重難點24 向量壓軸小題十大題型【2024高考數(shù)學二輪復習題型突破】（解析版）

高中數(shù)學精編資源2/2重難點專題24向量壓軸小題十大題型匯總題型1平面向量的線性運算 1◆類型1基底法 1◆類型2三點共線方程組法 6◆類型3坐標法 7◆類型4等和線法法 17題型2向量數(shù)量積最值取值范圍問題 19◆類型1定義法 19◆類型2基底法（線性表示） 27◆類型3坐標法 31◆類型4極化恒等式法 37◆類型5幾何意義法 40題型3向量模長最值取值范圍問題 42◆類型1坐標法 42◆類型2幾何意義法 49◆類型3三角換元法 57◆類型4三角不等式法 59題型4向量共線的應(yīng)用 62題型5向量夾角 70題型6向量平行與垂直的應(yīng)用 75題型7投影向量 79題型8解析幾何與向量 84題型9奔馳定理與面積比 93題型10向量四心 97題型1平面向量的線性運算◆類型1基底法平面向量基本定理（平面內(nèi)三個向量之間關(guān)系）；若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1＋λ1.選定基底，則λ1、λ2，是唯一的2.處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系.【例題1-1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形ABCD中，點E為邊CD中點，點F為邊BC上靠近點B的三等分點，連接AF，BE交于點M，連接AC，點N為AC上靠近點C的三等分點，記AB=a，A．點M，N，E三點共線B．若AM=λaC．BND．S△ABM=17S【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的線性運算，將需要的向量都用AB,AD來表示，設(shè)EM=mEB，MA=c【詳解】如圖所示:

平行四邊形ABCD中，因為點N為AC上靠近點C的三等分點，所以AN=23所以EN=設(shè)EM=m所以EM//EN，又有公共點E，所以點設(shè)MA=cAE=故12所以AM=BN=因為EM=57故BN=因為AM=67故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：此題主要是點M，點N在線段BE上的位置未給，所以通過平面向量基本定理構(gòu)造求解，設(shè)EM=mEB，MA=cAF，利用AE=【變式1-1】1.（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F為線段BD上的一動點，若AF=xAE+yDC，且x>m>0，A．8243 B．4243 C．3【答案】B【分析】利用平面向量的基本定理可得出32x+y=1，分析可知0<m<23，由基本不等式可得出myx-m【詳解】由題意可得AE=所以，AF=x因為F為線段BD上的點，所以，存在λ∈0,1，使得DF所以，AF-AD=λ所以，12x+y=λx=1-λ因為x>0y=1-32所以，my≤3令fm=3則f'當0<m<29時，f'當29<m<23時，所以，fm當且僅當m=29，x=49時，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于推導出32x+y=1，得出myx-m=32m【變式1-1】2.（2022秋·遼寧沈陽·高三東北育才學校?？计谀┮阎狾是ΔABC內(nèi)一點，且OA+OB+OC=0，點M在A．1,52 B．1,2 C．2【答案】B【解析】根據(jù)OA+OB+OC=0可知O為ΔABC的重心；根據(jù)點M在【詳解】因為O是ΔABC內(nèi)一點，且OA所以O(shè)為ΔABC的重心M在ΔOBC內(nèi)（不含邊界），且當M與O重合時，λ+2μ最小，此時AM=λAB+μAC當M與C重合時，λ+2μ最大，此時AM=AC所以λ=0,μ=1因為M在ΔOBC內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即λ+2μ∈所以選B【點睛】本題考查了向量在三角形中的線性運算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題．【變式1-1】3.（2020春·湖北襄陽·高三襄陽四中?？茧A段練習）在ΔABC中，AC=2,AB=2,∠BAC=120°A．73 B．273 C．【答案】C【分析】化簡得到AM=λ2AB+μ2【詳解】AM=故AM故1=λ2+當λ=μ=1時等號成立.故選：C.【點睛】本題考查了向量的運算，最值問題，意在考查學生的綜合應(yīng)用能力.◆類型2三點共線方程組法【例題1-2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在△ABC中，AD=DB,E是線段BC上的點，且滿足BE=2EC，線段CD

A．AE=1C．AF=1【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由平面向量線性運算可得選項A正確；由AF與AE共線，可得AF=λAE=λ3AB+2λ3AC，由C、F、D三點共線，得【詳解】由題意，AE=由AF與AE共線，可得AF=λ由C、F、D三點共線，得AF=t由平面向量基本定理，可得λ3=t所以，AF=14AB+由C、F、D三點共線，得CF=k即AF-AC=k(由選項C可得，(1-k)(1再由平面向量基本定理得，1-k4=-k所以，CF=-DF，即故選：ACD.◆類型3坐標法【例題1-3】（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延長邊CD至點E，使得DE=CD.動點P從點A出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，若AP=λ

A．滿足λ+μ=1的點P有且只有一個B．滿足λ+μ=2的點P有兩個C．λ+μ存在最小值D．λ+μ不存在最大值【答案】BC【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，然后利用點P的四種位置進行分類討論即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)菱形ABCD的邊長為1，P(x,y)，則A(0,0),B(1,0),C3所以AB=1,0,由AP=λAB+μ所以x=λ-12μ①當點P在AB上時，0≤x≤1，且y=0，所以λ+μ=x+3②當點P在BC（不含點B）上時，則BP=mBC，所以x-1,y=m所以λ+μ=x+3因為1<x≤32，所以1<4x-3≤3，即③當點P在CD（不含點C）上時，12≤x<3所以12+32≤x+④當點P在AD（不含點A、D）上時，則AP=nAD，所以x,y=n所以λ+μ=x+3因為0<x<12，所以0<4x<2，所以對于A，由①知，當λ+μ=1時，x=1，此時點P與點B重合；由④可知當λ+μ=1時，x=14，y=34，此時點其它均不可能，所以這樣的點P有兩個，所以A錯誤，對于B，由②知，當λ+μ=2時，x=54，y=34，此時點由③知，當λ+μ=2時，x=12，y=32，此時點其它均不可能，所以這樣的點P有兩個，所以B正確，對于CD，由①②③④可得：當x=y=0，即點P為點A時，λ+μ取到最小值0；當x=32,y=32，即點P故選：BC.

