3查下表確定臨界值即：

0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果8之及，就推斷“x與y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過〃(K?2%)；否則，就認為在犯

錯誤的概率不超過〃(代>人))的前提下不能推斷“x與y有關系

(2)兩個分類變量x和y是否有關系的判斷標準：

統(tǒng)計學研究表明：

當K?43.841時，認為X與y無關；

當六>3.841時，有95/的把握說X與y有關；

當六>6.635時，有99/的把握說X與丫有關；

當K?>10.828時，有99.9/的把握說X與丫有關.

，常用

常見的非線性回歸模型

(I)指數(shù)函數(shù)型)，=c4(〃>0且c>0)

兩邊取自然對數(shù)，ln.y=ln,rv),即1”=Inc+xln”，

令,，原方程變?yōu)椋齁=lnc+x'lna,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

x=x

(2)對數(shù)函數(shù)型y=Z?lnx+a

令卜V：=:，原方程變?yōu)閥'=/M+a,然后按線性回歸模型求出力，a.

x-Inx

(3)幕函數(shù)型y=ar"

兩邊取常用對數(shù)，lgy=1g(?x"),即Igy=〃lgx+lgo,

令，原方程變?yōu)?=心'+館。，然后按線性回歸模型求出〃，Iga.

"=lgx

(4)二次函數(shù)型)，=bY+a

令［）：=）；，原方程變?yōu)閥=然后按線性回歸模型求出人，”?

X=x

（5）反比例函數(shù)型y=a+&型

x

y'=y

令1,原方程變?yōu)椋?=公'+〃，然后按線性回歸模型求出b,a.

x=—

經(jīng)典題型練

經(jīng)典題型一：隨機抽樣、分層抽樣

1.（2022?全國-高三專題練習）某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣測試，先將700個零

件進行編號，001,002,……,699,700.從中抽取70個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行,若從表中

笫5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是1）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.253D.007

2.（2022?全國?高三專題練習）有甲、乙兩箱籃球，其中甲箱27個，乙箱9個，現(xiàn)從這兩箱籃球中隨機

抽取4個，甲箱抽3個，乙箱抽1個.下列說法不正確的是（）

A.總體是36個籃球B.樣本是4個籃球

C.樣本容量是4D.每個籃球被抽到的可能性不同

3.（2022?上海寶山?高三階段練習）某個年級有男生180人，女生16。人，用分層抽樣的方法從該年級

全體學生中抽取一個容審為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為（）

A.40B.36C.34D.32

4.（2022?江西?贛源中學高三階段練習（文））2022年7月24日，搭載向天實驗艙的長征五號4遙三運載

火箭，在我國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，我國的航天事業(yè)又上了一個新的臺階.某?，F(xiàn)有高一學生HXX）人，

高一學生XOO人，高三學生1200人，為了調(diào)查該校學生對我國航天事業(yè)的了解程度，現(xiàn)從三個年級中采用分

層抽樣的方式抽取60人填寫問卷調(diào)查，則高三年級有多少人被抽中（）

A.16B.18C.20D.24

5.（2022?上海靜安?二模）2022年2月4日至2月20日春節(jié)期間，第24屆冬奧會在北京市和張家口市

聯(lián)合舉行.共有3個冬奧村供運動員和代表隊官員入住，其中北京冬奧村的容量約為2250人，延慶冬奧村的

容量約1440人，張家口冬奧村的容量約2610人.為了解各冬奧村服務質(zhì)量，現(xiàn)共準備了140份調(diào)查問卷，采

用分層抽樣的方法，則需在延慶冬奧村投放的問卷數(shù)量是（）

A.58份B.50份C.32份D.19份

6.（2022?全國?高三專題練習）利用簡單隨機抽樣的方法，從〃個個體（〃:>13）中抽取13個個體，若第二

次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為;，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性為

7.（2022?重慶南開中學高三階段練習）某中學為了掌握學校員工身體狀況，偶爾會采用抽檢的方式來收

集各部門員工的健康情況.為了讓樣本更具有代表性，學校對各部門采用分層抽樣的方法進行抽檢.已知

該校部門A、部門3、部門。分別有40、60、80人，各部門員工不存在交叉任職情況，若共抽檢了90人,

則部門A抽檢人數(shù)為.

