河北省衡水市饒陽(yáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源—2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷卷面總分:150分考試時(shí)間:120分鐘一、單選題(每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第二象限.故選:B2.為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,實(shí)驗(yàn)中學(xué)舉行高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽,以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的10人的成績(jī):(單位:分)78,70,72,86,79,80,81,84,56,83,則這10人成績(jī)的第80百分位數(shù)是()A.83 B.83.5 C.84 D.70【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列得,56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,,故其第80百分位數(shù)是,故選:B.3.,兩名學(xué)生均打算只去甲、乙兩個(gè)城市中的一個(gè)上大學(xué),且兩人去哪個(gè)城市互不影響,若去甲城市的概率為,去甲城市的概率為,則,不去同一城市上大學(xué)的概率為()A.0.3 B.0.56 C.0.54 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到,分別去乙城市的概率,從而求得,去同一城市上大學(xué)的概率,即可得到,不去同一城市上大學(xué)的概率.【詳解】由題意知:去甲城市的概率為,去甲城市的概率為,即去乙城市的概率為0.4,去乙城市的概率為0.8,所以,去同一城市上大學(xué)的概率,所以則,不去同一城市上大學(xué)的概率,故選:B.4.在中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果【詳解】在中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),則．故選:C.5.若扇形的周長(zhǎng)為36,要使這個(gè)扇形的面積最大,則此時(shí)扇形的圓心角的弧度為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形的周長(zhǎng)及面積公式,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,據(jù)此利用弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為,弧長(zhǎng)為,則,所以,故當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),所以,故選:B6.已知向量,,若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出、的關(guān)系式,即可求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?,且,則,若,則,這與矛盾,故,因此,.故選:D.7.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為2,記其側(cè)面積為,體積為,則當(dāng)取得最大值時(shí),圓錐的底面半徑為()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,結(jié)合圓錐的側(cè)面積和體積公式求得的表達(dá)式,結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r,高為h,由題意知母線長(zhǎng)為則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得等號(hào),故選:C8.已知,,則的值為()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件切化弦,整理得出,然后把展開(kāi)可求出,從而利用兩角和的余弦公式可求解.【詳解】由于,且,則,整理得,則,整理得,所以.故選:D.二、多選題(每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.如圖,用正方體ABCD一A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線線垂直、線線平行等知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于是的中點(diǎn),所以三點(diǎn)共線,則是的中點(diǎn),由于是的中點(diǎn),所以,C選項(xiàng)正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面,由于平面,所以,所以,A選項(xiàng)正確.由于,所以,B選項(xiàng)正確.由于,與相交,所以與不平行,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:ABC10.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、,圖象在軸上的交點(diǎn)為.則下列結(jié)論正確的是()A.最小正周期為B.的最大值為2C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為偶函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng),根據(jù)圖象得到,A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),先根據(jù)最小正周期求出,代入特殊點(diǎn)坐標(biāo),求出,,得到B正確;C選項(xiàng),代入檢驗(yàn)得到在區(qū)間上單調(diào)遞增;D選項(xiàng),求出,利用函數(shù)奇偶性定義判斷.【詳解】A選項(xiàng),設(shè)的最小正周期為,由圖象可知,解得,A錯(cuò)誤;B選項(xiàng),因?yàn)?所以,解得,故,將代入解析式得,因?yàn)?所以解得,因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,故,的最大值為2,B正確;C選項(xiàng),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,C正確;D選項(xiàng),,由于與不一定相等,故不是偶函數(shù),D錯(cuò)誤.故選:BC11.下列說(shuō)法正確的是()A.數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)和中位數(shù)相同B.數(shù)據(jù)6,5,4,3,3,3,2,2,1的眾數(shù)為3C.有甲、乙、丙三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查,如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9,則樣本容量為30D.甲組數(shù)據(jù)的方差為4,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組【答案】AB【解析】【分析】利用平均數(shù)與中位數(shù)的定義可判斷A;利用眾數(shù)的定義可判斷B;利用分層抽樣的定義及抽樣比求解判斷C;利用方差的定義及意義可判斷D.【詳解】對(duì)于A,平均數(shù)為,中位數(shù)為,故A正確;對(duì)于B,數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3,故B正確;對(duì)于C,設(shè)樣本容量為x,由題知,解得,即樣本容量為18,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為,又,所以兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲組,故D錯(cuò)誤.故選:AB12.在中,角對(duì)邊分別為,下列說(shuō)法正確的是()A.若,,則等邊三角形B.是成立的充要條件C.若的面積為,則D.若點(diǎn)滿足,且,則【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦、余弦定理,三角形面積公式及誘導(dǎo)公式,結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件,逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)?,由正弦定理得到,又由余弦定理,得到,即,所以,故選項(xiàng)A正確;選項(xiàng)B,因?yàn)?所以,即,又,,所以,由正弦定理得,,又由三角形中,大邊對(duì)大角,得,又以上過(guò)程均可逆,故選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,因?yàn)?整理得,又由正弦定理可得,即,所以,故或,得到或,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,如圖,在中,,在中,,兩式相比得,因?yàn)?且,所以,,且,所以,故,所以選項(xiàng)D正確.故選:ABD三、填空題(每小題5分,共20分)13.已知點(diǎn)在角的終邊上,則______.【答案】【解析】【分析】首先求,再由齊次式化簡(jiǎn)求值.【詳解】由題意可知,∴.故答案為:.14.