重慶市開州區(qū)云楓中學(xué)教育集團2024-2025學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年重慶市開州區(qū)云楓中學(xué)教育集團七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷及解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的框涂黑．1．（4分）下列新能源汽車的車標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）一個三角形兩邊的長分別是3和5，則這個三角形第三邊的長可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．43．（4分）點P（a，﹣2）與P（3，2）關(guān)于x軸對稱，則a的值為（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣24．（4分）下列運算正確的是（）A．x?x2＝x2 B．（xy）2＝xy2 C．（x2）3＝x6 D．x2+x2＝x45．（4分）如圖，過△ABC的頂點B，作AC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，已知AC＝BD，添加下列條件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AE＝DE D．AB＝CD7．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，則點D到AB的距離為（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能確定8．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D為BC中點，則線段AD的取值范圍是（）A．7＜AD＜9 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜16 D．1＜AD＜89．（4分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊后恰好使得點A落到邊BC上的點G處，若∠GEF＝α，則∠FGC＝（）A．α B．2α C．90°﹣2α D．180°﹣2α10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①∠CDF＝∠BEF：②△DEF是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D，E的運動而變化；④△DEF面積的最小值為2；⑤△CDE面積的最大值為4，其中正確的結(jié)論是（）A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和等于540°，則這個多邊形的邊數(shù)是．12．（4分）y4?y3?y2?y＝，（﹣x2y）2＝．13．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交CB、AB于點D和E，∠B＝30°，CD＝3，則BD的長為．14．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．則∠ADC的度數(shù)為15．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于．16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延長AB至點E，連接CE，若△AEC的周長為25，則△BCE的周長為．17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B＝30°，CD=103，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD、AC上的動點，則EC+EF的最小值為18．（4分）若一個三位正整數(shù)m=abc（各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0）滿足a+b+c＝9，則稱這個三位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”．對于一個“吉祥數(shù)”m，將它的百位數(shù)字和個位數(shù)字交換以后得到新數(shù)n，記F（m）=m+n9．如：m＝216滿足2+1+6＝9，則216為“吉祥數(shù)”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．則最小的“吉祥數(shù)”是；對于任意一個“吉祥數(shù)”m，若F（m）能被7三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，20～26題每小題8分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）（1）（﹣2x3）3?（x2）2；（2）2（x3）2?x3﹣（3x3）3+（5x）2?x7．20．（10分）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠C，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作的圖中，連接CE，求證：AB∥CE．（請補全下面的證明過程）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB，（）在△ADC和△EDB中，∠ACD∴△ADC≌△EDB，（）∴AD＝，在△ADB和△EDC中，DB=∴△ADB≌△EDC，（）∴∠ABD＝∠ECD，∴AB∥CE（）．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上且BE＝BD，連接AE、DE、DC．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為（2，4）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）直接寫出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點A2，B2，C2的坐標(biāo)；（3）在x軸上找到一點P，使PB+PC的和最?。?biāo)出點P位置，直接寫出點P的坐標(biāo)）23．（10分）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求證：△CEF是等腰三角形；（2）若AC＝6，BD＝2，求DF的長．24．（10分）（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA，DB，DC之間的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，直線a∥AB，D為邊BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°，求證：CD+CE＝CA．25．（10分）如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，連接BD、CE，利用所學(xué)知識解決下列問題：（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求證：BD＝CE；（2）連接BE，當(dāng)點D在線段BE上時：①如圖2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，則∠BEC的度數(shù)為，線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM為△ADE中DE邊上的高，求出∠BEC的度數(shù)以及線段AM、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．26．（10分）已知：平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，點A（a，b），AB⊥x軸于點B，并且滿足a+4（1）試判斷△AOB的形狀，并說明理由．（2）如圖2，若點C為線段AB的中點，連OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，連AD交x軸于點E，求證：BC＝2BE．（3）如圖3，點M為點B的左邊x軸負(fù)半軸上一動點，以AM為一邊作∠MAN＝45°交y軸負(fù)半軸于點N，連MN，將△AMN沿直線AN翻折，點M的對應(yīng)點為M′，點P是x軸上的一動點，當(dāng)OM'=12AB