經(jīng)典題型二：頻率分布直方圖、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖

8.（2022?遼寧朝陽-高三階段練習）某市教育局為得到高三年級學生身高的數(shù)據(jù)，對高三年級學生進行

抽樣調(diào)查，隨機抽取了1000名學生，他們的身高都在A,B,C,。，E五個層次內(nèi)，分男、女生統(tǒng)計得

到以下樣本分布統(tǒng)計圖，則（〕

女生身高頻率分布直方圖

A.樣本中A層次的女生比相應層次的男生人數(shù)多

B.估計樣本中男生身高的中位數(shù)比女生身高的中位數(shù)大

C.。層次的女生和E層次的男生在整個樣本中頻率相等

D.樣本中"層次的學生數(shù)和C層次的學生數(shù)一樣多

9.（2022?黑龍江?佳木斯一中三模（理））如圖I為某省2019年1~4月份快遞業(yè)務量統(tǒng)計圖，圖2為該

省2019年1~4月份快遞業(yè)務收入統(tǒng)計圖，對統(tǒng)計圖理解不正確的是（）

A.2019年1?4月份快遞業(yè)務量3月份最高,2月份最低，差值接近2000萬件

B.從1?4月份來看，業(yè)務量與'M務收入有波動，但整體保持高速增長

C.從兩圖中看，增量與增長速度并不完全一致，但業(yè)務量與業(yè)務收入變化高度一致

D.2019年1?4月份快遞業(yè)務量同比增長率均超過50%,在3月份最高，和春節(jié)后網(wǎng)購迎來噴漲有關

10.（2022?湖北孝感?高三階段練習）2021年7月至2022年7月，我國居民消費價格保持平檢，居民消

費價格漲跌幅如圖所示，則（

全國居民消費價格漲跌幅

備注：同比增長率二豈月消^工黑費價格X100%,環(huán)比增長率

當月消費價格-上月同期消費價格

=-------上月同期消費價格-------X1i0n°n%o/'

A.2022年1月全國居民消費價格比2021年1月全國居民消費為格有所下降

B.2022年5月全國居民消費價格比2022年4月全國居民消費價格有所上升

C.2021年7月至2022年7月全國居民消費價格同比增長率的40%分位數(shù)為1.0%

D.2021年10月至2022年7月全國居民消費價格環(huán)比增長率的平均數(shù)為0.25%

經(jīng)典題型三：百分位數(shù)

11.（2022?福建省福州華僑中學高三階段練習）某讀書會有5名成員，寒假期間他們每個人閱讀的節(jié)本數(shù)

分別如下：3,5,4,2,I,則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

12.（2022?山東濰坊?高三階段練習）從2,3,4,5,6,7,8,9中隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)一個比加大，

一個比小小的概率為堤，已知機為上述數(shù)據(jù)中的A%分位數(shù)，則4的取值可能為（）

14

A.50B.60C.70D.80

13.（2022?安徽?高三開學考試）學校組織班級知識競賽，某班的8名學生的成績（單位:分）分別是:68、

63、77、76、82、88、92、93,則這8名學生成績的75%分位數(shù)是（）

A.88分B.89分C.90分D.92分

14.（2022?全國?高三專題練習）如圖一所示，某市5月1日至10HPM2.5的日均值（單位：pg/mD變化

15.（2022?湖北武漢?高三開學考試）某校高三數(shù)學備課組老師的年齡（單位：歲）分別為：28,29,42,

32,41,56,45.48,55,59,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）

A.54.5B.55C.55.5D.56

經(jīng)典題型四：樣本的數(shù)字特征

16.（2022?河南?鄭州四中高三階段練習（文））運動員甲10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7,8,9,7,

4,8,9,9,7,2,則下列關于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（）.