【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，然后分類討論，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.【變式1-3】1.（多選）（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）古希臘數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù).已知AB=BC=CD=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AC與BD交于點O，若DO=λAB+μA．2-1 B．1-2 C．2【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求得相關(guān)向量坐標，根據(jù)DO=λ【詳解】以C為坐標原點，CD,CA所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的坐標系，由題意得AC=2則A0,2,B因為CB=CD=1,∠DCB=90°+因為tan45°=所以O(shè)C=DC?tan故O0,2-1.又D因為DO=λAB+μ解得λ=2μ=-1，所以故選：A.【點睛】方法點睛：注意到題目中的垂直關(guān)系，由此可以建立直角坐標系，利用向量的坐標運算來解決平面向量基本定理中的參數(shù)求解問題.【變式1-3】2.（多選）（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=4OA=4，動點P在CD上（含端點），連結(jié)OP交扇形OAB的弧ABA．若y=x，則x+y=1 B．若y=2x，則OAC．AB?OP【答案】BD【分析】作OE⊥OC，分別以O(shè)C,OE為x，y軸建立平面直角坐標系，利用向量坐標求解即可.【詳解】如圖，作OE⊥OC，分別以O(shè)C,OE為x，y軸建立平面直角坐標系，則A(1,0)，C(4,0)，B(-12,設(shè)Qcosθ,由OQ=xOC+yOD可得若y=x，則cos2解得x=y=14（負值舍去），故若y=2x，則cosθ=4x-2y=0，θ=π2AB?OP=(-32故-6≤4由于PAPA?PB=1-所以PA?故選：BD【變式1-3】3.（2023·全國·高三專題練習）正方形ABCD的邊長為4，E是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，AP=λA．μ最大值為1 B．AP·AB最大值是8C．λ最大值為5+14 D．AP?【答案】AD【分析】建系，設(shè)P2【詳解】如圖，以AB的中點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A-2,0設(shè)P2可得AP=則λAB由題意可得4λ+4μ=2cosθ+22μ=2對于A：∵μ=sinθ，且θ∈0,π，可得當∴μ最大值為1，故A正確；對于B：AP·AB=4∵θ∈0,π，可得當θ=0時，∴AP·AB最大值是81+1對于C：∵λ=12cos由θ∈0,π，則令φ≤θ+φ<π，解得0≤θ<π-φ；令π故λ=52cosθ+φ+當θ=0時，則λ=1；當θ=π時，則λ=0<1∴λ最大值是1，故C錯誤；對于D：AP?AC∵θ∈0,π，則則當θ+π4=π2∴AP?AC最大值是8+8故選：AD.【點睛】方法定睛：1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標運算來實現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【變式1-3】4.（2023·北京海淀·?？寄M預測）已知點O是邊長為4的正方形的中心，點P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，OP=1，若AP（1）λ的取值范圍是；（2）當λ+μ取得最大值時，AP=【答案】[14【分析】建立以A為原點的坐標系，可得P的軌跡方程，由P的軌跡方程可知1≤x≤3，即1≤4λ≤3，從而得第一問答案；將x=4λy=4μ代入P的軌跡方程得(λ-12)2+(μ-【詳解】解：建立以A為原點的坐標系，如圖所示：由OP=1可得P的軌跡是以O(shè)(2,2)設(shè)P(x,y)，則有(x-2)2所以AP=(x,y)又因為AB=(4,0),所以x=4λy=4μ由P的軌跡方程可知1≤x≤3，即1≤4λ≤3，所以14所以λ的范圍為：[1將x=4λy=4μ代入(x-2)2+所以點(λ,μ)在圓(x-1設(shè)λ=1則λ+μ=1+1所以當θ=π4時，λ+μ取最大值，此時所以AP=λ所以|AP所以|AP故答案為：[14【點睛】方法點睛：對于較復雜的平面向量中涉及范圍的問題，通過建模，將問題轉(zhuǎn)化向量的坐標運算，從代數(shù)角度出發(fā)進行解答，從而降低難度.【變式1-3】5.（2023·全國·高三專題練習）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=1，AB=2，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)AP=λAD+μABλ,μ∈【答案】49【分析】建立合適的直角坐標系，求出各個點的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式求得圓C的方程，再求出P點坐標，建立關(guān)于λ,μ的不等式，令t=λ+μ代入不等式，根據(jù)判別式大于零可得t的范圍，化簡λ2+72λμ【詳解】解：以A為原點，分別以AB,AD方向為x,y軸，建立如圖所示直角坐標系：所以A0,0，B2,0，C1,1，D0,1，所以因為圓C直線BD相切，而lBD:x+2y-2=0，圓心所以半徑r=15=55因為AP=λ即P2μ,λ，因為動點P在圓C上或圓C所以2μ-12+λ-12≤所以不等式可化為：2μ-12所以5μ2-所以2t+22-4×5×t-12+所以原式λ=-5所以當t=2，λ=7t10，即λ=75，故答案為：49【點睛】思路點睛：該題考查向量結(jié)合直線與圓的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于該題的思路有：（1）圖形比較規(guī)則，建立直角坐標系來解決向量問題；（2）得到關(guān)于λ,μ的不等式中沒有λ?μ，所以取t=λ+μ，建立λ,μ之間的關(guān)系；（3）用判別式求得t的范圍，化簡所求式子至二次函數(shù)的形式；（4）根據(jù)二次函數(shù)的最值及t的范圍求出最值.◆類型4等和線法法等和線原理：OAOF=λOB+μ【例題1-4】（2023·全國·高三專題練習）已知A、B、C是圓O:x2+y2=4上的三點，∠AOB=2π3,CO的延長線與線段AB【答案】[-2,-1]【詳解】解法一：如圖1，不妨設(shè)A(2,0),B(-1,3),C(2cos則OC=(2因為OC=mOA+nOB，所以所以m=33sinα+cos所以α+π6∈-5π解法二：如圖2，由等和線定理，當點C與點C1或點C2重合時，m+n取得最大值，設(shè)直線C1C2與直線OD所以m+n的最大值為-1；將直線AB向下平移至直線l，使l與圓O相切于點C3當點C與C3重合時，m+n取得最小值，當點C與C3重合時，OC3|OD|=2，所以m+n的最小值為

題型2向量數(shù)量積最值取值范圍問題求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義（包括向量數(shù)量積幾何意義）（2）利用向量的坐標運算（自主建系，只要題目有可以建系的條件，可通過建系法求解）；（3）利用向量三角不等式◆類型1定義法【例題2-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，△ABC中，∠C=π4，AC=2，BC=6+2.在△ABC所在的平面內(nèi)，有一個邊長為1的正方形ADEFA．-3,5 B．-4,6 C．-5,9 D．-3,4【答案】A【分析】由余弦定理求得AB=22，由正方形ADEF的邊長為1，求得AE=2,∠DAE=45°【詳解】在△ABC中，∠C=π4，AC=2，由余弦定理得AB所以AB=22又由正方形ADEF的邊長為1，可得AE=2則AE=2正方形ADEF繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），可得cos∠BAE∈[-1,1]所以1-4cos∠BAE∈[-3,5]，即AE?故選：A.【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，∠A=60°，BC=23，O為△ABC的外心，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，且OD2+OE2【答案】-4【分析】先求出OA=OB=OC=2.設(shè)∠AOB=α,∠BOC=β,則∠AOC=2【詳解】如圖示，作出△ABC的外接圓O，設(shè)半徑為R.由正弦定理得：BCsinA=2R,即23sin設(shè)∠AOB=α,∠BOC=β,則∠AOC=2π所以O(shè)A=4cos因為O為△ABC的外心，所以∠AOD=12∠AOB=同理：OE=2cosβ因為OD2+OE所以cos2由二倍角的余弦公式可得：cosα+所以O(shè)A?故答案為：-4.【點睛】向量的基本運算處理的常用方法：(1)向量幾何化：畫出合適的圖形，利用向量的運算法則處理；(2)向量坐標化：建立適當?shù)淖鴺讼担孟蛄康淖鴺诉\算處理【變式2-1】2.（2023秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？奸_學考試）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點P是圓O內(nèi)的定點，且OP=2，弦AC,BD均過點P

A．PA?PC為定值 B．OAC．當AC⊥BD時，AB?CD為定值 D．【答案】B【分析】過O,P作直徑EF，利用向量加減幾何意義得PA?PC==-(|OF|-|OP|)(|OF|+|OP|)判斷A；若M為AC中點，連接OM，應(yīng)用向量線性運算的幾何意義及數(shù)量積的運算律、圓的性質(zhì)得OA?OC【詳解】如圖，過O,P作直徑EF，由題意PA?所以PA=-(|OF若M為AC中點，連接OM，則OA?由題意0≤OM2≤若AC⊥BD，故PB?則AB?又PA?PC=-2，則AP?CP若N為BD中點，連接ON，則|AC當且僅當4-OM2=4-O此時OM2+ON2綜上，當且僅當OM2=O