2024-2025學(xué)年重慶市開州區(qū)云楓中學(xué)教育集團七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的框涂黑．1．（4分）下列新能源汽車的車標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到多條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．2．（4分）一個三角形兩邊的長分別是3和5，則這個三角形第三邊的長可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．4【答案】D【解答】解：設(shè)三角形第三邊的長為x，則：5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，只有選項D符合題意．故選：D．3．（4分）點P（a，﹣2）與P（3，2）關(guān)于x軸對稱，則a的值為（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵點P（a，﹣2）與P（3，2）關(guān)于x軸對稱，∴a＝3．故選：A．4．（4分）下列運算正確的是（）A．x?x2＝x2 B．（xy）2＝xy2 C．（x2）3＝x6 D．x2+x2＝x4【答案】C【解答】解：A、x?x2＝x3同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加，故本選項錯誤；B、（xy）2＝x2y2，積的乘方，等于各因式乘方的積，故本選項錯誤；C、（x2）3＝x6，冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，故本選項正確；D、x2+x2＝2x2，故本選項錯誤．故選：C．5．（4分）如圖，過△ABC的頂點B，作AC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：AC邊上的高命中兩個條件：①經(jīng)過點B．②垂直AC；故選：D．6．（4分）如圖，已知AC＝BD，添加下列條件后仍不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AE＝DE D．AB＝CD【答案】A【解答】解：由題可知AC＝BD，BC＝CB，A．∠A＝∠D，屬于邊邊角，不能證明△ABC≌△DCB，故本選項符合題意；B．∠ACB＝∠DBC，利用SAS證明△ABC≌△DCB，故本選項不符合題意；C．∵AE＝DE，∴BE＝CE，又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE，∴AB＝DC，∴△ABC≌△DCB（SSS），故本選項不符合題意；D．AB＝CD，利用SSS證明△ABC≌△DCB，故本選項不符合題意；故選：A．7．（4分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，則點D到AB的距離為（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能確定【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距離即為CD長CD＝5﹣3＝2故選：C．8．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，D為BC中點，則線段AD的取值范圍是（）A．7＜AD＜9 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜16 D．1＜AD＜8【答案】D【解答】解：延長AD到點E，使ED＝AD，連接BE，則AE＝2AD，∵D為BC中點，∴BD＝CD，在△EDB和△ADC中，BD=∴△EDB≌△ADC（SAS），∵AB＝9，AC＝7，∴EB＝AC＝7，∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，∴9﹣7＜2AD＜9+7，∴1＜AD＜8，故選：D．9．（4分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊后恰好使得點A落到邊BC上的點G處，若∠GEF＝α，則∠FGC＝（）A．α B．2α C．90°﹣2α D．180°﹣2α【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°．∵△EGF是△EAF沿直線EF折疊得到的，∴∠AEF＝∠GEF＝α，∠A＝∠EGF＝90°．在Rt△EBG中，∵∠BEG+∠BGE＝90°，又∵∠BGE+∠FGC＝90°，∴∠BEG＝∠FGC．∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，即a+a+∠BEG＝180°，∴∠FGC＝∠BEG＝180°﹣2a．故選：D．10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①∠CDF＝∠BEF：②△DEF是等腰直角三角形；③四邊形CDFE的面積隨D，E的運動而變化；④△DEF面積的最小值為2；⑤△CDE面積的最大值為4，其中正確的結(jié)論是（）A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤【答案】B【解答】解：連接CF，作FH⊥AC于點H，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，∵F是AB邊的中點，∴CF＝BF＝AF=12AB，CF⊥AB，∠DCF＝∠BCF=12∠∴∠BFC＝∠AFC＝90°，∠DCF＝∠B，∵AD＝CE，∴CD＝AC﹣AD＝BC﹣CE＝BE，在△DCF和△EBF中，CD=∴△DCF≌△EBF（SAS），∴∠CDF＝∠BEF，∠CFD＝∠BFE，DF＝DE，S△DCF＝S△EBF，故①正確；∴∠DFE＝∠CFD+∠CFE＝∠BFE+∠CFE＝∠BFC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，故②正確；∵S△ABC=12AC?BC=12×4∴S△AFC＝S△BFC=12S△ABC＝∴S四邊形CDFE＝S△DCF+S△ECF＝S△EBF+S△ECF＝S△BFC＝4，∴四邊形CDFE的面積不隨D，E的運動而變化，故③錯誤；∵CF＝AF，∠AFC＝90°，F(xiàn)H⊥AC于點H，∴HF＝HC＝HA=12AC＝∴12HF2=12×2∵DF≥HF，S△DEF=12DF∴12DF2≥12∴S△DEF≥2，∴S△DEF的最小值是2，故④正確；∵S△CDE＝S四邊形CDFE﹣S△DEF＝4﹣S△DEF，∴當(dāng)S△DEF取得最小值2時，S△CDE取得最大值2，故⑤錯誤，故選：B．