A.眾數(shù)為7和9B.平均數(shù)為7

C.中位數(shù)為7D.方差為/=4.8

17.（2022?全國?高三專題練習）在2022北京冬奧會單板滑雪U型場地技巧比賽中，6名評委給A選手

打出了6個各不相同的原始分，經(jīng)過“去掉其中一個最高分和一個最低分''處理后，得到4個有效分.則經(jīng)處

理后的4個有效分與6個原始分相比，一定會變小的數(shù)字特征是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

18.（2022?江蘇?南京市天印高級中學模擬預測）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，我國有關機構(gòu)規(guī)定：該事

件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天每天新增加疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲

、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是（）

A.甲地總體均值為3,中位數(shù)為4

B.乙地總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；

C.丙地總體均值為2,總體方差為3

D.丁地中位數(shù)為3,眾數(shù)為3

19.（2022?浙江?高三開學考試）某學校食堂為了解學生對食堂的滿意度，從高一、高二兩個年級分別隨

機調(diào)查了10（）名學生，根據(jù)學生對食堂的滿意度評分，分別得到高一和高二學生滿意度評分的頻率分布直

若高一和高二學生的滿意度評分中位數(shù)分別為小士，平均數(shù)分別為X，%，則（）

A.x}>x2,yx>y2B.玉>%,y<y2

c.X.<A-2OI<y2D.X,>y2

20.（2022?全國?高三專題練習）為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設，某市組織開展“學

習強國”知識測試，從全體測試人員中隨機抽取了一部分人的測試成績，得到頻率分布直方圖如圖所示.假設

同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，則估計這部分人的測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.85,87.5B.86.75,86.67C.86.75,85D.85,85

21.（2022?全國?高三階段練習（理））某組樣本數(shù)據(jù)的平方和+x：=160,平均數(shù)元=5,

則該組數(shù)據(jù)的方差/=（）

35

A.1B.C.2D.

23

22.（2022?廣東佛山?高三階段練習）已知一組數(shù)據(jù)、,與，工3，%的平均數(shù)是3,方差是2,則由

1,2』-5,2々-5,2當-5,2七-5這5個數(shù)據(jù)組成的新的一組數(shù)據(jù)的方差是（）

A.4B.6C.——D.—

55

23.（2022?四川省成都市第八中學校高三階段練習（理））某班統(tǒng)計一次數(shù)學測驗成績的平均分與方差，

計算完畢才發(fā)現(xiàn)有個同學的分數(shù)還未錄入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為s。新平均分

和新方差分別為京，小，若此同學的得分恰好為7,則（）

A.X=X[,S2=s：B.x=Xi>$2<s；

c.X=r>5|D.$2=s：

24.（2022?全國?高三專題練習（文））某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：??）

和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,04)[0.4,0.51[0.5,0.6)[0.6,0.7]

頻數(shù)3249265

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,03)[03,0.4)[04,0.5)[0.5,0.6)

頻數(shù)151310165

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

（1）在圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

（2）沽計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于O.3n?的概率：

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所

在區(qū)間中點的值作代表.）

25.（2022?重慶十八中兩江實驗中學高三階段練習）2022年3月5日，第十三屈全國人民代表大會第五次

會議在北京人民大會堂開幕，會議報告指出，2021年，國內(nèi)生產(chǎn)總值和居民人均可支配收入明顯增長.某

地為了解居民可支配收入情況，隨機抽取100人，經(jīng)統(tǒng)計，這100人去年可支配收入（單位：萬元）均在區(qū)

間[4.5,105]內(nèi),按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6,5,7.5),[7.5,8.5),[8,5,9.5),[9.5,10.5]分成6組，頻率分布直

（1）求。力的值，并估計這100位居民可支配收入的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）用樣本的頻率估計概率，從該地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的結(jié)果互不影響，求抽取的3人

中至少有兩人去年可支配收入在［7.5,8.5）內(nèi)的概率.

