不相交的輪換-

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返前頁回§1.6置換群與對(duì)稱群一、置換群的定義定理1.6.1定理1.6.2

例1---對(duì)稱群的階 例2例3例4例5例6定理1.6.5---置換~對(duì)換定理1.6.3---輪換的性質(zhì)定理1.6.4--置換~不相交的輪換二、置換群的構(gòu)成定義1.6.1---輪換定義1.6.2---不相交的輪換前后頁

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返前頁回定義1.6.4-1--交換群三、置換群的分類定理1.6.6---唯一性定義1.6.3---偶、奇置換定理1.6.7---奇、偶置換個(gè)數(shù)定理1.6.8---構(gòu)成子群§1.6置換群與對(duì)稱群例前8頁例7前頁

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前返頁回一、置換群的定義在§1.4中,我們證明了非空集合的全體可逆變換關(guān)于映射的合成構(gòu)成集合 的對(duì)稱群 ,并且把 的任一子群叫做 的一個(gè)變換群.如果 是由個(gè)元素組成的有限集合,則通常把 的一個(gè)可逆變換叫做一個(gè)階置換(permutation),把 叫做次對(duì)稱群,的子群為置換群(permutation并把 記作 ,

同時(shí)稱group).11前頁

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返前回頁定理1.6.1

每一個(gè)有限群都同構(gòu)于一個(gè)置換群.定理1.6.2

次對(duì)稱群 的階是由于集合 的元素本身與我們所討論的問題無關(guān),

所以可不妨記以下,我們總假定 就代表這個(gè)集合.設(shè) 為 的任映成 ,

則一置換,

如果 把1映成 ,2映成

,

,可以把這個(gè)置換記作1前頁

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返前回頁其中第一行表示集合的個(gè)元素,第二行的元索表示第一行的元素 在映射 的作用下所對(duì)應(yīng)的象.由于集合以我們也可把的元素的次序與映射是無關(guān)的,所表示成1前頁

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前返回頁等等,只要在下兩行的元素上下對(duì)應(yīng)就可以了.觀察(1.6.1)式我們發(fā)現(xiàn),如果固定第一行元素的次序,則第二行 就是的一個(gè)排列,且每一個(gè)置換都惟一對(duì)應(yīng)了一個(gè)這樣的排列.反之,每一個(gè)級(jí)排列也可按(1.6.1)式得到惟一的一個(gè) 階置換.由于個(gè)數(shù)共有 個(gè)級(jí)排列,所以個(gè)元素的集合共有 個(gè) 階置換.1前頁

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返前頁回例1

寫出 的全部元素.解按（1.6.1）式,我們只要在每個(gè)置換的第一行按順序?qū)懮?,2,3,再在第二行分別寫上,1,2,3的全部6個(gè)排列即可.據(jù)此,我們得到 的六個(gè)元素為1前頁

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前返頁回例2

設(shè)置換將1變?yōu)?,2變?yōu)?,3變?yōu)?,4變?yōu)?,5變?yōu)?,則按(1.6.2)式,我們還可以把這個(gè)置換寫成1前頁

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返前回頁由置換的定義容易知道,在階置換中,恒等置換是群 的單位元,

置換的逆元為其逆置換1前頁

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前返頁回(F1)設(shè)置換,則對(duì)任一階置換,證首先,由于置換是一一對(duì)應(yīng),所以恰好包含了集合中的個(gè)數(shù).又對(duì)任意的1前頁

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前返頁回所以將 映到,即1前頁

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前返頁回二、置換群的結(jié)構(gòu).如果存在1到定義1.6.1

設(shè)是一個(gè)

階置換中 的個(gè)不同的數(shù)

使.并且 保持其余的元素不變,則稱

是一個(gè)長(zhǎng)度為的輪換(cycle),

簡(jiǎn)稱 輪換,

記作2-輪換稱為對(duì)換(transposition).1前頁

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返前回頁定義1.6.2

設(shè)與是兩個(gè)輪換,如果則稱與為兩個(gè)不相交的輪換.1前頁

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返前回頁定理1.6.3

任何兩個(gè)不相交輪換的乘積是可以交換的.證

設(shè)與是兩則個(gè)不相交的輪換,是(1)如果中的任意一個(gè)數(shù).所以1前頁

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返前回頁(2)如果.從而,所以(3)同理可證,如果,也有這就證明了結(jié)論.則1前頁