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和等于540°，則這個多邊形的邊數(shù)是5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝540°，解得n＝5，故答案為：5．12．（4分）y4?y3?y2?y＝y(tǒng)10，（﹣x2y）2＝x4y2．【答案】y10，x4y2．【解答】解：y4?y3?y2?y＝y(tǒng)4+3+2+1＝y(tǒng)10，（﹣x2y）2＝x4y2．故答案為：y10，x4y2．13．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交CB、AB于點D和E，∠B＝30°，CD＝3，則BD的長為6．【答案】6．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵DE是AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，在Rt△ACD中，∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，CD＝3，∴DA＝2CD＝6，∴BD＝AD＝6．故答案為：6．14．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．則∠ADC的度數(shù)為65°【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：解法一：連接EF．∵點E、F是以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別與AB、AC的交點，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分別以點E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G∴AG是線段EF的垂直平分線，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的兩個銳角互余）；解法二：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的兩個銳角互余）；故答案為：65°．15．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AB的中點．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于2．【答案】2．【解答】解：∵點D是邊BC的中點，△ABC的面積等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝∵E是AB的中點，∴S△BDE=12S△ABD=故答案為：2．16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，延長AB至點E，連接CE，若△AEC的周長為25，則△BCE的周長為19．【答案】19．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC＝6，∵△AEC的周長為25，∴AE+EC＝25﹣AC＝25﹣6＝19，∴△BCE的周長＝BE+BC+CE＝BE+AB+CE＝AE+EC＝19，故答案為：19．17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B＝30°，CD=103，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD、AC上的動點，則EC+EF的最小值為【答案】5．【解答】解：在AB上取一點F'，使AF'＝AF，連接EF'，CF'，過點C作CH⊥AB于點H，∵AD平分∠CAB，∴∠EAF＝∠EAF'，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEF'（SAS），∴EF＝EF'，∴EC+EF＝EC+EF'≥CF'≥CH，∴EC+EF的最小值為CH，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∵CD=10∴AD＝2CD=20在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=A在Rt△ABC中，AB＝2AC=20由勾股定理，得BC=AB在Rt△BCH中，CH=12BC＝故答案為：5．18．（4分）若一個三位正整數(shù)m=abc（各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0）滿足a+b+c＝9，則稱這個三位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”．對于一個“吉祥數(shù)”m，將它的百位數(shù)字和個位數(shù)字交換以后得到新數(shù)n，記F（m）=m+n9．如：m＝216滿足2+1+6＝9，則216為“吉祥數(shù)”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．則最小的“吉祥數(shù)”是117；對于任意一個“吉祥數(shù)”m，若F（m）能被7【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵a+b+c＝9，各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0，這個三位數(shù)要最小，∴百位上是1，十位上是1，∴個位是7，∴最小的“吉祥數(shù)”是117；（2）設(shè)m＝100a+10b+c，其中a+b+c＝9，則n＝100c+10b+a，∴F（m）=100a+10b+∵a+b+c＝9，且a，b，c均不為0，∴b＝1，2，3......7，當(dāng)b＝1時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×1＝92，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝2時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×2＝83，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝3時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×3＝74，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝4時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×4＝65，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝5時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×5＝56，能被7整除，符合題意，∴a+c＝4，∴a=1c=3，a∴m＝153或252或351，當(dāng)b＝6時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×6＝47，不能被7整除，不合題意，當(dāng)b＝7時，F(xiàn)（m）＝101﹣9×7＝38，不能被7整除，不合題意，∴滿足條件的“吉祥數(shù)”m的最大值是315．故答案為：117，351．三、解答題：（本大題8個小題，19題8分，20～26題每小題8分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。19．（8分）（1）（﹣2x3）3?