故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)定義及向量線性運算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的運算律轉(zhuǎn)化各項數(shù)量積或乘積關(guān)系，再由圓的性質(zhì)、基本不等式判斷各項正誤.【變式2-1】3.（2023春·福建福州·高三?？茧A段練習）圓O為銳角△ABC的外接圓，AC=2AB=2，點P在圓O上，則BP?A．-12,4 B．0,2 C．【答案】C【分析】把BP?AO轉(zhuǎn)化為BO?AO+OP?AO，由余弦定理、數(shù)量積的定義得【詳解】由△ABC為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，又BP?AO=(則2r2(1-cos∠AOB)=2r2由BO?對于OP?AO且P在圓O上，當AP為直徑時OP?AO=所以O(shè)P?綜上，BP?銳角三角形中∠BAC<90°，則BC<AC2所以1<r<52，則綜上，BP?故選:C【變式2-1】4.（2023·全國·高三專題練習）已知△ABC中，∠A=60°，AB=6，AC=4，O為△ABC的外心，若AO=λAB+μAC，則【答案】11【分析】由題意可知，O為△ABC外接圓的圓心，過O作OD⊥AB,OE⊥AC，已知等式兩邊同乘以AB，結(jié)合數(shù)量積定義得6λ+2μ=3，同理得3λ+4μ=2，從而兩式聯(lián)立即可求得λ+μ的值．【詳解】由題意可知，O為△ABC的外心，設(shè)半徑為r，在圓O中，過O作OD⊥AB,OE⊥AC，垂足分別為D,E,因為AO=λAB+μAC，兩邊乘以AO,AB的夾角為∠OAD，而則r×6×3r=36λ+μ×4×6×同理AO=λAB+μAC兩邊乘AC，即則r×4×2r=λ×6×4×①②聯(lián)立解得λ=49，所以λ+μ=4故答案為：11【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將AO=λAB+μAC兩邊分別乘以【變式2-1】5.（2023·全國·高三專題練習）如圖，菱形ABCD的邊BC上有一點E，邊DC上有一點F（E，F(xiàn)不與頂點重合）且BE>DF，若△AEF是邊長為3的等邊三角形，則BA?【答案】1,【分析】過A作AG⊥BC于G，AH⊥CD于H，根據(jù)已知得出Rt△AGE?Rt△AHF，即可得出∠GAH=∠EAF，則∠B=π3，設(shè)AB=a，BE=b，可得a2<b<a，且根據(jù)余弦定理在△ABE可得3=a2+b2-ab，設(shè)12ab=S，根據(jù)a2<b<a結(jié)合不等式性質(zhì)得出S<【詳解】如圖所示：過A作AG⊥BC于G，AH⊥CD于H，∵ABCD為菱形，∴AG=AH，∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，∠EAF=π∴Rt∴∠GAE=∠HAF，∴∠GAE+∠EAH=∠HAF+∠EAH，即∠GAH=∠EAF=π∴在四邊形GAHC中，∠C=2π-∠AGC-∠AHC-∠GAH=2π-π∴∠B=π-∠C=π-2設(shè)AB=a，則BC=a，BG=ABcos∵BG<BE<BC，設(shè)BE=b，∴a在△ABE根據(jù)余弦定理：3=aBA?設(shè)12ab=S，則ab=2S，則∵a2<b<a∴ab∴b2<ab=2S<2設(shè)函數(shù)gx根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)可得gx在S,2S∴g2S<gb2<gS，即則BA?故答案為：1,3◆類型2基底法（線性表示）【例題2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E在邊BC上，BC=3BE，若G為線段DC上的動點，則A．2 B．8C．103【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示因為菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120所以AB=AD=2設(shè)DG=λAG=因為BC=3BE，所以BE=AE=AG?當λ=1時，AG?AE的最大值為故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運算求出AG,【變式2-2】1.（2023·全國·高三專題練習）在直角△ABC中，AB⊥AC,AC=3,AB=1，平面ABC內(nèi)動點P滿足CP=1，則AP?【答案】4-13/【分析】由題可知，點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，由數(shù)量積的定義求出AP?BP=4+CP?AC+BC，再由向量的模長公式求出【詳解】平面ABC內(nèi)動點P滿足CP=1，所以點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，因為AB⊥AC,AC=3,AB=1，由勾股定理可得：所以BC=2，且cosC=所以∠C=30°，所以AC?∵AP∴AP∵CPAC+又向量AC+BC是長度為13的一個向量，由此可得，點P在圓當CP與AC+BC共線反向時，CP?故AP?BP的最小值為故答案為：4-13【點睛】關(guān)鍵點睛：由數(shù)量積的定義和平面向量基本定理可得AP?BP=4+CP?AC+【變式2-2】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知直線l1//l2，點A是l1，l2之間的一個定點，點A到l1，l2的距離分別為1，2.點B是直線l2上一個動點，過點A

A．AG=13ABC．AG≥1 D．GA【答案】ABC【分析】取BC中點F，利用向量運算判斷A；設(shè)∠BAD=θ，利用三角形面積公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用數(shù)量積的運算律計算判斷CD作答.【詳解】取BC中點F，連接GF，如圖，

由GA+GB+GC=且AG=設(shè)∠BAD=θ(0<θ<π2)，由于DE⊥l1由AD=2,AE=1，得AB=2cosθ,AC=1則△GAB的面積S△GAB當且僅當2θ=π2，即|AG|=13|由AG=13(AB因此GA=-19(7+8sin而函數(shù)y=7+8t-1t在(0,+∞故選：ABC【點睛】思路點睛：利用向量解決問題，可以選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.◆類型3坐標法【例題2-3】（2023·全國·高三專題練習）在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=2,AC=4A．-5,0 B．-3,0 C．0,3 D．0,5【答案】A【分析】以A為坐標原點，AC,AB為x,y軸的正方向建立平面直角坐標系，AP=λAD0≤λ≤1，求出P【詳解】以A為坐標原點，AC,AB為x,y軸的正方向建立平面直角坐標系，所以A0,0,B0,2AD=2,1，設(shè)AP=λ所以P2λ,λ，可得PB=0,2所以PB?因為0≤λ≤1，所以PB?故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是以A為坐標原點建立平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為坐標的運算求數(shù)量積.【變式2-3】1.（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W?？寄M預測）已知e為單位向量，向量a,b滿足a-2e=2,【答案】[-3,24]【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)e=1,0,【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，令e=