26.（2022?全國?高三專題練習）某中學高三年級有400名學生參加月考，用簡單隨機抽樣的方法抽取了

?個容量為50的樣本，得到數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示.

100110120130140150成績/分

⑴求第四個小矩形的高；

(2)估算樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

27.(2022?北京市第一零九中學高三階段練習)北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調(diào)研分析，隨機抽

取同時選考物理、化學的學生330名，下表是物理、化學成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：

物理成績等級ABC

化學成績等級ABCABCABC

人數(shù)(名)11053255701531210

(1)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績等級為A,估計該生的

化學成績等級為A的概率；

(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生中隨機抽取2人，以X表示這2人中物理、化學成績等級均為

A的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望(以上表中物理、化學成績等級均為A的頻率作為每名學生物理、化學

成績等級均為A的概率)；

(3)汜抽取的330名學生在這次考試中數(shù)學成績(滿分15。分)的方差為卡,排名前50%的成績方差為s：,

排名后50%的成績方差為sj，則*不可能同時大于s：和耳，這種判斷是否正確，并說明理由.

28.(2022?重慶?高三階段練習)重慶軌道交通9號線一期己于今年1月25日開通運營，全長32.29公里，

從高灘巖站至興科大道站一路經(jīng)過23座車站.沙坪壩站是目前客流量最大的站點，某數(shù)學興趣小組在沙坪

壩站作乘客流量來源地相關調(diào)查，從上車人群中隨機選取了100名乘客，記錄了他們從來源地到沙坪壩站所

花費時間/,得到下表：

時間，(min)[0,6)[6,0[12,18)[18,24)[24,30)[30,36)

人數(shù)(人)630351784

(1)從在沙坪壩站上車的乘客中任選?人，估計該乘客花費時間/小于18min的概率；

(2)估計所有在沙坪壩站上車的乘客花費時間/的中位數(shù)；

⑶已知，?0,6)的6人，其平均數(shù)和方差分別為5,1.5；12)的30人，其平均數(shù)和方差分別為8,9,

計算樣本數(shù)據(jù)中fw[0,⑵的平均數(shù)和方差.

經(jīng)典題型五：變量間的相關關系

29.（2022?四川省仁壽縣文宮中學高三階段練習（理））對于x,兩變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它

們的線性相關系數(shù)〃（如下），則線性相關性最強的是（）

A.-0.82B.0.78C.-0.69D.0.87

30.（2022?上海嘉定?高三階段練習）通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便

利店購買冷飲的人數(shù)的相關系數(shù)很高，甲認為這是巧合，兩者其實沒有關系：乙認為冷飲的某種攝入成分

導致了疾??；丙認為病人對冷飲會有特別需求：丁認為兩者的相關關系是存在的，但不能視為因果，請判

斷哪位成員的意見最可能成立（）

A.甲B.乙C.丙D.T

31.（2022?四川?成都七中高三階段練習（理））某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示

的散點圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

0

v51015202530355101520253035

相關系數(shù)為〃相關系數(shù)為，2

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

0

51015202530355101520253035

相關系數(shù)為勺相關系數(shù)為々

下面關于相關系數(shù)的比較，正確的是()

A.弓<4<今B.弓<9<4<勺C.與D.rA<r2<ry<rx

32.（2022?上海交大附中高三階段練習）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有

所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽

樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)a，y）（i=12、20）,其中七和其分別表示第，?個樣區(qū)的

2020

植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量（單位：頭），并計算得2七=60,￡另=1200,

f=11=1

￡|卜-4~=80,白丫-可=9000,工(七-加'廠亍)=800.

