電磁場(chǎng)與電磁波版課后答案

第一章習(xí)題解答

1.1給定三個(gè)矢量A、5和C如下：

A=ex+ey2-e:3

B=一與4+5

C=ex5-ez2

求：(1)%；(2)|A-B|；(3)AB.(4)“8；(5)A在b上的分量；(6)AxC；

(7)A(5xC)和(Axj?)C;(8)(Ax5)xC和Ax(6xC)。

?、Aex+ev2—e：3123

解(1)aj-=i-+ev_y-、_e

AMl712+22+(-3)2-V14z舊

(2)|A-B|=|(ev+ev2-e,3)-(-ey4+e2)|=|ex+ey6-ez^=453

(3)AB=(ex+ey2-ez3)(-ey4+e2)=-U

AB-11

(4)由c處…麗=7F^rL得

0=cos'(—I)=135.5

"XBV238

(5)A在5上的分量AB=|A|CO%=-^-：

S5生

(6)AxC=12-3=-eA4-ev13-e.10

50-2

外j生

(7)由于5xC=0-41=0?8+0、.5+520

50-2

e、e,ez

AxB=12-3=-ex\O-eyl-eA

0-41

所以A(BxC)=(ex+ey2-ez3)(e、8+e,5+e：20)=-42

(AxB)C=(-ex10-ev1-e.4)(ev5-e.2)--42

Q4氣

(8)(Axj?)xC=-10-1-4=e,2—ev40+e：5

50-2

4%,e二

Ax(BxC)=12-3=er55-e、.44一eJi

8520

1.2三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為《(0』,一2)、6(4,1,一3)和A(6,2,5)。

(1)判斷A6R鳥是否為一直角三角形；

(2)求三角形的面積。

解(1)三個(gè)頂點(diǎn)6(0,L—2)、鳥(4』,一3)和6(6,2,5)的位置矢量分別為

-ey-e_2,r2=et4+ey-e:3,r3=ex6+ey2+e:5

則叫2=與一耳=e,4—e”=△-2=42+5+幺8，

&=八F=-％6--57

由此可見

&2=(ev4-生)(e、.2+ey+e=8)=0

故AIEA為一直角三角形。

⑵三角形的面積S=1|/?12X/?2|3=J|7?|12|KR\2^/[77^69=17.

1.3求PX-3,1,4)點(diǎn)到尸(2,—2,3)點(diǎn)的距離矢量R及R的方向。

解rp,--ex3+ey+e.4>rp=er2-ey2+e.3,

則Rp.p-rp-rp.=ex5-ey3)-e.

且k呻與x、y、z軸的夾角分別為

7yR〃P

…F■)=cos120.47

…。"闔)=cos=99.73

1.4給定兩矢量4=e,2+ev3—e：4和B=e*4—e、,5+66,求它們之間的夾角和

4在5上的分量。

-31

解A與B之間的夾角為^AB=C0S1)=cos-l(-)=131

B-31

4在B上的分量為4=4網(wǎng)=[方=-3.532

1.5給定兩矢量A=e*2+?、,3—e14和3=—%6—ev4+c~,求AxB在

C=e-e+e，上的分量。

e、eyez

解Axb=23-4=-e,13+ev22+e/0

-6-41

(AxB)C25

所以A*3在C上的分量為(AxB)c=44.4

1.6證明：如果43=AC和Ax3=AxC，則5=C；

解由Ax3=AxC，則有Ax(Ax5)=4x(AxC)，即

(Ap)A-(A4)5=(AC)A-(AA)C

由于AB=AC，于是得到(AA)B=(A閭

故B=C

1.7如果給定一未知矢量與一己知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢

量。設(shè)A為一己知矢量，p=AX而p=AxX，P和P已知，試求X。

解由P=AxX，有

AxP=Ax(AxX)=(AI;

pAA

故得x^~—

AA

1.8在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4,N,3)定出，求該點(diǎn)在：(1)直角坐標(biāo)中的坐