設(shè)A(x,y),B(m,n)則由a-2e=2,即點A軌跡為以O(shè)1點B軌跡為以O(shè)2則設(shè)A(2+2cos則a=6+6cosα+6cos=6+6cos令2+2cosβ=λ則a?又-1≤sin而-1≤cos故-3≤a?b≤24，故故答案為：[-3,24]【點睛】本題是關(guān)于向量和三角函數(shù)的綜合性題目，綜合性較強，解答時要注意建立坐標系，利用向量的坐標運算結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換進行解答，難點在于化簡a?【變式2-3】2.（2023·上海黃浦·格致中學?？既＃┮阎矫嫦蛄縜，b，c滿足a=1，a?b=b?c【答案】2【分析】根據(jù)題意，設(shè)出a，b，c的坐標，結(jié)合向量模長的坐標公式，分類討論，即可得到a?【詳解】設(shè)a=1,0，b=1,s，由已知可得：a-當且僅當s2當st≥0時，有st2-2st+1≤8，得當st<0時，有st2-6st+1≤8，得所以當-1≤st≤22+1時，所以a?c的最大值為故答案為：2.【變式2-3】3.（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖l是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAFλ,μ∈R，則λ+μ【答案】2[0【分析】以點A為坐標原點，分別以AB,AF所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標系，由AE=λAC+μAF，列出方程組，求得λ,μ，從而得到λ+μ；設(shè)P(x,y)，則AP?【詳解】AF⊥AB，以點A為坐標原點，分別以AB,AF所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標系，正八邊形內(nèi)角和為(8-2)×180°=1080°，則∠HAB=1所以，A(0,0),B(2,0),C(2+2AE=(2,2+2因為AE=λAC+μ所以2=(2+2)λ2+2所以λ+μ=2設(shè)P(x,y)，則AP=(x,y),BC=(令z=x+y，即y=-x+z，由線性規(guī)劃知平行移動直線y=-x+z，當此直線經(jīng)過A,H時z有最小值0,當此直線經(jīng)過D,E時z有最大值4+22所以，AP?BC取值范圍故答案為：2，[0，【點睛】方法點睛：在解決向量數(shù)量積、向量的模、向量的夾角等有關(guān)問題，以及在求有關(guān)最大、最小值問題時，常常會碰到某些難以突破的幾何關(guān)系.在題目所給出的幾何條件、幾何關(guān)系或所隱藏的幾何關(guān)系相對較難尋找的情況下，運用數(shù)量積的定義、向量的幾何意義難以完成解題思路時，可建立直角坐標系、運用坐標法解決問題的意識、運用向量的坐標運算、尋找出變量與變量之間的關(guān)系、運用函數(shù)與方程求最值的方法、基本不等式等解決問題的方法是一種非常好的思想方法.【變式2-3】4.（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學校考期末）已知△ABC是面積為33的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2的正方形，其各頂點均位于△ABC的內(nèi)部及三邊上，且可在△ABC內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則BPA．-92 B．32 C．【答案】D【分析】先分別求出等邊三角形和正方形的邊長及其內(nèi)切圓半徑，根據(jù)所求結(jié)果和正方形可在△ABC內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)可知，正方形MNPQ各個頂點在三角形的內(nèi)切圓上，建立合適的直角坐標系，求出三角形的頂點坐標和其內(nèi)切圓的方程，設(shè)出P,Q的三角坐標，根據(jù)PQ=2可得到關(guān)于坐標中變量的關(guān)系，分類討論代入【詳解】解：因為△ABC是面積為33的等邊三角形，記△ABC邊長為a所以12×3記三角形內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)S=133=1因為正方形MNPQ面積為2，所以正方形邊長為2，記正方形MNPQ外接圓半徑為R，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即R=1，根據(jù)正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知，正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因為正方形MNPQ可在△ABC內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，可知正方形MNPQ各個頂點均在該三角形的內(nèi)切圓上，以三角形底邊BC為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系如圖所示：故可知B-3,0故設(shè)Pcosθ,1+sin因為PQ=2，即化簡可得cosθcosα+解得θ=α+π2或①當θ=α+π2時，P點坐標可化為此時BP=3所以當α+π4=π2即P-22,1+2②當θ=α-π2時，P點坐標可化為此時BP=3因為α∈0,2π，所以當α+π4=2即P-22,1-2綜上可知：BP?CQ取得最大值故選：D【點睛】方法點睛：該題考查平面幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于圓錐曲線中點的三角坐標的設(shè)法有：（1）若點在圓x2+y2=1（2）若點在圓x-a2+y-b2=（3）若點在橢圓x2a2+◆類型4極化恒等式法（a在△ABC中，D是邊BC的中點，則AB【例題2-4】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AC=2，M為線段AB上的動點（包含端點），D為AC的中點．將線段AC繞著點D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則ME?

A．-2 B．-C．-1 D．-【答案】D【分析】利用轉(zhuǎn)化法，將ME?MF轉(zhuǎn)化為MD2-DE【詳解】解法一：連接MD，則ME=MD當MD⊥AB時，MD最小，即MDmin結(jié)合DE2=1，得ME?解法二（極化恒等式法）：依題意BC=2，D為線段EF則ME=MD由于MDmin=22，F(xiàn)E2故選:D

【變式2-4】（2023·全國·高三專題練習）在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD?AB=-3【答案】16【分析】根據(jù)題意及數(shù)量積的定義式即可求解；利用極化恒等式求解即可.【詳解】由題意知AD?AB=λBC?取MN的中點E，連接DE，如圖所示，根據(jù)極化恒等式有DM?DN=DE2當DE⊥BC時，DE最小，此時過點A作BC的垂線AF，垂足為F，如圖所示，則DE=AF=ABsin故答案為：16；13

◆類型5幾何意義法【例題2-5】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知平面向量a，b，c，滿足a=2，a-b=23，若對于任意實數(shù)x，都有bA．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】把三個向量平移到同起點，由向量運算及b-xa≥b-a得MB≥AB，從而BA⊥OA，又由【詳解】設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，因為b-xa≥即MB≥AB，所以因為a=2，a-b=23由c-a≤1，可得點C過圓周上一點C作OB的垂線，垂足為D，且DC與⊙A相切，延長DC交OA于N，則b?此時△ODN∽△ACN，根據(jù)相似知識可得ODCA所以O(shè)D=CA?OA所以b?c的最大值為故選：D.【變式2-5】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）已知A-3,0，B3,0，P為平面內(nèi)一動點（不與A,B重合），且滿足PAPB=2，則【答案】-【分析】設(shè)Px,y，根據(jù)題意求點P的軌跡方程，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可得PA?PB【詳解】設(shè)Px,y∵PAPB=2，則x+32+y可得x2又∵PA=則PA?∵x∈1,9，可得當x=1時，PA?PB故答案為：-8【點睛】方法定睛：求圓的方程有兩類方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的半徑和圓心，得出圓的方程；(2)代數(shù)法，求圓的方程必須具備三個獨立條件，利用“待定系數(shù)法”求出圓心和半徑題型3向量模長最值取值范圍問題◆類型1坐標法【例題3-1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）（多選題）已知向量a,b,c滿足A．m-cB．m-cC．m-cD．m-【答案】BD【分析】利用平方的方法化簡已知條件，先求得a,b，然后建立空間直角坐標系，設(shè)c=【詳解】因為a-b=又a=3,b=1，所以9-6因為a,b∈建立如圖所示的直角坐標系xOy，設(shè)a=因為c=2c-整理得x-42+y2=4，即C設(shè)m=OM=tOB，則點則m-c=OM-OC=則CMmin故選：BD【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a⊥(A．0 B．3 C．7+3【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標運算，結(jié)合幾何圖形的幾何性質(zhì)，即可求解最值.【詳解】設(shè)平面向量a，b的夾角為θ，∵|a|=|b∴a·(a由于θ∈0,π，所以不妨設(shè)a=(1,0)，b∵(c-2a化為(x-54)2+(y-3如圖所示，c表示原點到圓上一點的距離，故當經(jīng)過圓心時，距離最大或者最小，故c=故選：C．

【變式3-1】2.（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學?？茧A段練習）已知平面向量a，b，c，滿足a=1，a,b=【答案】1【分析】建立直角坐標系，B在直線y=33x，x>0上，取M7,0，【詳解】如圖所示的平面直角坐標系中，設(shè)OA=a，OB=不妨取B在第一象限，則B在直線y=33x

