2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE7-函數(shù)模型的應(yīng)用(15分鐘30分)1.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是 ()A.y=0.957QUOTE B.y=(0.9576)100xC.y=QUOTE D.y=1-0.042QUOTE【解析】選A.由題意可知y=(95.76%QUOTE，即y=QUOTE.2.某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為a萬元，4月份比3月份削減了10%，5月份比4月份增加了15%，則5月份的產(chǎn)值是 ()A.(a-10%)(a+15%)萬元B.a(1-10%)(1+15%)萬元C.(a-10%+15%)萬元D.a(1-10%+15%)萬元【解析】選B.由題意，5月份的產(chǎn)值為a(1-10%)(1+15%)萬元.3.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特別動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(單位：只)與引入時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y=alog2(x+1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只【解析】選A.將x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得，100=alog2(1+1)，解得a=100，所以當(dāng)x=7時(shí)，y=100log2(7+1)=300.4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)=40Q-QUOTEQ2，則總利潤L(Q)的最大值是_______萬元.

【解析】因?yàn)長(Q)=40Q-QUOTEQ2-10Q-2000=-QUOTEQ2+30Q-2000=-QUOTE(Q-300)2+2500，所以當(dāng)Q=300時(shí)，L(Q)的最大值為2500萬元.答案：25005.(2024·山師附中高一檢測)某心理學(xué)探討小組在對學(xué)生上課留意力集中狀況的調(diào)查探討中，發(fā)覺其留意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t(分鐘)之間的關(guān)系滿意如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0，14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈(14，40]時(shí)，曲線是函數(shù)y=logaQUOTE+83QUOTE圖象的一部分.依據(jù)專家探討，當(dāng)留意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽課效果最佳.(1)試求p=fQUOTE的函數(shù)關(guān)系式.(2)一道數(shù)學(xué)難題，講解須要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理支配在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完？請說明理由.【解析】(1)當(dāng)t∈(0，14]時(shí)，設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0)，將點(diǎn)(14，81)代入得c=-QUOTE，所以當(dāng)t∈(0，14]時(shí)，p=f(t)=-QUOTE(t-12)2+82；當(dāng)t∈(14，40]時(shí)，將點(diǎn)(14，81)代入y=loga(t-5)+83，得a=QUOTE.所以(2)當(dāng)t∈(0，14]時(shí)，-QUOTE(t-12)2+82≥80，解得12-2QUOTE≤t≤12+2QUOTE，所以t∈[12-2QUOTE，14]；當(dāng)t∈(14，40]時(shí)，loQUOTE(t-5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14，32]，綜上t∈[12-2QUOTE，32]時(shí)學(xué)生聽課效果最佳.此時(shí)Δt=32-QUOTE=20+2QUOTE>22.所以老師能夠合理支配時(shí)間講完題目.(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分，共15分)1.衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸的體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V=a·e-kt.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)镼UOTEa.若一個(gè)新丸體積變?yōu)镼UOTEa，則需經(jīng)過的天數(shù)為 ()A.125 B.100 C.75 【解析】選C.由已知得QUOTEa=a·e-50k，即e-50k=QUOTE=QUOTE.所以QUOTEa=QUOTE·a=(e-50kQUOTE·a=e-75k·a，所以t=75.2.某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的，如表是某公司前5天監(jiān)測到的數(shù)據(jù)：第x天12345被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)量y/臺10203981160若用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)來描述這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，則其中最接近的一個(gè)是()A.y=10x B.y=5x2-5x+10C.y=5·2x D.y=10log2x+10【解析】選C.對于選項(xiàng)A，當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對應(yīng)的y的值分別為10，20，30，40，50，對于選項(xiàng)B，當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對應(yīng)的y的值分別為10，20，40，70，110，對于選項(xiàng)C，當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對應(yīng)的y的值分別為10，20，40，80，160，對于選項(xiàng)D，當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對應(yīng)的y的值分別為10，20，10+10log23，30，10+10log25，而表中所給的數(shù)據(jù)是當(dāng)x=1，2，3，4，5時(shí)，對應(yīng)的y的值分別為10，20，39，81，160，通過比較，即可發(fā)覺選項(xiàng)C中y的值誤差最小，即y=5?2x能更好地反映y與x之間的關(guān)系.3.某人若以每股17.25元的價(jià)格購進(jìn)股票一萬股，可以預(yù)知一年后以每股18.96元的價(jià)格銷售.已知該年銀行利率為0.8%，按月計(jì)復(fù)利，為獲得最大利潤，某人應(yīng)將錢[注：(1+0.8%)12≈1.10034]()A.全部購買股票 B.全部存入銀行C.部分購買股票，部分存銀行 D.購買股票或存銀行均一樣【解析】選B.購買股票利潤：x=(18.96-17.25)×10000，存銀行利潤：y=17.25×10000×(1+0.8%)12-17.25×10000，計(jì)算得x<y.二、多選題(共5分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)4.某食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與存儲溫度x(單位：℃)滿意函數(shù)關(guān)系t=QUOTE且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí).已知甲在某日上午10時(shí)購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時(shí)間改變?nèi)鐖D所示，給出以下四個(gè)結(jié)論正確的是 ()A.該食品在6℃的保鮮時(shí)間是B.當(dāng)x∈QUOTE時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x的增大而漸漸削減C.到了此日13時(shí)，甲所購買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)D.到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已超過了保鮮時(shí)間【解析】選AD.因?yàn)槭称返谋ｕr時(shí)間t與存儲溫度x滿意函數(shù)關(guān)系式t=QUOTE且該食品在4℃時(shí)保鮮時(shí)間是16小時(shí).所以24k+6=16，即4k+6=4，解得k=-QUOTE.所以t=QUOTE①當(dāng)x=6時(shí)，t=8，所以該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)，故A②當(dāng)x∈[-6，0]時(shí)，時(shí)間t不變，故B錯(cuò)誤；③由圖象可知，當(dāng)?shù)酱巳?2時(shí)，溫度超過12度，此時(shí)的保鮮時(shí)間不超過1小時(shí)，所以到了此日13時(shí)，甲所購買的食品不在保鮮時(shí)間內(nèi)，故C錯(cuò)誤；④由③知，D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)5.為綠化生活環(huán)境，某市開展植樹活動.今年全年植樹6.4萬棵，若植樹的棵數(shù)每年的增長率均為a，則經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是_______，若支配3年后全年植樹12.5萬棵，則a=_______.