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返前頁回定理1.6.4

每一個(gè)置換可表為一些不相交輪換的因此結(jié)論對(duì)的乘積.證

對(duì)

的元素個(gè)數(shù)

用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) 時(shí),1階置換只有 ,

已經(jīng)是輪換,成立.假定結(jié)論對(duì) 成立,

考察 階置換1前頁

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返前頁回(1)如果,即令則是一個(gè)階置換.由歸納假設(shè),可表為一些不相交輪換的乘積 將看作階置換,即得1前頁

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前返頁回(2)如果,則有某個(gè),使得令由(1)所證,可表為不相交輪換的乘積.設(shè)這里,為互不相交的輪換.則1前頁

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返前回頁考察其中包含

和 的輪換,

則僅有兩種可能:(1)

;(2)

.在第一種情況下,我們有在第二種情況下,我們有因此可表為不相交輪換的乘積.從而由歸納法知結(jié)論1前頁

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返前回頁(F3)成立.此外,在上面的證明過程中,我們還得到等式.(F2)1前頁

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返前回頁例4

三次對(duì)稱群的六個(gè)元素的輪換表示為:1前頁

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返前回頁例5

將下列輪換的乘積表示為不相交輪換的乘積:解設(shè)則有由此得證.1前頁

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返前頁回(F4)

如果 是一個(gè) 輪換,

則(F5)

如果

是一些不相交輪換的乘積其中,

是 輪換,

則

.例6

設(shè) 是一個(gè)7階置換,

已知試求解

由已知,

是輪換,所以這樣也是一個(gè) 輪換,從而的一個(gè)置換.因?yàn)?是一個(gè).1前頁

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前返頁回定理1.6.5

每個(gè)置換都可表為對(duì)換的乘積.證

首先,

設(shè) 是一個(gè) 輪換,

則所以每個(gè)輪換可以表示為對(duì)換的乘積.由于每個(gè)置換可以表示為不相交輪換的乘積,所以每個(gè)置換也可以表示為對(duì)換的乘積.1前頁

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返前回頁三、置換群的分類定理1.6.6

將一個(gè)置換表為對(duì)換的乘積,

所用對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性是惟一的.證

設(shè) 為任一

階置換,

并設(shè) 已表為 個(gè)不相交輪換(包括輪換)之積.令顯然,

由 惟一確定.設(shè)為任一對(duì)換,考察乘積如果 處于的同一個(gè)輪換1前頁

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返前回頁中,則由(F3)知從而如 分別處于的兩個(gè)不同輪換中,則由(F2)知從而1設(shè)可分別表示為個(gè)對(duì)換和個(gè)對(duì)換的乘積:則同理因此所以,

與 有相同的奇偶性.前頁

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返前回頁1前頁

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返前回頁定義1.6.3

可表成偶數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積的置換叫偶置換(even

permutation),可表成奇數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積的置換叫奇置換(odd

permutation).定理1.6.7

當(dāng) 時(shí),

在全體 階置換中,

奇置換與偶置換各有定理1.6.8

在個(gè).中,

全體偶置換構(gòu)成 的子群.定義1.6.4

由 的全體偶置換所構(gòu)成的子群稱為

次交錯(cuò)群(alternating

group),

記作

.1前頁

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返前頁回例7的交錯(cuò)群例8

設(shè)按順序排列的13張紅心紙牌A

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J

Q

K經(jīng)1次洗牌后牌的順序變?yōu)?

8

K

A

4

10

Q

J

5

7

6

2

9問:再經(jīng)兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是怎樣的?1前頁

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前返頁回解 每洗一次牌,就相當(dāng)于對(duì)牌的順序進(jìn)行一次新的置換.由題意知,第一次洗牌所對(duì)應(yīng)的置換為則3次同樣方式的洗牌所對(duì)應(yīng)的置換為因此,再經(jīng)兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是:9

6

5

K

3

8

10

1

2

7

J

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返前回頁參考文獻(xiàn)及閱讀材料Boyer,C.~A.,AHistoryofMathematics,NewYorWiley,1968有關(guān)代數(shù)方程理論歷史的更詳盡的