7a=7,0，9a=則7a-c=CM故C在如圖所示的關(guān)于x軸對稱的兩段圓弧上，取C在第一象限，則∠MQN=π3，MN=2，故Q圓心Q到直線的距離為d=8b-c=CB，故答案為：12【點睛】本題考查了軌跡方程，向量的運算，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中建立坐標系，確定C的軌跡，將題目轉(zhuǎn)化為圓上的點到直線的距離是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】3.（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）設(shè)x、y∈R，若向量a，b，c滿足a=(x,1)，b=(2,y)，c=(1,1)，且向量a-b【答案】3【分析】由向量平行的坐標表示可得x+y=3，在坐標系中a=OA=(x,1)，2b=OD=(4,6-2x)，將D按向量a平移至C【詳解】由a-b=(x-2,1-y)，又向量a所以x-2=1-y，故x+y=3，令a=OA=(x,1)，b所以A(x,1),D(4,6-2x)，將D按向量a平移至C(4+x,7-2x)，所以C是直線2x+y-15=0上的動點，如下圖示，所以2b=OD由圖知：要使|a|+2|b|最小，只需O,A,C三點共線且故|a|+2|b|最小值為原點到直線故答案為：3【點睛】關(guān)鍵點點睛：找到2b=OD的D，并將其平移至C使2【變式3-1】4.（2023·上海·高三專題練習）已知平面向量a?,b?,c?,e【答案】52/【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標系，判斷出b,【詳解】依題意，a→在平面直角坐標系xOy中，設(shè)E1,0，OE對應(yīng)向量e∠AOx=2π3，OA對應(yīng)向量a，則a=由于b-a?=1，所以b對應(yīng)終點的軌跡是以依題意，c-te≥所以Δ=4c?設(shè)Cx,y，則c所以c對應(yīng)點的軌跡是直線x=2.則c-b表示圓A上的點和直線所以c-b的最小值為故答案為：5【點睛】方法點睛：求解向量問題可以有兩個方向，一個是利用幾何法來求解，另一個是利用坐標法來求解.用坐標法來求解，是根據(jù)題目的已知條件，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，然后用坐標表示向量，由此來對問題進行求解.【變式3-1】5.（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a，b，且滿足a?b=|a|=|b|=2【答案】2【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求出a→與b→的夾角，根據(jù)條件，可設(shè)a→=2,0【詳解】解：∵a→?b→=a∴a∴cosθ=12，又不妨設(shè)a→=2,0則a=3即a→所以a→?e故答案為：23【變式3-1】6.（2023春·上海虹口·高三統(tǒng)考期中）已知平面向量a，b，c，e滿足a=3，e=1，b-a=1，<a,e>=【答案】5【分析】作OA=a，OE=e，建立平面直角坐標系，作OB=b，作OC=【詳解】如圖作OA=a，如圖，以點O為原點，OA為x的正方向建立平面直角坐標系，因為a=3，<a,所以點A的坐標為3,0，點E的坐標為-作OB=b，設(shè)點B的坐標為因為AB=所以x-32+y所以點B在以3,0為圓心，以1為半徑的圓上，因為對任意的實數(shù)t，均有c-t所以c-te2所以t2所以2e所以e?c-2作OC=c，設(shè)點C的坐標為則-12x所以點C在直線x'因為c-又點B在圓x-32點C在直線x'所以點B到點C的最小距離為點A到點C的距離減去圓的半徑1，即BC≥AC-1，當且僅當點B因為點A3,0到直線x'-所以點A到點C的距離大于等于72，即AC所以BC≥當且僅當AC垂直于直線x'-3y'所以c-b的最小值為故答案為：52

【點睛】本題解決的關(guān)鍵在于建立平面直角坐標系，利用條件結(jié)合向量的坐標運算及性質(zhì)確定點的軌跡，由此結(jié)合直線與圓的性質(zhì)求解.◆類型2幾何意義法【例題3-2】（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）在Rt△ABC中，AC=BCA．12 B．82 C．56【答案】A【分析】畫出圖分析，將AB+AD的最大值轉(zhuǎn)化為點A到圓【詳解】如圖：

取BC，BD中點E，G，可知AB+AD=2取BE的中點O，則G為圓O上一點，所以AG最大值為AO+1=6故AB+故選：A.【變式3-2】1.（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量a，b，c滿足a=4，a?b=2b，c【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，求出向量a與b的夾角，變形等式c2【詳解】因為a=4，a?b=2b，則|又0≤?a,b?≤π，則?

由c2=32a?c-5，得因此OC的終點C在以點D為圓心，2為半徑的圓上，顯然對?t∈R，tb的終點的軌跡是線段OB確定的直線于是c-tb是圓D上的點與直線l上的點的距離，過D作線段DE⊥l于E，交圓D于所以c-t所以c-tb的最小值為故答案為：3【變式3-2】2.（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a，b，c，滿足b=2，a+b=1，c=λa+μb且λ+2μ=1，若對每一個確定的向量a，記c的最小值為【答案】1【分析】根據(jù)向量的幾何表示和共線條件以及幾何關(guān)系即可求解.【詳解】令a=OA所以a如圖，

所以點A的軌跡是以B'則OC=λ又因為λ+2μ=1，所以點C在直線AE上，故OC⊥AE時，|OC當OC⊥AE情況下，直線AE與B'相切時∠B'此時，OC=故答案為：13【變式3-2】3.（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a,b,c滿足a=【答案】5【分析】作出相關(guān)向量后用解三角形的知識求解.【詳解】因為|a|=2又因為cosa所以a與b的夾角大小為3π如圖，作OA=連接AC,BC，則a-c=又∠AOB=3π4故當OC為圓的直徑時，c最大.此時A=B=π在Rt△AOC中，OC=OA在Rt△BOC中，OC=OB所以O(shè)Acos∠AOC=所以cos∠AOC=整理得2cos所以tan∠AOC=2,所以O(shè)C=215=10所以以c為直徑的圓的面積的最大值為π×10

故答案為：5【變式3-2】4.（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知點A,B是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點，且OA=2aa>0．若存在m,n∈R，使得mAB+OA與nAB【答案】15【分析】設(shè)mAB=AP，nAB=BQ，根據(jù)向量線性運算可得PQ=a，設(shè)P【詳解】設(shè)A,B在直線y=t上，又A,B是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點，OA=2aa>0，設(shè)mAB=AP，nAB=∴m不妨設(shè)P在Q的左側(cè)，Px,t，則Q∵mAB+OA與n即xx+a+t∴AB=24a2故答案為：15a【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量模長最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為求解與變量t有關(guān)的函數(shù)最值的求解問題，從而根據(jù)向量的線性運算和向量垂直的坐標表示求得t的范圍，結(jié)合函數(shù)最值求法可求得結(jié)果.【變式3-2】5.（2020秋·浙江金華·高三浙江金華第一中學校考階段練習）已知平面向量a,b滿足a=b=a·【答案】27【分析】由數(shù)量積得<a,b>的值，設(shè)出a、方法1：設(shè)出點C的參數(shù)坐標，代入轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值即可得結(jié)果.方法2：設(shè)出點C的坐標，代入轉(zhuǎn)化為求圓上的點到定點的距離的最大值即可得結(jié)果.【詳解】∵a?b=|a||∴cos<又∵<a∴<a∴設(shè)a=OA=(2,0)，b=OB=(1,3∵(a∴(OA-OC∴CA⊥則點C的軌跡是以AB為直徑的圓，又∵AB的中點（32∴點C的軌跡方程為：(x-3方法1：∴設(shè)C(3則c=∴b+2|b+2c故答案為：27方法2：設(shè)C(x，則c=∴b+2|b+2c|=(2x+1)2+∴(x+1即：(x+1∴|b故答案為：27【變式3-2】6.（2022秋·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┰O(shè)向量OA，OB滿足OA=OB=2，OA?OB=2，若m，n∈R【答案】3【分析】先由向量的數(shù)量積判斷出△AOB為等邊三角形，再計算出mAB+12BO【詳解】解：|OA所以O(shè)A?解得：cos∠AOB=即∠AOB=π所以△AOB為等邊三角形，則mAB12即12故m=(2m-0)上式可轉(zhuǎn)化為求點與點之間的距離，令C(2m,0)，D0,0，EmAB+1又因為CD+CE的最小值為當且僅當C,D重合時，取等號，所以mAB+1故答案為：3.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是將mAB◆類型3三角換元法【例題3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知向量a，b滿足2a+b=3，b【答案】5【分析】令2a+b=3【詳解】令2a∴2(a+b∴2|a+b2|a|=(3令S=|a設(shè)t=cos(α-β)(-1≤t≤1)，則S=1令S'=0?4(10-6t)=10+6t?t=1，易知：在t∈[-1,1]上S'所以S在t=1取得最大值，Smax故答案為：5.【變式3-3】1.（2023·全國·高三專題練習）已知正方形ABCD的邊長為2，動點P在以D為圓心且與AC相切的圓上，則BP?AC的取值范圍是【答案】-4,4【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)P2cosθ,【詳解】以點D為圓心，以DC,DA所在直線分別為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則D0,0,A0,2,B2,2∴設(shè)P2cosθ,∴BP?當cosθ+π4=-1時，當cosθ+π4故BP?AC的取值范圍為故答案為：-4,4

