《工程力學(xué)》課件第6章

第6章彎曲

6.1彎曲的概念與實(shí)例6.2梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖6.3彎曲時(shí)的正應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算6.4梁的變形6.5提高梁的承載能力的措施6.6組合變形簡(jiǎn)介6.1.1基本概念

6.1.1基本概念彎曲是工程實(shí)際中常見的基本變形之一。例如，6.1(a)所示為變速箱中的齒輪傳動(dòng)軸，當(dāng)齒輪受力時(shí)，軸就會(huì)發(fā)生變形，其軸線會(huì)彎曲。又如，圖6.1(b)所示房子上的橫梁，受到樓板的壓力后也會(huì)產(chǎn)生同樣的變形。圖6.1以上構(gòu)件的受力特點(diǎn)是：在通過構(gòu)件軸線的平面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的外力作用。其變形特點(diǎn)是：構(gòu)件的軸線由直線變成一條曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的構(gòu)件習(xí)慣上稱為梁。工程實(shí)際中常用直梁的橫截面形狀主要有圓形、矩形、T字形和工字形等，如圖6.2所示。圖6.2以上橫截面一般都有一個(gè)或幾個(gè)對(duì)稱軸，由縱向?qū)ΨQ軸與梁的軸線組成的平面稱為縱向?qū)ΨQ平面，如圖6.3所示。工程實(shí)踐中，通常把作用在梁上的所有外力都簡(jiǎn)化在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，且常把梁的軸線被彎曲成一條仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的光滑平面曲線的彎曲變形稱為平面彎曲。圖6.36.1.2梁的類型工程實(shí)際中，梁的結(jié)構(gòu)繁簡(jiǎn)不一。為便于分析和計(jì)算，通常對(duì)梁進(jìn)行簡(jiǎn)化。根據(jù)支座對(duì)梁的約束的不同情況，簡(jiǎn)單的梁有三種類型，其簡(jiǎn)圖如圖6.4所示。

(1)簡(jiǎn)支梁：梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座，如圖6.4(a)所示。

(2)懸臂梁：梁的一端為固定端支座，另一端為自由端，如圖6.4(b)所示。

(3)外伸梁：梁的一端或兩端伸在支座之外的簡(jiǎn)支梁，如圖6.4(c)所示。圖6.46.2梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖

6.2.1剪力與彎矩為了計(jì)算梁的強(qiáng)度與剛度，必須用截面法求出梁的內(nèi)力。如圖6.5所示，簡(jiǎn)支梁在距A端為a的橫截面上受集中力F作用，求簡(jiǎn)支梁AB上任意橫截面m-m上的內(nèi)力。首先，利用靜力平衡條件求出A、B的支座反力NA與NB為其次，假想用一截面將梁沿m-m截面截開，取左段進(jìn)行分析，如圖6.5(b)所示。為了達(dá)到平衡，在m-m截面上必須作用一個(gè)與NA等值、反向的力Fs。

NA與Fs構(gòu)成力偶，又有讓梁順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)。為了達(dá)到轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，截面上必須作用有一個(gè)力偶M。圖6.5中使梁的橫截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)的內(nèi)力Fs稱為剪力；使梁的軸線發(fā)生彎曲的內(nèi)力偶矩M稱為彎矩。其大小可以由平衡條件求出，即式中，C1表示左段截面的形心。若取m-m截面右段為研究對(duì)象，作同樣分析后，可求得與左段截面上等值、反向的剪力和彎矩M′，與左段截面上的剪力Fs和彎矩M互為作用與反作用的關(guān)系。為了使同一截面取左、右不同的兩段時(shí)求得的剪力和彎矩符號(hào)相同，把剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定為：使所取該段梁產(chǎn)生“左上右下”的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的剪力方向?yàn)檎?，反之為?fù)，如圖6.6所示；使所取該段梁產(chǎn)生上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)，如圖6.7所示。圖6.6圖6.7

從上述剪力和彎矩的計(jì)算過程中，我們可以看到如下規(guī)律：

(1)橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)(或右側(cè)）所有外力的代數(shù)和；