i=l；=1i=l

⑴估計該地區(qū)這種野生動物的數(shù)量；

⑵求樣本（M，yJ（i=l,2,,20）的相關系數(shù).（精確到0.01）

33.（2022?陜西?寶雞市陳倉高級中學高三開學考試（理））對兩個變量x,y進行線性相關檢驗，得線性

相關系數(shù)々=0.8995,對兩個變量〃，u進行線性相關檢驗，得線性相關系數(shù)/?2=-09568,則卜.列判斷正確

的是（）

A.變量x與3，正相關，變量〃與u負相關，變量x與y的線性相關性較強

B.變量x與），負相關，變量〃與u正相關，變量x與y的線性相關性較強

C.變量x與），正相關，變量〃與u負相關，變量〃與-的線性相關性較強

D.變量x與），負相關，變量〃與v正相關，變量〃與I，的線性相關性較強

34.（2022?仝國?高三專題練習）甲、乙、丙、丁四位同學各自對工），兩變量的線性相關性做試驗，分別求得

樣本相關系數(shù)，，如下表:

甲乙內(nèi)T

r0.20-0.95-0.120.85

則試驗結(jié)果中K）'兩變量有更強線性相關性的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

35.（2U22?全國?高二專題練習）近五年來某草場羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關系如表所示，繪

制相應的散點圖，如圖所示:

年份12345

羊只數(shù)量/萬只1.40.90.750.60.3

草地植被指數(shù)1.14.315.631.349.7

草地植被指數(shù)

60

50

40

30

20

10

O0.51L5羊只數(shù)出/萬只

根據(jù)表及圖得到以下判斷：①羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)成減函數(shù)關系；②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量

間的相關系數(shù)為人去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關系數(shù)為弓，則用＜同；③可以利用回歸直線方程，準確地

得到當羊只數(shù)量為2萬只時的草地植被指數(shù).以上判斷中正確的個數(shù)是

經(jīng)典題型六：線性回歸

36.（2022?河南安陽?高三階段練習（文））某學習小組用計算機軟件對一組數(shù)據(jù)（4y）（i=l,2,3,…,8）進

行I可歸分析，甲同學首先求出回歸直線方程），=2x+5,樣本點的中心為（2,〃?）.乙同學對甲的計算過程進行

檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)（3,7）誤輸成|：7,3）,數(shù)據(jù)（4,6）誤輸成（4,-6）,將這兩個數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程

9

=H+則實數(shù)上（）

8「510C13

A.-B.—C.—D.—

5333

37.（2022?河南?商丘市第一高級中學高三開學考試（文））己知具有線性相關關系的變量乂y,設其樣

1010

本點為4（4￡）（i=l，2,3,10）,回歸直線方程為y=2x+a，若?>,=30,則〃=（）

/=1；=1

A.40B.-17C.-170D.4

38.（2022?江西?高三開學考試（文））新能源汽車的核心部件是動力電池，電池成本占了新能源整車成

本很大的比例，從2022年年初開始，生產(chǎn)電池的某種有色金屬的價格一路水漲船高.下表是2022年前5

個月我國某電池企業(yè)采購的該有色金屬價格y（單位：千元/kg）與月份工的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

X12345

y1.73.04.46.07.4

已知y與x之間滿足線性相關關系，且§=加+>由此方程預測到x=6時，尸8.82,貝山=（）

A.1.38B.1.40C.1.42D.1.44

39.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?高三開學考試）新能源汽車的核心部件是動力電池，碳酸鋰是動力電池的主要成分,

從2021年底開始，碳酸鉀的價格一直升高，下表是2022年我國某企業(yè)前5個月購買碳酸鋰價格與月份的

統(tǒng)計數(shù)據(jù).由下表可知其線性回歸方程為?=Q28X+0.16,

月份代碼x12345

碳酸鋰價格y0.5a11.21.5

則表中"的值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

40.（2022?全國?模擬預測（文））2020年，國慶“遇上”中秋，中國人把這個“超長黃金周”過出了年味.假

期期間，全國各大旅游景點、車站、機場人頭攢動的景象也吸引了世界的目光.外國媒體、專家和網(wǎng)友”實名

羨慕“，這一派熱鬧景象證明了抗疫的成功，也展示了中國經(jīng)濟復蘇的勁頭.抗疫的成功離不開國家強大的醫(yī)