已知向量,,,則向量與的夾角為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由可得,,后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】,則,則,又,則故答案為:.15.在四棱錐中,所有側(cè)棱長(zhǎng)都為,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,O是P在平面ABCD內(nèi)的射影,M是PC的中點(diǎn),則異面直線OP與BM所成角為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)為,連接,利用中位線性質(zhì)得,則異面直線夾角轉(zhuǎn)化為求,再利用勾股定理求出相關(guān)線段長(zhǎng),最后求出即可得到答案.【詳解】由題意可知底面是邊長(zhǎng)為的正方形,所有側(cè)棱長(zhǎng)都為則四棱錐為正四棱錐,為正方形的中心,取的中點(diǎn)為,連接,又因?yàn)镸是PC的中點(diǎn),則,則即為所求,因?yàn)槠矫?所以平面,則,,則,因?yàn)?所以.故答案為:.16.中國(guó)最高的摩天輪是“南昌之星”,它的最高點(diǎn)離地面160米,直徑為156米,并以每30分鐘一周的速度勻速旋轉(zhuǎn),若摩天輪某座艙A經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí),則10分鐘后A離地面的高度為_(kāi)_______米.【答案】121【解析】【分析】設(shè)座艙A與地面的高度與時(shí)間t的關(guān)系為∶,求出各參數(shù),可得函數(shù)解析式,將代入,即可求得答案.【詳解】設(shè)座艙A與地面的高度與時(shí)間t的關(guān)系為∶,由題意可知,,,即,又:,即,由于,故,故,所以(米),故答案為:121四、解答題(共70分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.在中,,,.(1)求的面積;(2)求c及的值.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)利用平方關(guān)系求得,應(yīng)用三角形面積公式求的面積;(2)余弦公式求c,再應(yīng)用正弦定理求.【小問(wèn)1詳解】由且,則,所以.【小問(wèn)2詳解】由,則,而,則.18.如圖,正三棱柱中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證:平面;(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)通過(guò)直線與直線平行證直線與面平行.(2)通過(guò)等體積轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】解:連接,與相交于,連接,則是的中點(diǎn),又為的中點(diǎn),所以,平面,平面,所以平面;【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn),連,則,且,又面,,且,∴面,,.19.全國(guó)愛(ài)衛(wèi)辦組織開(kāi)展“地級(jí)市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作,2023年2月14日24日在網(wǎng)上進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,該調(diào)查是國(guó)家衛(wèi)生城市評(píng)審的重要依據(jù),居民可根據(jù)自身實(shí)際感受,對(duì)所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評(píng)價(jià).現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名居民的問(wèn)卷進(jìn)行評(píng)分統(tǒng)計(jì),評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)分組依次為:(1)求的值以及這100名居民問(wèn)卷評(píng)分的中位數(shù);(2)若根據(jù)各組的頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從評(píng)分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再?gòu)倪@6人中選取2人進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查,求這2人中恰有1人的評(píng)分在內(nèi)的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由各組數(shù)據(jù)頻率之和為1可得a,由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)公式可得答案;(2)由(1)結(jié)合頻率分布直方圖可知6人中,[65,70)中的有2人,[70,75)中的有4人,后利用列舉法可知總情況數(shù)與2人中恰有1人的評(píng)分在[70,75)內(nèi)的情況數(shù),即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖,;注意到前3個(gè)矩形對(duì)應(yīng)頻率之和為:,前4個(gè)矩形對(duì)應(yīng)頻率之和為:,則中位數(shù)在之間,設(shè)為x,則,即中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】評(píng)分在[65,70),[70,75)對(duì)應(yīng)頻率為:,則抽取6人中,[65,70)中的有2人,設(shè)為,[70,75)中的有4人,設(shè)為.則從6人中選取2人的情況為:,共15種,恰有1人在[70,75)中的有8種情況,故相應(yīng)概率為:.20.已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值集合;(2)在中,角的對(duì)邊分別為,若,求面積的最大值.【答案】(1),此時(shí)自變量的取值集合為(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到解析式,再由輔助角公式化簡(jiǎn),由正弦型函數(shù)的最值即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)題意,結(jié)合(1)中解析式可得,再由余弦定理以及基本不等式即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題知,,當(dāng),即時(shí),最大,且最大值為,即,此時(shí)自變量的取值集合為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知,,則,因?yàn)樵谥?,所以,所以,所以,又由余弦定理及,得:,即,所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).所以.21.世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異,電動(dòng)汽車主要分三類:純電動(dòng)汽車、混合動(dòng)力電動(dòng)汽車和燃料電池電動(dòng)汽車.這3類電動(dòng)汽車目前處在不同的發(fā)展階段,并各自具有不同的發(fā)展策略.中國(guó)的電動(dòng)汽車革命也早已展開(kāi),以新能源汽車替代汽(柴)油車,中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過(guò)市場(chǎng)分析,全年需投入固定成本2000萬(wàn)元,每生產(chǎn)(百輛),需另投入成本(萬(wàn)元),且;已知每輛車售價(jià)5萬(wàn)元,由市場(chǎng)調(diào)研知,全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1);(2)100(百輛),2300萬(wàn)元.【解析】【分析】(1)根據(jù)利潤(rùn)收入-總成本,即可求得(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(2)分段求得函數(shù)的最大值,比較大小可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知利潤(rùn)收入-總成本,所以利潤(rùn),故2022年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào);綜上所述,當(dāng)產(chǎn)量為100(百輛)時(shí),取得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為2300萬(wàn)元．22.已知梯形中,,,E為線段上一點(diǎn)(不在端點(diǎn)),沿線段將折成,使得平面平面.(1)當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí),證明:平面平面;(2)若與平面所成角的正弦值為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)先根據(jù)線面垂直的判定得出平面即可;(2)過(guò)作交于點(diǎn),連,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為得出圖形中的各邊關(guān)系,進(jìn)而證明平面,求銳二面角的余弦值時(shí),方法一,可根據(jù)面積的比值計(jì)算;方法二,可分別取的中點(diǎn),連接,根據(jù)平面平面,過(guò)作交于點(diǎn),連,再證明為二面角