(2)橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)(或右側(cè)）所有外力對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。為了使所求得的剪力與彎矩符合前面的符號(hào)規(guī)定，按此規(guī)律計(jì)算剪力時(shí)，截面左側(cè)梁上外力向上取正值，向下取負(fù)值，截面右側(cè)梁上外力向下取正值，向上取負(fù)值；計(jì)算彎矩時(shí)，截面左側(cè)梁上外力對(duì)該截面形心的力矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向取正值，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向取負(fù)值，截面右側(cè)外力對(duì)該截面形心的力矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向取正值，順時(shí)針轉(zhuǎn)向取負(fù)值?？梢詫⑦@個(gè)規(guī)則歸納為一個(gè)簡(jiǎn)單的口訣：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。6.2.2剪力圖與彎矩圖工程中，梁橫截面上的剪力和彎矩沿梁的軸線發(fā)生變化。若以橫坐標(biāo)x表示梁的橫截面位置，則梁在各橫截面上的剪力Fs和彎矩M可以寫成x的函數(shù)：Fs=Fs(x)M=M(x)以上兩式分別稱為剪力方程和彎矩方程。為了直觀地反映梁上各橫截面上的剪力和彎矩的大小及變化規(guī)律，根據(jù)剪力方程和彎矩方程，用橫坐標(biāo)x表示梁的橫截面的位置，縱坐標(biāo)分別表示剪力Fs和彎矩M的大小而畫出圖形，分別稱為剪力圖和彎矩圖。

【例6.1】如圖6.8(a)所示，簡(jiǎn)支梁AB受集中載荷F=12kN，試畫出其剪力圖和彎矩圖。圖6.8解

(1)求A、B的支座反力。

(2)列剪力方程與彎矩方程。①對(duì)AC段，取距A端為x1的截面左段，畫出受力圖，如圖6.8(b)所示，列平衡方程：②對(duì)CB段，取距A端為x2的截面左段，畫出受力圖，如圖6.8(c)所示，列平衡方程：

(3)繪制剪力圖和彎矩圖。根據(jù)梁的各段上的剪力方程和彎矩方程，繪出剪力圖，如圖6.8(d)所示，繪出彎矩圖，如圖6.8(e)所示。從剪力圖上可以看出，在集中力F作用處，剪力圖上會(huì)發(fā)生突變，突變值即等于集中力F的大小。由剪力圖和彎矩圖可知，集中力F作用在C截面上，剪力和彎矩都達(dá)到最大值。

【例6.2】如圖6.9(a)所示，簡(jiǎn)支梁AB上作用一集中力偶M，試?yán)L出梁AB的剪力圖和彎矩圖。圖6.9解

(1)求AB的支座反力，由力偶系平衡可得

(2)列剪力方程和彎矩方程。

1-1截面：剪力方程為彎矩方程為

2-2截面：剪力方程為

彎矩方程為

(3)繪制剪力圖和彎矩圖。繪制剪力圖，如圖6.9(b)所示；繪制彎矩圖，如圖6.9(c)所示。從彎矩圖上可看出，集中力偶作用處其彎矩有突變，突變值等于集中力偶矩。

【例6.3】如圖6.10(a)所示，懸臂梁AB受均布載荷作用,試?yán)L制其剪力圖和彎矩圖。圖6.10

解設(shè)截面m-m與B端之間的距離為x，取m-m截面的右段為研究對(duì)象，畫出受力圖，如圖6.10(b)所示。根據(jù)平衡條件：由Fs=qx可繪出剪力圖，如圖6.10(c)所示；由描點(diǎn)可繪出彎矩圖，如圖6.10(d)所示。6.3彎曲時(shí)的正應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算

6.3.1變形幾何關(guān)系通過前面分析梁的內(nèi)力可知，一般情況下，梁橫截面上都存在剪力和彎矩兩種內(nèi)力。剪力是與截面相切的分布內(nèi)力系的合力，它與橫截面上的切應(yīng)力相關(guān)；彎矩是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩，它與橫截面上的正應(yīng)力相關(guān)。實(shí)踐證明，當(dāng)梁比較細(xì)長(zhǎng)時(shí)，正應(yīng)力對(duì)梁的破壞起決定作用。本節(jié)將重點(diǎn)討論梁橫截面上的正應(yīng)力。如圖6.11所示，一矩形等截面簡(jiǎn)支梁AD，已知條件如圖所示。由梁的剪力圖和彎矩圖可看出：AB段和CD段既受剪力作用，又受彎矩作用，稱為剪切彎曲；中間的BC段只受彎矩作用，沒有剪力作用，稱為純彎曲。圖6.11為了了解純彎曲作用時(shí)梁的變形，取一矩形等截面梁進(jìn)行純彎曲變形實(shí)驗(yàn)。如圖6.12(a)所示，在梁的表面作出兩條橫向線aa和bb，兩條縱向線11和22。然后在梁的兩端加上一對(duì)外力偶矩M，如圖6.12(b)所示。梁發(fā)生純彎曲后，橫向線aa與bb彎成平行的弧線，靠凹邊的縮短，靠凸邊的伸長(zhǎng)；縱向線11和22只發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，仍為直線，且與橫向線垂直。