【變式3-3】2.（2023·全國·高三專題練習）已知a,b,c,d是單位向量，滿足【答案】2【分析】a⊥b可設(shè)a=1,0,b=【詳解】依題意，a,b∴m=運用輔助角公式得：4=45即得：cosx-y故cos2c-d【點睛】思路點睛：涉及給定長度夾角的向量，可以建立坐標系，借助坐標運算求解，四個向量都是單位向量，其終點都在單位圓上，故可以將向量用圓的參數(shù)方程表示出來，將整個向量題轉(zhuǎn)化為已知一個條件三角的值，求另一個三角函數(shù)的值.◆類型4三角不等式法【例題3-4】（2023·上海·高三專題練習）已知非零平面向量a、b、c滿足a=5，2b=c，且b【答案】5【分析】由向量的運算，數(shù)量積與模長的關(guān)系，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】解：如圖AC=a，AD=b，AB=已知b-a?c-取BD的中點O，則有OC=1而OA=12則12b+記b,c向量的夾角為θ，則同理b-由b+c+則b2當cosθ=0，即b所以b≥5，即b的最小值是故答案為：5.【點睛】本題考查平面向量的綜合運用，關(guān)鍵點在于利用三角形的三邊關(guān)系得到不等式b+【變式3-4】1.（2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）若直線ax-y=0a≠0與函數(shù)fx=2cos2x+1ln2+x2-x圖象交于不同的兩點A,B，且點【答案】-6【分析】由已知，先利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，結(jié)合直線ax-y=0可知，A，B兩點關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)DA+【詳解】因為f(-x)=2cos2所以函數(shù)f(x)=2cos2x+1ln∵DA+DB=DO∵DA+DB-DC∴△CTD是以C為直角頂點的直角三角形，且O為中點，

∵|CO|=6，∴|DO|=6，∴設(shè)m=6cosθ，∴m+n=6(cosθ+sin∴m+n∈-6故答案為：-62【變式3-4】2.（多選）（2020·北京·高三?？紡娀媱潱┰O(shè)平面向量a,b,c滿足|aA．最大值為42 B．最大值為C．最小值為0 D．最小值為2【答案】AC【分析】利用柯西不等式可求|c|的最大值，利用特例可求【詳解】首先，取b=0，則c可以取0，因此接下來，考慮|a于是|c等號當|a+2b|=|a故選：AC.題型4向量共線的應(yīng)用設(shè)平面上三點O，A，B不共線，則平面上任意一點P與A，B共線的充要條件是存在實數(shù)入與出，使得OP=λOA+μ【例題4】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開學考試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosB=23，P為△ABC內(nèi)一點．若點P滿足CP+bc【答案】6-【分析】由三角形內(nèi)心的性質(zhì)與半角公式求解【詳解】由CP+bc即-aAP整理可得a+b+cAP故點P在∠BAC的平分線上，同理可得點P在∠BCA的平分線上，所以點P為△ABC的內(nèi)心．如圖，延長BP，交AC于點D，過點P作PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，

設(shè)BP=λBD，由BP=xBA+y由D，A，C三點共線得xλ所以x+y=λ=BP因為cos∠ABC=23代入得λ≤6-65，當且僅當PD=PE故x+y的最大值為6-6【變式4-1】1.（2023·全國·高三專題練習）如圖，在△ABC中，點D在線段AB上，且AD=13AB，E是CD的中點，延長AE交BC于點H，點P為直線AH上一動點（不含點A），且AP=λAB+μAC（λ,μ∈R）．若AB=4

【答案】3【分析】因為E是CD的中點，得到AE=12AC+16AB，設(shè)AH=tAE，所以延長BC于M，使得CM=AC，延長AC于點N，使得CN=BC，結(jié)合相似，求得得到△AOM為等腰三角形，且OA=OM=6，得出S△AOM≤1【詳解】因為E是CD的中點，可得AE=設(shè)AH=tAE，所以因為B,C,H三點共線，所以t2+t6所以t6AC=t2BC，所以延長BC于M，使得CM=AC，延長AC于點N，使得CN=BC，如圖所示，則△BCN∽△MCA，且相似比為13，所以NB所以△NOB∽△MOA，所以BOAO=13，所以因為AB=4，所以BO=2，所以△AOM為等腰三角形，且OA=OM=6，所以S△AOM因為S△ABCS△AOM所以S△ACH所以△CAH的面積的最大值為34

【點睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的兩種方法：（1）坐標法，把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關(guān)點與向量就可以用坐標表示出來，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算，從而使問題得到解決；（2）基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運算法則?運算律和性質(zhì)求解.【變式4-1】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D為AC中點，E在BD上，且BE=12ED，AE延長線交A．AE=3 B．C．△ACF的面積為37 D．【答案】BCD【分析】對于A，可得AE=23AB+16AC，平方得AE2=49AB2【詳解】對于A，因為BE=所以AE=AB+又D為AC中點，所以AE=AE2=4又cos∠BAC=42+5對于B，AE?BC=對于D，令AF=λAE=解得λ=6對于C，由D可得AF=45AB+S△ABC=1故選：BCD．【點睛】方法點睛：向量具有數(shù)形二重性，一方面具有“形”的特點，借助于幾何圖形進行研究，利用數(shù)形結(jié)合增強解題的直觀性；另一方面又具有一套優(yōu)良的運算性質(zhì)，因此，對于某些幾何命題的求解或證明，自然可以轉(zhuǎn)化為向量的運算問題來解決，可以使復雜問題簡單化，幾何問題代數(shù)化．【變式4-1】3.（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對邊BC，AD的延長線交于點E，對邊AB，DC的延長線交于點F，若BC=λCE，ED=μDA，A．EB=1C．1λ+1μ【答案】BD【分析】A.結(jié)合圖形，利用基底表示向量EB；B.過B作BG//DF交AE于G,利用平行線的比例關(guān)系，求得4λμ=1；C.由B的結(jié)果，結(jié)合基本不等式判斷；根據(jù)共線關(guān)系，轉(zhuǎn)化EC?【詳解】A.EB=3B.過B作BG//DF交AE于G，則AFFB=AD∴AFFB?BCCE故B正確；C.由B知1λ+1故C錯誤；D.由BC=λCEEB=λ+1ECEC?ADEB故選：BD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查向量的線性運算共線等的應(yīng)用，考查利用均值不等式求最值，解答本題的關(guān)鍵是B選項，需過B作BG//FD交AE于點G，得到AFFB=ADDG，BCCE【變式4-1】4.（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？家荒＃┰凇鰽BC中，AB?AC=9，sinB=cosAsinC，S△ABCA．116+63 B．11【答案】C【分析】由已知條件求得解得b，c，cosA，再求得CB，可得到x3+【詳解】設(shè)|AB|=c，|AC解得b=3，c=5，sinA=45CB=AB-又∵A、P、B三點共線，∴x3∴2x當且僅當x3+y故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是由已知條件求出a,b,c后，再由A,P,B三點共線，得x3+y【變式4-1】5.（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習）在△ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，點P在該三角形的內(nèi)切圓上運動，若AP=mAB+nAC（m，A．518 B．13 C．7【答案】B【分析】由AP=mAB+nAC可得m+n=APmm+nAB+nm+n【詳解】AP=mAB+n故m+n=AP假設(shè)mm+nAB+nm+n則m+n=APAE，且E為BC上一點，A，P，由平行線等比關(guān)系可得，要使m+n，即AP與AE之間的比例最小，則P在內(nèi)切圓的最高點，如圖所示，由cosA=因為sinA>0，所以sin設(shè)BC邊上高為h，內(nèi)切圓半徑為r，由S△ABC所以h=152，可得m+n的最小值為h-2rh故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題關(guān)鍵的地方是轉(zhuǎn)化得到m+n=APmm+nAB+nm+n【變式4-1】6.（2022·全國·高三專題練習）過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，PC=34AC【答案】3【分析】利用向量的線性運算知OP=-34OB-【詳解】如圖，因為O是重心，所以O(shè)A+OB+因為PC=34所以O(shè)P=又QC=nBC，則OC因為P，O，Q三點共線，所以O(shè)P//所以-34(1-n)=-故答案為：3題型5向量夾角【例題5】（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知向量a、b不共線，夾角為θ，且a=2，b=1，a+λb+a-λ【答案】2【分析】依題意作出如下圖形，令F1O=a，F(xiàn)1A=λb，根據(jù)平面向量線性運算法則及橢圓的定義得到點P的軌跡，求出其軌跡方程，由λ的取值范圍，得到【詳解】如圖F1OPA及OF2PA令F1O=a，F(xiàn)1因為a+λb+由橢圓的定義可知點P的軌跡是以F1-2,0，F(xiàn)22,0為焦點的橢圓其中所以其軌跡方程為x2因為433≤λ<22，所以當λ=4此時點P的坐標為43將點P的坐標代入橢圓x28+解得cosθ故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是結(jié)合平面向量線性運算法則及橢圓的定義將問題轉(zhuǎn)化，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算..【變式5-1】1.（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則曼哈頓距離dA,B（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，5A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得N在正方形ABCD的邊上運動，結(jié)合圖象分析OM,【詳解】設(shè)Nx,y由題意可得：dM,N=2-x可知x-2+y-1=1表示正方形ABCD即點N在正方形ABCD的邊上運動，因為OM=當cosM，N=cosOM→①點N為點A，則ON=2,0，可得②點N在線段CD上運動時，此時ON與DC同向，不妨取ON=則cosM,N因為310所以eM,N的最大值為1-故選：B.