標(biāo)；(2)球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。

解(1)在直角坐標(biāo)系中x=4cos523)~、y=4sin(2^/3)=25/3'z=3

故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(一2,2百,3)。

221

(2)在球坐標(biāo)系中r=>/4+3=5'6>=tan-(4/3)=53.1>°=2乃/3=120

故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5,53.1,120)

1.9用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)E=e,至，

rr2

(1)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3,4,一5)處的國(guó)和E,;

(2)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(一3,4,—5)處后與矢量5=0,2-外2+外構(gòu)成的夾角。

解(1)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(一3,4,-5)處，/=(_3產(chǎn)+42+(_5)2=50，故

忸|==|

11_1_33>/2

E=eE=Ecos^=—x——=-----

*r*x11rt25夜20

(2)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3,4,-5)處，r=—%3+e、,4—e:5,所以

?2525r_-ex3+ey4-e:5

r2r310>/2

故E與5構(gòu)成的夾角為=cos-渣2)=cos-1-。。@)=153.6

EB|同忸|3/2

1.10球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)儲(chǔ),q,@)和(公%，八)定出兩個(gè)位置矢量凡和4。證明凡和

&間夾角的余弦為

cosy=cos4cos02+sin仇sin02cos(^)——)

解由/?!=exrxsincos埼+eyrxsin仇sina+ezrxcos4

R2=sin%cos^2+外為sin02sin心+外弓cos%

R,R、

得到吟=硒=

sin"cos.sin02cos圾+sin0]sin.sin02sine+cos0xcos02=

sin仇sing(cos@cos.+1sinasin.)+cos仇cos02=

cos

sin0]sin02cos(^一叁)+4cos02

1.11一球面s的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：B(e,.3sin。)dS的值。

解j(e,.3sine)-^J(e,3sin9)e,dS=jd03sin9x5?sin6(16=75/

S

S00

1.12在由「=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量A=e,/+生2z驗(yàn)證散

度定理。

解在圓柱坐標(biāo)系中VA=--(rr2)+—(2z)=3r+2

rdrdz

42n5

所以|vAdr=Jdzjd°J(3r+2)rdr=1200乃

T000

又,4?^!(e,/2+j2z)(e,dS,+e°dS0+e=(1邑)=

42/r5In

JJ52x5d^dz+JJ2x4rdrd0=12()(hr

0000

故有jvAdr=1200^=JAdS

1.13求(1)矢量4=e/2+e、x2y2+e"4x2y2z3的散度；(2)求▽人對(duì)中心在原

點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；(3)求A對(duì)此金方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。

解⑴“二誓+等+幽產(chǎn)1。+2…72"2

(2)▽A對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為

1/21/21/2

VAdr=JJJ(2x+2x2y+72x2y2z2)ddydz=—

T-1/2-1/2-1/2

(3)A對(duì)此立方體表面的積分

1/21/2]1/21/2]

dS=jJ(-)2dydz-JJ(-3dydz+

-1/2-1/22-1/2-1/2乙

P1/21/2]1/21/2

Jj2x2(—)2dxdz-jJ2X2(——)2dxdz+

-1/2-1/22-1/2-1/22

1/21/21/21/2,]

2

24x/(^-)-dA-dy-JJ24d>2().&也，=五

-1/2-1/2-1/2-1/2乙5

故有J\7Adr=(=[AdS

1.14計(jì)算矢量r對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為〃的球表面的積分，并求對(duì)球體積

的積分。

24n

23

解ijrdS=jrerdS=jd^jaasin0d3=47ra

S00

又在球坐標(biāo)系中，(//)=3,所以

rdr

2兀na

jVrdr=jJJ^r2sin0drd0d^=47ra3

T000

1.15求矢量A=e/+e/2+ej2z沿盯平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形回路的線