若將11和22所夾部分取出，如圖6.12(c)所示，上部纖維縮短，下部纖維伸長(zhǎng)，根據(jù)變形的連續(xù)性，它們之間有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)又不縮短，這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層將橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)，在受拉區(qū)或受壓區(qū)內(nèi)，縱向纖維的變形與到中性軸的距離成正比，這表明縱向纖維所受的力也與到中性軸的距離成正比。由于每根縱向纖維可以代表橫截面上的一點(diǎn)，因此橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。若將11和22所夾部分取出，如圖6.12(c)所示，上部纖維縮短，下部纖維伸長(zhǎng)，根據(jù)變形的連續(xù)性，它們之間有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)又不縮短，這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層將橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)，在受拉區(qū)或受壓區(qū)內(nèi)，縱向纖維的變形與到中性軸的距離成正比，這表明縱向纖維所受的力也與到中性軸的距離成正比。由于每根縱向纖維可以代表橫截面上的一點(diǎn)，因此橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。圖6.126.3.2橫截面上的正應(yīng)力梁受純彎曲時(shí)，其橫截面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力。橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，距中性軸等高度的各點(diǎn)處正應(yīng)力相等，而中性軸上各點(diǎn)處正應(yīng)力為零。橫截面上應(yīng)力分布如圖6.13(a)所示?？梢宰C明,距離中性軸y處點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式為，如圖6.13(b)所示。式中，Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，對(duì)矩形截面，Iz=bh3/12，對(duì)圓形截面，Iz=πd4/64。從圖6.13中可以看出，離中性軸最遠(yuǎn)的梁的上、下邊緣處正應(yīng)力最大，最大正應(yīng)力的值為式中，稱為截面對(duì)中性軸z的抗彎截面系數(shù)，其單位為m3或mm3。對(duì)于常見的截面,其抗彎截面系數(shù)分別如下：圖6.13

(1)矩形截面(如圖6.14(a)所示)：

(2)圓形截面(如圖6.14(b)所示)：

(3)圓環(huán)截面(如圖6.14(c)所示)：

其中其他形狀截面的彎曲截面系數(shù)Wz可從有關(guān)資料中查得。

圖6.146.3.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)于等截面梁，最大正應(yīng)力產(chǎn)生在最大彎矩作用的截面上，此截面稱為危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)截面的上、下邊緣正應(yīng)力最大。正應(yīng)力最大的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)。彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：梁的最大彎曲正應(yīng)力小于或等于材料的許用應(yīng)力,即

當(dāng)材料的抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度相等時(shí)，[σ]采用材料的許用拉(壓)應(yīng)力。當(dāng)材料的抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度不相同，或橫截面相對(duì)中性軸不對(duì)稱時(shí)，應(yīng)分別建立抗拉強(qiáng)度條件與抗壓強(qiáng)度條件。實(shí)際工程中，運(yùn)用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面計(jì)算：校核彎曲強(qiáng)度、求許可載荷和設(shè)計(jì)截面尺寸。

【例6.4】如圖6.15(a)所示，一矩形截面懸臂梁長(zhǎng)l=4m，材料的許用應(yīng)力[σ]=150MPa，求此懸臂梁的許可載荷。圖6.15

解繪出懸臂梁的彎矩圖，如圖6.15(b)所示。圖中，Mmax=Fl=4000F。梁的橫截面抗彎截面系數(shù)為由梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件得因此,懸臂梁的許可載荷為F=25000N。

【例6.5】某建筑工地上,用長(zhǎng)l=3m的矩形截面木板做跳板，木板橫截面尺寸b=500mm，h=50mm，木板材料的許用應(yīng)力［σ］=6MPa。試求：

(1)一體重為700N的工人走過是否安全？

(2)要求兩名體重均為700N的工人抬著1500N的貨物安全走過，木板的寬度不變，重新設(shè)計(jì)木板厚度h。

解(1)計(jì)算彎矩的最大值Ｍmax。當(dāng)工人行走到跳板中央時(shí)，彎矩最大。校核彎曲強(qiáng)度：所以,體重為700N的工人走過是安全的。