療衛(wèi)生體系，下表是某省2013年至2019年醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)y（單位：萬個）：

年份2013201420152016201720182019

年份代號/1234567

醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)4.24.34.54.74.84.84.9

（1）求關于/的線性回歸方程丁=百+。（4,/；保留兩位小數(shù)）：

（2）規(guī)定若某年的實際醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)與估計值的差的絕對值不超過500個，則稱該年是“吻合”年.利川（1）

的結(jié)果，假設2020年該省醫(yī)療衛(wèi)生機構(gòu)數(shù)的估計值為實際值，現(xiàn)從2013年至2020年這8年中任選3年，

其中“吻合”年的個數(shù)為X,求XI內(nèi)分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：=132.2,7=4.5.

/=1

.—T

參考公式：線性回歸方程），二初+“中斜率和撤距的最小二乘估L公式分別為：b=『----;—,

Z"）一

/=1

a=y-bt.

41.（2022?貴州?高三階段練習（理））某電商平臺統(tǒng)計了其牌下一家專營店在2022年3月至7月的營業(yè)

收入〉’（單位：萬），得到以下數(shù)據(jù)：

月份X34567

營業(yè)收入）'1012111220

（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與工的關系？請計算相關系數(shù)r并加以說明（計算結(jié)

果精確到0.01）；（若卜|20.75,則線性相關程度很高，可用線性|可歸模型擬合）

（2）試用最小二乘法求出營業(yè)收入y與月份工的回歸方程，并預測當48時該專營店的營業(yè)收入.

參考公式：相關系數(shù)「=7券-------：---------■,參考數(shù)據(jù)：＞/10?3.162,線性回歸方程；y=bx+a,其

歷—）》（另-到2

Vr=11=1

?一，）①-刃立出-疝.反

中人口----------=號---------，a=y-bx

￡（怎-『）2力”位2

r=1i=1

42.（2022?江蘇南京?高三階段練習）笫五代移動通信技術(shù)（簡稱5G）是具有高速率、低時延和大連接

特點的新一代寬帶移動通信技術(shù)，它具有更高的速率、更寬的帝寬、更高的可靠性、更低的時延等特征,

能夠滿足未來虛擬現(xiàn)實、超高清視頻、智能制造、自動駕駛等用戶和行業(yè)的應用需求.某機構(gòu)統(tǒng)計了

人民CQ方尸共6家公司在5G通信技術(shù)上的投入x（千萬元）與收益V（千萬元）的數(shù)據(jù)，如下表：

投入X（千萬元）578101113

收益y（千萬元）111516222531

（1）若X與丁之間線性相關，求y關于X的線性回歸方程.并估計若投入15千萬元，收益大約為多少千萬元？

（精確到0.01）

⑵現(xiàn)6家公司各派出一名代表參加某項宣傳活動，該活動在甲，乙兩個城市同時進行，6名代表通過拋擲一

枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪個城市參加活動，規(guī)定：每人只拋擲一次，擲出正面向上的點數(shù)為135,6的

去甲城市，擲出正面向上的點數(shù)為2.4的去乙城市.求：

①A公司派出的代表去甲城市參加活動的概率：

②求6位代表中去甲城市的人數(shù)少于去乙城市的人數(shù)的概率.（用最簡分數(shù)作答）

6用￡（%-可（乂-為__

參考數(shù)據(jù)及公式：2七丫二1186,$=嚀--------=J------------，a=^-bx

￡片_欣2￡（匕-寸

;=|1=1

43.（2022?全國?高三專題練習）隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢

業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人數(shù)是341萬人，2