積分，此正方形的兩邊6別與;軸和y軸相重合。再求▽><A對(duì)此回路所包圍的曲面積分,

驗(yàn)證斯托克斯定理。

2222

解tAdZ=Jxdx-jxdx+j22dy-Jody=8

:00oo

dddc

又4=———一=e,,2yz+e.2x

dxdydz

xx2y?z

22

所以[▽x+e二2x)生dxdy=8

S00

AdZ=8=JVxAdS

故有

1.16求矢量A=%x+e、,孫2沿圓周/+y2=/的線積分，再計(jì)算VxA對(duì)此圓面積

的積分。

2274/

解dx+xydy=[2cos0sin°+a4cos?.sin?°)d0=---

Jo4

JVxApS=e:dS=Jy2dS=jjr2sin2(j>r4帆「=理~

ss/soo4

1.17證明：(0▽/?=3；(2)Vx/?=0；(3)V(AR)=A。其中R二與工+外丁+生2,

A為一常矢量。

解⑴￥火啜+/導(dǎo)3

Vx/f=

dxdydz

xyy

(3)設(shè)4=6人.+6必,+6八，則AK=A.x+A),y+&z,故

ag

V(AR)=e—(Ax+Ay+Az)+e—(Ax+Ay+A.z)+

xxdxdyx

°

e.二(A.x+Avy+Az)=exAx+evAv+e:A:=A

dz

1.18一徑向矢量場(chǎng)表示，如果▽尸=0，那么函數(shù)/(r)會(huì)有什么特點(diǎn)

呢？

解在圓柱坐標(biāo)系中，由VF=--[r/(r)]=0

rdr

可得到

/(r)=-C為任意常數(shù)。

r

在球坐標(biāo)系中，由VF=±」1卜2/(「)]=0

r-dr

r

可得到f(r)——

r-

1.19給定矢量函數(shù)E=ej+evx,試求從點(diǎn)[(2,1,-1)到點(diǎn)巴(8,2,—1)的線積分

jEd/：(1)沿拋物線工=/；(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)片是保守場(chǎng)嗎？

解(DJEd/=JXdx+紇.dy=J.ydx+xdy=

ccc

22

Jyd(2)7)+2y2dy=J6y2dy=14

ii

(2)連接點(diǎn)^(2,1,-1)到點(diǎn)巴(8,2,-1)直線方程為

x_2x_8

-----=-----即x-6^+4=0

y-1y-2

22

故JEd/=|Evdx+Evd^=jyd(6y-4)4-(6y-4)dy=J(12y-4)dy=14

cc11

由此可見積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。

1.20求標(biāo)量函數(shù)/=的梯度及/在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位

矢量外-j—+cxI——+e_j—定出；求(2,3,1)點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。

v50V50A/50

aaa

解V^=eA-(xM+e-UM+e-(Oz)=

ex2xyz+e^z+e^y

-345

故沿方向e,=ci—+ei—+e.y—的方I可導(dǎo)數(shù)為

V50yy/50V50

~dT

點(diǎn)(2,3,1)處沿e,的方向?qū)?shù)值為

_361660_112

dl~450V50屈一而

1.21試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中

VA型隼駕相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的題1.21圖

dxdy(

公式

dA

V741d/4、叫-

VA-----(M,.)d-----H-----

rdrrd(/)dz

解在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場(chǎng)A沿％方向穿出該六面體的

表面的通量為

。+A。z+Az。+A。z+Az

匕=JJA,J，+6(r+Ar)drd。-JJAr|,.rdrd^?

<f>Z02

[(r+Ar)4(r+Ar,z)-M,.(r,0,z)]A』Az?ArA^Az=--4)Ar

drrdr

同理

r+Arz+Azr+Arz+Az

—=JJ4Mrdz-JJA^drdz?

//,、/,、■,見SA.

[rz)-(r,(/),z)]ArAz工―-ArA^Az=--Ar

3°rd(/)

r+Ar0+A。r+Ar肢+A。

rdrd

±=JJ4|z+Az0-JJA|zrdrd^?

r@r0

[A.(r,z+Az)-A.(r,z)]rz\r△必z?

dA.dA.