(2)設(shè)工人重力和貨物重力合成為一個(gè)集中力，且作用在跳板長(zhǎng)度的中點(diǎn)時(shí)最危險(xiǎn)，此處彎矩最大值為按彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)：

h≥65.95mm所以，木板厚度應(yīng)滿足h≥66mm。

6.4梁的變形

6.4.1撓度與轉(zhuǎn)角如圖6.16所示，懸臂梁AB受載以后軸線由直線彎曲成一條光滑的連續(xù)曲線AB′，曲線AB′稱為撓曲線。梁的變形可以用撓度ω和轉(zhuǎn)角θ來度量。撓度：取軸線上任意一點(diǎn)C，變形后移至C1，其線位移ω為C點(diǎn)的撓度值。轉(zhuǎn)角：梁彎曲變形后，軸上任意一點(diǎn)C處的橫截面m-m將繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度至m′-m′，其角位移θ稱為該截面的轉(zhuǎn)角。6.4.2計(jì)算變形的疊加法梁的撓度和轉(zhuǎn)角都是載荷的一次函數(shù)，當(dāng)梁上同時(shí)受到幾個(gè)載荷作用時(shí)，由某一載荷作用引起梁的變形不受其他載荷作用的影響，故梁的變形滿足線性疊加原理，即可以分別計(jì)算出單個(gè)載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角，再將它們求代數(shù)和，得到所有載荷同時(shí)作用時(shí)梁的總變形。幾種常見梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的變形見表6.1。表6.1幾種常見梁在簡(jiǎn)單載荷作用下的變形

6.4.3剛度條件梁的剛度條件為：最大撓度小于或等于許用撓度，最大轉(zhuǎn)角小于或等于許用轉(zhuǎn)角，即ωmax≤［ω］θmax≤［θ］其中，［ω］、［θ］的具體數(shù)值可查有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。

【例6.6】如圖6.17(a)所示，行車大梁采用NO.45a工字鋼，跨度l=9m，電動(dòng)葫蘆重5kN，最大起重量為55kN，許用撓度[ω]=l/500。試校核行車大梁的剛度。圖6.17解將行車簡(jiǎn)化后受力情況如圖6.17(b)所示。把梁的自重看成均布載荷，并且當(dāng)電動(dòng)葫蘆處于梁的中央時(shí)，梁的變形最大。

(1)用疊加法求撓度。查手冊(cè)可知：NO.45a工字鋼的q=788N/m，Iz=32240cm4,E=200GPa。梁需要承受的最大載荷F=5+55=60kN。查表6.1可得，在力F作用下產(chǎn)生的撓度為

在均布載荷q作用下產(chǎn)生的撓度為梁的最大變形：ωCmax=ωCF+ωCq=0.015m。

(2)校核梁的剛度。梁的許用撓度，則ωCmax<[ω]所以梁的剛度足夠。6.5提高梁的承載能力的措施

1.選用合理截面梁的截面多種多樣，合理截面是指用較小的截面面積獲得較大的抗彎截面系數(shù)Wz或者較大的截面慣性矩Iz。前面的應(yīng)力分布圖6.13已經(jīng)表明：截面上離中性軸愈遠(yuǎn)，正應(yīng)力愈大，而中性軸上的正應(yīng)力為零。因此，合理截面應(yīng)當(dāng)是將材料放在離中性軸較遠(yuǎn)的地方，如工字形截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圓形截面合理，等等。

2.采用變截面梁對(duì)截面形狀一定的梁，其截面尺寸是按需要承受最大彎矩Mmax的截面強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)的。若做成等截面梁，則對(duì)于其他截面，由于承受的彎矩M<Mmax，其材料未被充分利用，造成浪費(fèi)，并且增大了梁的重量。因此,同一梁上根據(jù)不同截面的載荷大小不同，采用不同的截面尺寸，即采用變截面梁，有利于提高梁的承載能力。圖6.18所示為采用變截面梁形式的托架和階梯軸。圖6.18

3.合理安排載荷如圖6.19(a)所示，當(dāng)簡(jiǎn)支梁AB在中點(diǎn)受集中力F作用時(shí)，其彎矩圖如圖6.19(b)所示。其上彎矩的最大值出現(xiàn)在中點(diǎn)，且。當(dāng)增加副梁后，如圖6.19(c)所示，所受的載荷相同，但產(chǎn)生的彎矩最大值減小為原來的一半。所以合理地安排載荷，可以提高梁的承載能力。圖6.19