【點睛】方法定睛：在處理代數(shù)問題時，常把代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形，數(shù)形結(jié)合處理問題.【變式5-1】2.（多選）（2023·福建·校聯(lián)考模擬預測）半圓形量角器在第一象限內(nèi)，且與x軸、y軸相切于D、E兩點.設(shè)量角器直徑AB=4，圓心為C，點P為坐標系內(nèi)一點.下列選項正確的有（

）A．C點坐標為2,2 B．OAC．cos∠AOB∈13,【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運算以及坐標運算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，量角器與x軸、y軸相切于D、E兩點，且AB=4，則C2,2由A可知，C2,2，則OC==2記t=2OCcos∠AOB=設(shè)Px,y，則=2x-2當x=y=43時，故選：ACD【變式5-1】3.（2023·全國·安陽市第二中學校聯(lián)考模擬預測）已知OA+OB與OC為相反向量，若OA=2，OB+OC=4，則【答案】-1【分析】先根據(jù)向量模長相關(guān)不等式得到OB-2≤4-OB≤2+OB，解出1≤OB≤3，設(shè)OB=t∈1,3，OA，OB夾角為θ，將【詳解】OC=-OA+因為OB+OC=4，所以O(shè)C所以O(shè)B-2≤4-OB≤2+不妨設(shè)OB=t∈1,3，OA，OB夾角為θ，則OC=-OA+即4-t2=4+2×2tcos因為t∈1,3，所以cos故OA，OB夾角的余弦的最小值為-1.故答案為：-1【變式5-1】4.（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，滿足4OCA．π6 B．π3 C．2π【答案】A【分析】由向量線性運算和數(shù)量積的定義和運算律可化簡已知等式得到4c2-4a?c=1-a2【詳解】∵4OC即4c2-4∵4OB即4b2-4設(shè)向量a-4b與c-2∴cosθ=a-4b?c又θ∈0,π，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量夾角最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能根據(jù)向量夾角的計算公式，將向量夾角的余弦值表示為關(guān)于a-4題型6向量平行與垂直的應(yīng)用【例題6】（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖，△ABC的外心為O，三條高線AD,BE,CF交于一點H，ED與AB的延長線交于點I，F(xiàn)D與AC的延長線交于點J，則（

）A．∠BDF=∠BAC B．OBC．OC?ED【答案】ABCD【分析】利用四點共圓可得A的正誤，過點B作圓O的切線BG，可證OB⊥FD，從而可判斷B的正誤，同理可判斷C的正誤，利用向量的方法可得IH2-AH2=IC2-A【詳解】如圖，連接OB,HI,HJ,CH.對于選項A，因為A，C，D，F(xiàn)四點共圓，故∠BDF=∠BAC，選項A正確．對于選項B，C，如圖，過點B作圓O的切線BG，則OB⊥BG．因為∠CBG=∠BAC=∠BDF，所以FD與BG平行，故OB⊥FD，選項B正確，同理選項C正確.對于選項D，因為HC⊥IA，故HC?而I=IH故IH同理由JA⊥HB可得JH由AD⊥BC可得AB由ID⊥OC可得IO由JD⊥OB可得JO所以IH所以IH同理，I所以IH2-J所以IH-故IJ?IH+JH-故選：ABCD【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)A,B是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點，且OA=2.若存在m,n∈R，使得mAB+OA與nAB+【答案】2【分析】根據(jù)向量的線性運算，令a=OA'=mAB+OA=(1-m)OA+mOB，b=OB【詳解】如圖示，A,B是平面直角坐標系中關(guān)于y軸對稱的兩點，且OA=2由題意得：AB=令a=OAb=OB故有A,A由題意mAB+OA與n知OA'⊥在△A'OB'中，4=|此時△A'OB'故當且僅當|a|=|b|即此時O到AB的距離為12所以|AB|2=22-故答案為：2【點睛】方法點睛：根據(jù)向量的線性運算，可令a=OA'=mAB+OA=(1-m)OA+mOB，題型7投影向量【例題7】（2023春·遼寧·高三遼師大附中校考階段練習）已知點D在線段AB上，CD是△ABC的角平分線，E為CD上一點，且滿足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA【答案】27a【分析】由BA=14可設(shè)A-7,0?B7,0，結(jié)合雙曲線的定義可得點C【詳解】由BA=14，可設(shè)A-7,0?得點C的軌跡是以A?因為CD是△ABC的角平分線，且BE故AE也為△ABC的角平分線，∴E為△ABC的內(nèi)心.如圖，設(shè)Ex0,則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，AC-又AQ+BQ=14，所以，BQ=7-3=4，∴BE則BE在a上的投影向量為414故答案為：2【變式7-1】1.（2023·天津·統(tǒng)考二模）在△ABC中，AB=32，角A為銳角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，則A=；若AC=6，則函數(shù)f【答案】π4/45°【分析】根據(jù)投影向量的定義求出cosA，即可求出A，以點A為原點，建立平面直角坐標系，在AC上取D,E，使得AD=12AC,AE=13AC，在AB【詳解】由向量AB在向量AC上的投影向量為ABcos得向量AB在向量AC上的投影向量的模為ABcos所以cosA=又因角A為銳角，所以A=π如圖，以點A為原點，建立平面直角坐標系，則A0,0在AC上取D,E，使得AD=12在AB上取點P使得AP=x則fx直線AC的方程為y=x，設(shè)點E2,0關(guān)于直線AC的對稱點F則ba-2=-1b2=則EP+DP=所以fx=x故答案為：13.【點睛】關(guān)鍵點點睛：以點A為原點，建立平面直角坐標系，在AC上取D,E，使得AD=12AC,AE=13AC，在AB上取點P使得【變式7-1】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列說法正確的是（

）

A．若函數(shù)fx=AD-xB．PA?PBC．AG在AB方向上的投影向量為-D．OA【答案】AB【分析】以AE為y軸，GC為x軸建立直角坐標系，計算各點坐標，計算向量坐標，求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求出最值，A正確；取AB的中點M，得到PA?PB=PM2【詳解】如圖所示：以AE為y軸，GC為x軸建立直角坐標系，