—必必必z=--AT

dzdz

因此，矢量場(chǎng)A穿出該六面體的表面的通量為

,.l3(M,)g溫1

p=匕+巴+匕T?[r--一^+―幺+--]AAr

r°2rdrrd(/>dz

W1d(rA)dAdA

故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式V.A=lim——=一3^2+」+一

△r->()rQr丫為dz

222

1.22方程〃=2+2_+二給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。

a2b2c2

故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為

〃倘=（己+，竟+4）/懵+$+（/

1.23現(xiàn)有三個(gè)矢量A、BC為

A=ersinecos^+e。cos6cos°-qsin。

2

B=erzsin°+e產(chǎn)？cos（/）+ez2rzsin（/）

22

C=ex（3y-2x）+evx+ez2z

（1）哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度

表示？

（2）求出這些矢量的源分布。

解（1）在球坐標(biāo)系中

▽41a/24、1s1

VA=——(rA)+--------(sin^A>)+---------=

r2drrsinOd0rsin^d(/>

(r2sin^cos。)+----—(sin0cos0cos。)+—----(-sin=

rdrrsin^d0rsinOd(/>

2.八,cos。2sincoscos。八

-sinBcos。+----------------------=0

rrsin^rrsin^

erre0rsinOe^

1aad

r2sin6drd0d(f)

ArrA0rsinBA?

reersin叱

1d_dd

=0

r2sin0dr而d(/)

sinOcos。rcos。cos°-rsin9sin。

故矢量A既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示;

在圓柱坐標(biāo)系中

▽5="(俎"當(dāng)+四=

rdrrd(/)dz

15.15d.

----(/z-sin0)+-----(z2cos(p)+—(2rzsm(p)=

rdrrd(/)dz

2c：「人-2c：r人

VxB=

故矢量B可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；

宜角在坐標(biāo)系中

??dCxdcvac,

dxdydz

~~0y2~2-^）+^-（x2）+-^-（2z）=0

oxdydz

J4，生

ddd

VxCe.（2x-6y）

dxdydz

3y2-2xx22z

故矢量C可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。

(2)這些矢量的源分布為

VA=()'VxA=O；

▽5=2rsin。，Vx5=0；

▽C=0，VxC=e;(2x-6y)

1.24利用直角坐標(biāo)，證明

A+AVf

解在直角坐標(biāo)中

./v「a+AW=/T+才+寸）+（A,受+A長(zhǎng)+"）=

dxdydzdxdydz

“SA,.歹、“SA.歹、“SA4

（/#+4，W）+（/崇+A長(zhǎng)）+（//A

oxdxdydydz

g（題）+二CMV）+?（熱）=v8）

oxdydz

1.25證明

\1(4x77)=77VxA-AVxH

解根據(jù)▽算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有

V.x/DW(4x")+V〃(Ax")

式中匕,表示只對(duì)矢量A作微分運(yùn)算，V”表示只對(duì)矢量H作微分運(yùn)算。

由4sxe)=c(ax〃)，可得

%H(QXA)="(VXA)

同理V〃?xH)=-4(V〃xH)=-A(VxH)

故有VxA-AVxH

1.26利用直角坐標(biāo)，證明

Vx(_/G)=/VxG+V/'xG

解在直角坐標(biāo)中

m〃,dG.dGdGxdGz.dGvdGxxl

/VxG=f[e(------)+?,.(—;-----+^，(---------T7-)]

xcyozdzoxoxdy

▽/xG/(G條G.+%(G.》G冬+gg-G；

ydzox'ox

所以

”「，口，寸—dfrSG..df?oGr

/▽xG+V/xG=ev[(G.—+/—^)-(Gv—+/—^)]+

oydy'ozdz

KG、?+/?)-(G：3+/學(xué))1+

dzdzdxox

4(噂+嚕)TG噌+點(diǎn))]=

dxdxdydy

a/Gja(/Gv)a(/Gv)a(a)11

dx

e_[d，-‘(5]=▽x(比)