【解析】經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是y=6.4(1+a)x(x∈N*)，由題意可知6.4(1+a)3=12.5，所以(1+a)3=QUOTE，所以1+a=QUOTE，故a=QUOTE=25%.答案：y=6.4(1+a)x(x∈N*)25%6.(2024·菏澤高一檢測)某制造商制造并出售圓柱形瓶裝的某種飲料，瓶子的底面半徑是r，高h(yuǎn)=QUOTEr(單位：cm)，一個(gè)瓶子的制造成本是0.8πr2分，已知每出售1mL(注：1mL=1cm3)的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子底面的最大半徑為6cm.記每瓶飲料的利潤為f(r)，則f(3)=_______，其實(shí)際意義是_______.

【解析】f(r)=0.2·πr2·QUOTEr-0.8πr2=QUOTE-0.8πr2(0<r≤6)，故f(3)=7.2π-7.2π=0.表示當(dāng)瓶子底面半徑為3cm時(shí)，答案：0當(dāng)瓶子底面半徑為3cm時(shí)，四、解答題7.(10分)噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)峻問題.實(shí)踐證明，聲音強(qiáng)度D(分貝)由公式D=algI+b(a，b為非零常數(shù))給出，其中I(W/cm2)為聲音能量.(1)當(dāng)聲音強(qiáng)度D1，D2，D3滿意D1+2D2=3D3時(shí)，求對應(yīng)的聲音能量I1，I2，I3滿意的等量關(guān)系式；(2)當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為10-13W/cm2時(shí)，聲音強(qiáng)度為30分貝；當(dāng)人們正常說話，聲音能量為10-12W/cm2時(shí)，聲音強(qiáng)度為40分貝.當(dāng)聲音能量大于60分貝時(shí)屬于噪音，一般人在100～120分貝的空間內(nèi)，一分鐘就會短暫性失聰.問聲音能量在什么范圍時(shí)，人會短暫性失聰.【解析】(1)因?yàn)镈1+2D2=3D3，所以algI1+b+2(algI2+b)=3(algI3+b)，所以lgI1+2lgI2=3lgI3，所以I1·QUOTE=QUOTE.(2)由題意得QUOTE所以QUOTE所以100<10lgI+160<120，所以10-6<I<10-4.當(dāng)聲音能量I∈(10-6，10-4)時(shí)，人會短暫性失聰.【補(bǔ)償訓(xùn)練】鉛酸電池是一種蓄電池，電極主要由鉛及其氧化物制成，電解液是硫酸溶液，這種電池具有電壓穩(wěn)定、價(jià)格便宜等優(yōu)點(diǎn)，在交通、通信、電力、軍事、航海、航空等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.但是由于在實(shí)際生活中運(yùn)用方法不當(dāng)，電池能量未被完全運(yùn)用，導(dǎo)致了能源的奢侈，因此精確預(yù)料鉛酸電池剩余放電時(shí)間是運(yùn)用中急需解決的問題.探討發(fā)覺，當(dāng)電池以某恒定電流放電時(shí)，電壓U關(guān)于放電時(shí)間t的改變率y滿意y=aebt+Q