設(shè)OA=在△OAB中，根據(jù)余弦定理可得，4=a2+A0,-aG-a,0，H-2對選項A：AD=22所以AD-x所以f=(2+所以當x=1+22時，函數(shù)fx對選項B：取AB的中點M，則PA+PB=2則PA+PB2兩式相減得：PA?由正八邊形的對稱性知，當點P與點E或F重合時，PM2又M24a,-所以EM2所以PA?PB的最大值為對選項C：AG=-a,a，所以AG?ABAB對選項D：因為OA=0,-a，OA=又3OB=6故選：AB題型8解析幾何與向量【例題8】（多選）（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學考試）⊙Q:(x+1)2+(y-1)2=2與A．M到直線l距離最小值為2B．MAC．存在點M，使得△MAB為等邊三角形D．MA?【答案】ABD【分析】設(shè)Mx,1x,x>0，利用點到直線的距離結(jié)合基本不等式即可判斷A，求出A,B坐標，計算出【詳解】設(shè)Mx,對A，則點M到直線l的距離d=x+當且僅當x=1x，即對B,D，聯(lián)立有(x+1)2+(y-1)2=2則不妨假設(shè)A-2,2,B0,0則MA?MB=令x-1x=t，x>0，因為y=x,y=-則t=x-1x，在0,+∞上也為單調(diào)增函數(shù)，且x→0，x>0x→+∞時，t→+∞，且函數(shù)圖象在0,+∞則MA?MB=t2+2t+2=t+12+1≥1對C，若要△MAB為等邊三角形，則首先點M為線段AB的垂直平分線和曲線y=1因為A-2,2,B0,0，則AB則垂直平分線的所在直線的方程為y-1=x+1，即x-y+2=0，將其與曲線y=1x(x>0)聯(lián)立得x-y+2=0y=1此時MB=而AB=-22則不存在點M，使得△MAB為等邊三角形，故C錯誤.故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用設(shè)點Mx,1x【變式8-1】1.（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知直線l:y=kx(k>0)與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B兩點，點A在第一象限，經(jīng)過點A且與直線l垂直的直線與雙曲線C的另外一個交點為M，點N在A．y=±3x B．y=±5x【答案】C【分析】作出輔助線，設(shè)Bx1,y1x1<0,y1<0，根據(jù)點差法得到kBM?k【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示．

因為BN//NM，所以B、N、M三點共線．設(shè)線段BM的中點為根據(jù)題意，顯然可得點O為線段AB的中點，所以O(shè)Q//設(shè)Bx1,y1x1因為點B，M都在雙曲線C上，則x12a即y1+y2x所以kBM?k又因為AB⊥AM，則OB⊥OQ，即kOB?kOQ=-1所以kBM=-b2y即|ON|=-7|OA|cos而kBM=kBN，故則雙曲線C的漸近線方程為：y=±6故選：C【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點弦問題，常用點差法，該法計算量小，模式化強，易于掌握，若相交弦涉及AM=λ【變式8-1】2.（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）已知向量a=(x+1,5+y),b=(x-1,5-y)，滿足a⊥b的動點M(x,y)的軌跡為E，經(jīng)過點N(2,0)的直線l與EA．3-22 B．C．22【答案】A【分析】先求出軌跡E的方程，再利用直線l與E有且只有一個公共點A，求出點A的坐標，從而得解.【詳解】根據(jù)a⊥b，可得化簡得為動點M(x,y)的軌跡E的方程為：y2設(shè)經(jīng)過點N(2,0)的直線l為：y=kx-2聯(lián)立方程y=kx-2y2由于直線l與E有且只有一個公共點A，所以k2=1，或得k=±1，或k=±2因為圓x2+(y-2所以當點A在x軸上方時AP較小，以下只討論點A在x軸上方的情況,當k=±1時，代入①式，得x=0，再代入雙曲線方程可得A(0,±2)，當A(0,2)時，點A在圓x2可得AP的最小值為1-2當k=±22時，代入①式，得再代入雙曲線方程可得則A(-2,±22當A(-2,22)時，點A在圓可得AP的最小值為0+2-1=1則AP的最小值為3-22故選：A【點睛】方法點睛：求軌跡方程的常見方法有：①直接法，設(shè)出動點的坐標x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,y分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將x0=gx【變式8-1】3.（2023·海南?？凇ずＤ现袑W校考二模）如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯數(shù)字中的“8”．在平面直角坐標系中，圓M:x2+y+m2=n2和A．32+22 B．22【答案】C【分析】先用待定系數(shù)法求出圓M的方程，進而得到PA?PB=2PB【詳解】根據(jù)題意可得-2+m2=n21+-1+m2PA?畫圖分析可知當與直線PA垂直的直線l和圓N相切，切點為B，且直線l的縱截距大于0時，PBcos直線PA的斜率為1，設(shè)l的方程為y=-x+aa>0，由圓心N0,1到直線l的距離為解得a=1+2或1-故l的方程為y=-x+1+2，其與直線PA：y=x-2的交點坐標為Q所以PQ=32即PA?PB的最大值為故選：C【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.【變式8-1】4.（2023·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓C:x24+y22A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【分析】設(shè)出點A,B,M的坐標，用A,B的坐標表示點M的坐標，再利用點在橢圓上結(jié)合斜率關(guān)系求出λ2+μ【詳解】設(shè)M(x0,y0),Axx024由kOA?kOB=-12，得y而(λ+μ)2+(λ-μ)2=2(所以λ+μ的最大值為2.故選：B【點睛】思路點睛：若點在橢圓上，則點的坐標必滿足橢圓方程，借助整體思想進行計算可以簡化整個運算過程，可起到四兩撥千斤的效果．【變式8-1】5.（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦點分別為【答案】355【分析】利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到AF2,BF2,【詳解】依題意，設(shè)AF2=2m在Rt△ABF1中，9故a=m或a=-3m（舍去），所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c故答案為：35【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得解.【變式8-1】6.（2023春·全國·高三競賽）設(shè)圓(x-3)2+(y-4)2=25的圓心為C，點N6,0，M12,10，P為直線y=xA．2,51 B．3,51 C．2,52 D．3,52【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用平面向量的基本運算化簡MA=MB+MP得到MP=BA，根據(jù)A,B為圓上兩點圓上的兩點得到MP≤2R的范圍，設(shè)點Pa,a，代入不等式中，求出a的取值范圍，要求解【詳解】由題意如圖所示：因為MA=所以MP=所以MP=因為A,B為圓上兩點，且圓的圓心C(3,4)半徑為R=5，所以MP=所以0≤MP因為P為直線y=x上一點，所以設(shè)Pa,a，且所以有a-122解得：4≤a≤18，又N6,0，所以k所以lCN所以點P到直線lCNd=4a+3a-24因為4≤a≤18，所以45又CN=R=5所以S所以2≤S△PCN面積的取值范圍為：2,51.故選：A.題型9奔馳定理與面積比【例題9】（多選）（2023·全國·高三專題練習）有下列說法其中正確的說法為（

）A．若a∥b，bB．若a∥bb≠C．兩個非零向量a，b，若a-b=a+D．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC【答案】BCD【分析】利用向量平行的概念與性質(zhì)判斷AB；根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合三角形面積的求法可判斷CD.【詳解】對于A項，若a∥b,b∥對于B項，若a∥bb≠0對于C項，兩個非零向量a,b，若|a-b對于D項，因為2OA+OB如圖所示：

分別取BC，AC的中點E，F(xiàn)，故4OF=-2OE所以O(shè)、E、F三點共線，故OE=2OF，所以O(shè)E=S△AOC=1故S△AOC故選：BCD.【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的