'dxdy

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明Vx(g,)=O及

V(VxA)=O.試證明之。

解(1)對(duì)于任意閉合曲線C為邊界的任意曲面S，

由斯托克斯定理有

J(VXVM)d5=1VwdZ=j^-d/=[dM

由于曲面S是任意的，故有

Vx(Vw)=0

(2)對(duì)于任意閉合曲面s為邊界的體積r,由散

度定理有

Jv^<4)dr=[f(VxA)dS=J(VxA)d5+j(VxA)dS

TS]S2

其中S1和邑如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有

J(VxA)mS=tfAd/,J(VxA)dS=|Ad/

由題1.27圖可知G和C,是方向相反的同一回路，則有f/ld/=-JAdZ

c2

所以得到必),/AdZ寸AdZ=-^Ad/AdI

c2c2

由于體積了是任意的，故有V(VxA)=O

第二章習(xí)題解答

2.1一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為Q=—d/UodYKx-M，式中陰極板位

于％=0,陽(yáng)極板位于x=4,極間電壓為4。如果q)=40V、J=lcm'橫截面

S=lOcm2-求：C)x=0和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q；(2)x=d/2和x=d區(qū)域內(nèi)

的總電荷量a。

(1AA

-11

解⑴2=fz?dr=J(-^dx=-—￡0U0S=-4.72x10C

匯o93d

(2)

0Tpdr=j(-3°U°dT/3x-2/3)sdx=—春(1—2)￡°u°s=-O.97xl(T"C

2.2一個(gè)體密度為p=2.32x1(『c/n?的質(zhì)子束，通過1000V的電壓加速后形成等

速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密

度和電流。

解質(zhì)子的質(zhì)量機(jī)=1.7x10-27kg、電量4=1.6xlOT9c。由

12,

~mv~=qrU

得y==1.37x106m/s

故J=/?v=0.318A/m2

I==10"A

2.3一個(gè)半徑為。的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度0繞一個(gè)

直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。

解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為z軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn)的位置矢量為r，且

r與z軸的夾角為夕，則p點(diǎn)的線速度為

v=。xr=e^69rsin0

球內(nèi)的電荷體密度為

P-4兀日3

故J=pv=e力——4,69rsin0=e.3。，-rsin0

41年/34/ra'

2.4一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q,同樣以勻角速度。繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求

球表面的面電流密度。

解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為z軸。設(shè)球面上任一點(diǎn)尸的位置矢量為r，

且r與z軸的夾角為8,則p點(diǎn)的線速度為

v=oxr=e押asin0

球面的上電荷面密度為

4萬(wàn)a2

故J.=av=e.GXZsin=e,-^^-sin0

s"44/04萬(wàn)a

2.5兩點(diǎn)電荷i=8C位于z軸上z=4處，％=—4C位于y軸上y=4處，求

(4,0,0)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解電荷a在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為

%r-勺，_2e、,4—e?4

g=4%|r-H密)(4揚(yáng)3

電荷生在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為

一%―年1ex4-ev4

4*r-小萬(wàn)％(4揚(yáng)3

故(4,0,0)處的電場(chǎng)為

門口燈6,+%一22

E=E.+E-,=----j=----

-32缶4

2.6一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷O,，求垂直于圓平面的軸線上z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度

E(0,0,a),設(shè)半圓環(huán)的半徑也為“，如題2.6圖所示。

解半圓環(huán)上的電荷元gd/'=qad”在軸線上z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

dE=且匕工萩=

47r%(42。)

Q—(e、.cos"+e、.sin“)

A---------------------d(p

8近兀7

在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E(0,0,a)=JdE=

Pip,(en—e2)

“e「(e,cos"+esin")]d仁蓬將

8&萬(wàn)％。v

2.7三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，均勻帶電荷密度分別為外、P/2和Pu

地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)0=2Pm=2P73,計(jì)算三角形中心

處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解建立題2.7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為

d=-tan30=――L

26

則

E.=ev-^-(cos30-cosl50)=e“為一

-4昭/-2GL

/2Zl

E)=-(evcos30+evsin30)^=-(er\/3+er)^

x

*)2%Ly8肪0L

區(qū)=(evcos30-%,sin30)粵『=(ev石

題圖

2.7故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=+￡2+E3=

v3/?/l

e:PnI_eG+e、.)+(e.<G_eT)=evJ：

2?！阸L'87T￡QL87T￡OL47T￡OL

2.8一點(diǎn)電荷+q位于(-a,0,0)處，另一點(diǎn)電荷-2q位于(a,0,0)處，空間有沒有電

場(chǎng)強(qiáng)度E=0的點(diǎn)？

解電荷+4在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為

qe(x+a)+ey+ez

H-------x------------------y-----：--:----

1221

47rco[(x+a)+y+Z產(chǎn)