（x2）2；（2）2（x3）2?x3﹣（3x3）3+（5x）2?x7．【答案】（1）﹣8x13；（2）0．【解答】解：（1）（﹣2x3）3?（x2）2＝﹣8x9?x4＝﹣8x13；（2）2（x3）2?x3﹣（3x3）3+（5x）2?x7＝2x6?x3﹣27x9+25x2?x7＝2x9﹣27x9+25x9＝0．20．（10分）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠C，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作的圖中，連接CE，求證：AB∥CE．（請補全下面的證明過程）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB，（線段中點的定義）在△ADC和△EDB中，∠ACD∴△ADC≌△EDB，（ASA）∴AD＝ED，在△ADB和△EDC中，DB=∴△ADB≌△EDC，（SAS）∴∠ABD＝∠ECD，∴AB∥CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【答案】（1）作圖見解析過程；（2）線段中點的定義；ASA；ED；SAS；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【解答】解：（1）如圖所示，即為所求；（2）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB，（線段中點的定義）在△ADC和△EDB中，∠ACD∴△ADC≌△EDB（ASA）∴AD＝ED，在△ADB和△EDC中DB=∴△ADB≌△EDC（SAS）∴∠ABD＝∠ECD，∴AB∥CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為線段中點的定義；ASA；ED；SAS；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上且BE＝BD，連接AE、DE、DC．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】7已修改，（1）證明：在△ABE和△CBD中，AB=∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝15°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD＝∠BAE＝15°，∴∠BDC＝90°﹣15°＝75°．22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點都在格點上，點A的坐標(biāo)為（2，4）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）直接寫出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點A2，B2，C2的坐標(biāo)；（3）在x軸上找到一點P，使PB+PC的和最小．（標(biāo)出點P位置，直接寫出點P的坐標(biāo)）【答案】（1）見解答．（2）點A2的坐標(biāo)為（2，﹣4），點B2的坐標(biāo)為（1，﹣2），點C2的坐標(biāo)為（5，﹣3）．（3）畫圖見解答；點P的坐標(biāo)為（135【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由題意得，點A2的坐標(biāo)為（2，﹣4），點B2的坐標(biāo)為（1，﹣2），點C2的坐標(biāo)為（5，﹣3）．（3）如圖，連接B2C交x軸于點P，連接BP，此時PB+PC＝PB2+PC＝B2C，為最小值，則點P即為所求．設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），∵S△∴12解得m=13∴點P的坐標(biāo)為（13523．（10分）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求證：△CEF是等腰三角形；（2）若AC＝6，BD＝2，求DF的長．【答案】（1）見詳解；（2）8．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF；∴△CEF為等腰三角形．（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝4．又∵CE＝CF＝4，∴DF＝4+4＝8．24．（10分）（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA，DB，DC之間的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，△ABC是等邊三角形，直線a∥AB，D為邊BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°，求證：CD+CE＝CA．【答案】（1）DA＝DC+DB，理由見解答過程；（2）證明見解答過程．【解答】（1）解：DA＝DC+DB，理由如下：如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB；（2）證明：在AC上截取CM＝CD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴△CDM是等邊三角形，∴MD＝CD＝CM，∠CMD＝∠CDM＝60°，∴∠AMD＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠MDC，∴∠ADM＝∠EDC，∵直線a∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴∠DCE＝120°＝∠AMD，在△ADM和△EDC中，∠ADM∴△ADM≌△EDC（ASA），∴AM＝EC，∴CA＝CM+AM＝CD+CE；即CD+CE＝CA．25．（10分）如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，連接BD、CE，利用所學(xué)知識解決下列問題：（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求證：BD＝CE；（2）連接BE，當(dāng)點D在線段BE上時：①如圖2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，則∠BEC的度數(shù)為60°，線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是BD＝CE；②如圖3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM為△ADE中DE邊上的高，求出∠BEC的度數(shù)以及線段AM、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①60°，BD＝CE；②∠BEC＝90°，BE＝CE+2AM，理由見解析．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝35°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∴△ABC和△ADE均是等邊三角形，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，同（1）可證明△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝120°，∵∠AED＝60°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