4.減小跨度或增加支承由前面內(nèi)容可知，梁的變形與梁的跨度的高次方成正比，減小跨度l能夠有效提高梁的抗彎剛度并減少彎矩；增加支承也可以提高梁的抗彎剛度。例如，車床上車削工件時(shí)，車刀尖給工件作用力，不用尾架頂尖時(shí)工件易變形，使用頂尖后，變形可以減小。6.6組合變形簡(jiǎn)介

6.6.1組合變形的概念工程實(shí)際中，許多構(gòu)件同時(shí)受到多種基本變形的作用，如有的構(gòu)件同時(shí)受到拉(壓)與彎曲，或者同時(shí)受到彎曲與扭轉(zhuǎn)的作用。像這種同時(shí)受兩種或兩種以上基本變形的變形形式，稱為組合變形。圖6.20(a)所示的AB構(gòu)件，其受力圖如圖6.20(b)所示。其上作用的力NAx和Fx使桿產(chǎn)生壓縮變形；力NAy、Fy與G使桿產(chǎn)生彎曲變形。所以,AB桿的變形屬組合變形。圖6.20在對(duì)組合變形的桿件進(jìn)行強(qiáng)度分析和計(jì)算時(shí)，通常采用疊加法，即把作用于桿件上的載荷分解、簡(jiǎn)化，使簡(jiǎn)化后的每一種載荷只產(chǎn)生一種基本變形，并且分別求出每一種載荷使桿件產(chǎn)生的應(yīng)力，然后進(jìn)行疊加，求得截面上的總應(yīng)力。6.6.2拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形如圖6.21(a)所示，矩形截面懸臂梁在自由端B處受外力F的作用。將力F分解為兩個(gè)互相垂直的力Fx和Fy，力Fx使AB桿產(chǎn)生拉伸變形，力Fy使AB桿產(chǎn)生彎曲變形。所以AB桿在力F的作用下發(fā)生拉伸和彎曲的組合變形。

(1)內(nèi)力分析。將力F分解為

Fx=Fcosθ

Fy=Fsinθ分力Fx使AB桿產(chǎn)生拉伸變形，橫截面上的應(yīng)力為均勻分布的拉應(yīng)力σN，如圖6.21(b)所示。分力Fy使桿AB產(chǎn)生彎曲變形，橫截面上應(yīng)力分布如圖6.21(c)所示。圖6.21

(2)應(yīng)力計(jì)算。由于桿AB任一截面上的應(yīng)力都有拉伸產(chǎn)生的正應(yīng)力與彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力，同一截面上兩種應(yīng)力平行，所以疊加時(shí)可以代數(shù)相加。疊加后橫截面上應(yīng)力分布如圖6.21(d)所示，并且最大正應(yīng)力為σmax=σN+σW

(3)強(qiáng)度條件。為了保證此組合變形桿件的承載能力，必須使其橫截面上的最大正應(yīng)力小于或等于材料的許用應(yīng)力,即σmax≤［σ］對(duì)于塑性材料，[σ]取材料的拉伸許用應(yīng)力；對(duì)于脆性材料，因材料的抗拉與抗壓強(qiáng)度不同，故應(yīng)分別校核。

【例6.7】如圖6.22(a)所示，桿AB為矩形截面，已知F=8kN，材料的許用應(yīng)力[σ]=100MPa，試校核AB桿的強(qiáng)度。解〓[HT](1)選AB為對(duì)象，作受力分析，如圖6.22(b)所示?！芃A=FCDsin30°×2.5-8×4=0FCD=25.6kN

(2)作內(nèi)力圖。

AB桿在圖上各力作用下產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形。繪出其軸力圖，如圖6.22(c)所示。繪出其彎矩圖，如圖6.22(d)所示。Mmax=-F×1.5=-12kN·m圖6.23

(3)強(qiáng)度校核。危險(xiǎn)點(diǎn)在C截面的上邊緣，其最大拉應(yīng)力為所以強(qiáng)度足夠。6.6.3扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形如圖6.23(a)所示，直角曲拐處于水平位置，C端固定，自由端A處作用一鉛垂方向的外力F。將F平移到B點(diǎn)后，應(yīng)附加力偶T

，如圖6.23(b)所示。其中，力F使BC產(chǎn)生彎曲變形，而力偶T使BC桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。因此BC桿受彎曲和扭轉(zhuǎn)同時(shí)作用產(chǎn)生組合變形。彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形是機(jī)械軸類零件最常見的組合變