電荷-2q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為

2qer(x-a)+e，y+0z

4%[(x-a)2+y2+z2]3/2

(x,y,z)處的電場(chǎng)則為E=g+E2。令E=()，則有

eA.(x+a)+eyy+e:z2[er(x-a)+eyy+e,z]

[(x+fl)2+y2+z2]3/2[(x-?)2+y2+z2]3/2

由上式兩端對(duì)應(yīng)分量相等，可得到

(x+a)[(x-a)2+y2+z213/2=2(x-a)[(x+a)2+y2+z2]3/2①

+V+z2『2=2>'[(x+?)2++z2]3/2②

z[(x-a)2+y2+z2]3/2=2z[(x+a)?+V+z?嚴(yán)③

當(dāng)或ZHO時(shí)，將式②或式③代入式①，得a=0。所以，當(dāng)y/O或ZHO時(shí)

無(wú)解；

當(dāng)y=0且z=0時(shí)，由式①，有

(x+a)(x-a)?=2(x-a)(x+a)，

解得

x=(-3±2\/2)a

但X=—3a+2y/2a不合題意，故僅在(-3?-20,0,0)處電場(chǎng)強(qiáng)度E=0。

2.9一個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。。證明：垂直于平面的z軸上z=z°

處的電場(chǎng)強(qiáng)度E中，有一半是有平面上半徑為后z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。

解半徑為「、電荷線密度為P/=adr的帶電細(xì)圓環(huán)在z軸上z=z0處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

HJZ。dr

dE=e：

2痂(r+2：嚴(yán)

故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在z軸上z=z（）處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

一12￡。~（產(chǎn)9+々；產(chǎn)-=_02m。（八:_商_J-o2_。

而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在Z軸上Z=Z。處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E,=e1°—dr=._}￡」后

一Y2跖（八鏟2一2。（八針20一二4￡。一2

2.10一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q,當(dāng)球體以均勻角速

度（0繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度5。

解球面上的電荷面密度為

嚕4

4乃。

當(dāng)球體以均勻角速度/繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量,=?/點(diǎn)處的電流面密度為

Js=av=（jcoxr=aezcoxera=

e^cocfasin6=s*n@

將球面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為d/=ade的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為d/=ade細(xì)

圓環(huán)的電流為d/=J,.d/=—sin^d^

4萬(wàn)

細(xì)圓環(huán)的半徑為匕=asin6?，圓環(huán)平面到球心的距離〃=*0$6?，利用電流圓環(huán)的軸線上

的磁場(chǎng)公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

233

,_岫dI_^CDQCTsin0d6*_p()coQsin063

-2(Z?2+t/2)'2-8^(?2sin20+a2cos2^)32;8萬(wàn)。

故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B=e「維2?2d0=e.維2

咕8兀a:6兀a

2.11兩個(gè)半徑為力、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為4，如題2.11圖

所示。電流/以相同的方向流過這兩個(gè)線圈。

(1)求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=e.風(fēng)；

(2)證明：在中點(diǎn)處dBjdx等于零；

(3)求出/，與Q之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處cPBjd,也等于零。

解(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=e—〃。.2

Z2(a2+z2)3/2

B-c氏Nib?

得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

，(及+屋/4產(chǎn)

(2)兩線圈的電流在其軸線上x(0<x<d)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

4,

x[2(b2+x2產(chǎn)22[b2+(d-產(chǎn)

2

所以dBx_3juQNIbx3&NM(d-x)

~dx~~2(b2+x2)5/2+2[1+3-X)2]5/2

故在中點(diǎn)x=d/2處，有

dB、加d/23^NIb2d/2

77―一2萬(wàn)+儲(chǔ)/4產(chǎn)+2g2