湖北省武漢市黃陂區(qū)漢口北高中2024年高三模擬試題數(shù)學(xué)試題試卷解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省武漢市黃陂區(qū)漢口北高中2024年高三模擬試題數(shù)學(xué)試題試卷解析注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.22.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.3.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件4.一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上,且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.6.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.7.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或9.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.10.在正方體中,點(diǎn),,分別為棱,,的中點(diǎn),給出下列命題:①;②;③平面;④和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.311.已知集合,則=A. B. C. D.12.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),設(shè)其前n項(xiàng)和,若(),則()A.30 B. C. D.62二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有以下四個(gè)命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)的充要條件是;③對于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確命題的序號(hào)為______.14.已知雙曲線(,)的左,右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率為__________.15.已知函數(shù),則關(guān)于的不等式的解集為_______.16.五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個(gè)音階全用上,排成一個(gè)五個(gè)音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成______種不同的音序.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)對于正整數(shù),如果個(gè)整數(shù)滿足,且,則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí),稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)18.(12分)在直角坐標(biāo)平面中,已知的頂點(diǎn),,為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明:直線過軸上的定點(diǎn).19.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點(diǎn),并求面積的最小值.20.(12分)已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時(shí),證明:對于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)(注:當(dāng)時(shí),直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)).21.(12分)在以為頂點(diǎn)的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)已知函數(shù),為實(shí)數(shù),且.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.2、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當(dāng),,時(shí),滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.4、D【解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.5、D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.6、C【解析】

直線恒過定點(diǎn),由此推導(dǎo)出,由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過定點(diǎn),如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB,則,∴,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用,屬于中檔題.7、C【解析】

首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由計(jì)算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域?yàn)?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的方法對四個(gè)命題逐一分析,由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,,.①,,所以,故①正確.②,,不存在實(shí)數(shù)使,故不成立,故②錯(cuò)誤.③,,,故平面不成立,故③錯(cuò)誤.④,,設(shè)和成角為,則,由于,所以,故④正確.綜上所述,正確的命題有個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.11、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.12、B【解析】

根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,解方程組求出首項(xiàng)和公式,最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,因此.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①【解析】

由三角形的正弦定理和邊角關(guān)系可判斷①;由零點(diǎn)存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結(jié)合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對稱的特點(diǎn)可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),比如在存在零點(diǎn),但是,故②錯(cuò)誤;③對于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯(cuò)誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關(guān)于直線對稱,即對稱,故④錯(cuò)誤.故答案為:①.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和對稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.14、【解析】

設(shè),由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設(shè),根據(jù),可求出,得出,再結(jié)合焦點(diǎn)三角形,利用余弦定理:求出和的關(guān)系,即可得出離心率.【詳解】解:設(shè),由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設(shè),,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,求雙曲線離心率.15、【解析】

判斷的奇偶性和單調(diào)性,原不等式轉(zhuǎn)化為,運(yùn)用單調(diào)性,可得到所求解集.【詳解】令,易知函數(shù)為奇函數(shù),在R上單調(diào)遞增,,即,∴∴,即x>故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.16、1【解析】

按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè),此時(shí)有種;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè);③若“角”在第二個(gè)或第四個(gè)位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用排列知識(shí)解決實(shí)際問題,涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)為偶數(shù)時(shí),,為奇數(shù)時(shí),;(Ⅲ)證明見解析,,【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí),最大為,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),最大為,得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,至少存在一個(gè)全為1的拆分,故,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到,再計(jì)算,,得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為:,,,,.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),時(shí),最大為;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),時(shí),最大為;綜上所述:為偶數(shù),最大為,為奇數(shù)時(shí),最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,至少存在一個(gè)全為1的拆分,故;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”,則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:.當(dāng)時(shí),偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,;當(dāng)時(shí),偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,故;當(dāng)時(shí),對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”,除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外,至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:使成立的為:或.【點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)();(2)證明見解析.【解析】

(1)設(shè)點(diǎn),分別用表示、表示和余弦定理表示,將表示為、的方程,再化簡即可;(2)設(shè)直線方程代入的軌跡方程,得,設(shè)點(diǎn),,,表示出直線,取,得,即可證明直線過軸上的定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè),由已知,∴,∴(),化簡得點(diǎn)的軌跡的方程為:();(2)由(1)知,過點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)與無交點(diǎn),不合題意故可設(shè)直線的方程為:(),代入的方程得:.設(shè),,則,,.∴直線:.令,得.直線過軸上的定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求定點(diǎn)問題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)見解析,最小值為4【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點(diǎn),由,即,得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即∵,∴∵點(diǎn)在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),此時(shí),可知:當(dāng),此時(shí)直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時(shí),最小,且最小值為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過定點(diǎn)問題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.20、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】

(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調(diào)性即可得證;(3)將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實(shí)數(shù)解,對求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,結(jié)合題目條件與不等式的放縮,即可得證.【詳解】;令,則恒成立;,;的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;;令,;則;令,則;;;(3)證明:,,要證明有唯一實(shí)數(shù)解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;即對于任意實(shí)數(shù),一定有解;;當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn);函數(shù)在,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;又;只需,在時(shí)恒成立;只需;令,其中一個(gè)正解是;,;單調(diào)遞增,,(1);;;綜上得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的放縮,屬難題.21

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