杭州市采荷中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

杭州市采荷中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．2．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人3．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．4．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當時，平面 D．當m變化時，直線l的位置不變7．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．9．已知中，，則（）A．1 B． C． D．10．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形11．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則,，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生900人，高三年級有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取_____人．14．已知一個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為__________．15．設(shè)實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.16．如圖所示，邊長為1的正三角形中，點，分別在線段，上，將沿線段進行翻折，得到右圖所示的圖形，翻折后的點在線段上，則線段的最小值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長為2的菱形，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，（1）若分別為，的中點，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．18．（12分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).19．（12分）設(shè)為實數(shù),在極坐標系中,已知圓（）與直線相切,求的值．20．（12分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對任意的有．21．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上.（Ⅰ）求的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，當時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．2、D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算可整理得到，由此得到對應(yīng)的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應(yīng)的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.7、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．8、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設(shè)三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.10、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因為所以所以所以所以所以當時，為直角三角形；當時即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項；結(jié)合特殊值，即可排除D選項.【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項A，B；又∵當時，，故選：C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得，，當時，，因為，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點為的中點，則，設(shè)，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.15、【解析】

試題分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，當直線過點時，最大，且考點：線性規(guī)劃.16、【解析】

設(shè)，，在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù)，從而可得的最小值．【詳解】解：設(shè)，，則，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴當即時，取得最小值．故答案為．【點睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標系，求出二面角的余弦值.試題解析：（1）連接,因為四邊形為菱形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.又平面，所以.因為，所以.因為，所以平面.因為分別為，的中點，所以，所以平面（2）設(shè)，由（1）得平面.由，，得，.過點作，與的延長線交于點，取的中點，連接，，如圖所示，又，所以為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.因為為平行四邊形，所以，所以平面.又因為，所以平面.因為，所以平面平面.由（1），得平面，所以平面，所以.因為，所以平面，所以是與平面所成角.因為，，所以平面，平面，因為，所以平面平面.所以，，解得.在梯形中，易證，分別以，，的正方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.則，，，，，，由，及，得，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得.所以又因為二面角是鈍角，所以二面角的余弦值是.18、(1)(2)三個零點【解析】

(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進而得到結(jié)果；（2）當時先對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設(shè)，，時，遞減，時，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調(diào)，無極值；當時，，一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個零點.另一方面，，設(shè)，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區(qū)間有一個零點.因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為，，當時，即；當時，即；當時，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點.下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當時，遞減，則，而，故；②當時，遞減，則，而，故；一方面，因為，又，且在遞增，所以在上有一個零點，即在上有一個零點.另一方面，根據(jù)得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個零點，故在上有一個零點.又，故有三個零點.【點睛】本題考查函數(shù)的零點，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．在研究函數(shù)零點時，有一種方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的解，再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動直線與函數(shù)圖象交點問題，這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢，得出結(jié)論．19、【解析】

將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得．將直線化成普通方程為．因為相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得．【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題.20、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）首先證，令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，由即可證出；再令，再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時，，故在單調(diào)遞減．（2）首先證，令，則單調(diào)遞增，且，所以再令，所以單調(diào)遞增，即，∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于難題.21、（Ⅰ）曲