7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義2.線性常系數(shù)差分方程及其解法3.脈沖傳遞函數(shù)4.組合環(huán)節(jié)的等效脈沖傳遞函數(shù)5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算6.Z變換的局限性及修正Z變換1.離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義與連續(xù)系統(tǒng)類似,單輸入單輸出線性時(shí)不變式中

k、i是整數(shù)；對(duì)于自變量為時(shí)間t的采樣系點(diǎn)討論差分方程及其解法、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念、開環(huán)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的建立方法。離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有三大類:差分方程(時(shí)域)、脈沖傳遞函數(shù)

(

復(fù)數(shù)域

)

和狀態(tài)空間模型。本節(jié)重間變量的單位；統(tǒng),k、i分別表示kT、iT,即采用周期T作為時(shí)(1)

線性離散系統(tǒng)r(k)是系統(tǒng)輸入；c(k)是系統(tǒng)輸出。表明:討論離散系統(tǒng)時(shí)，僅關(guān)注采樣時(shí)刻上的各信號(hào)間的關(guān)系。(2)

線性時(shí)不變離散系統(tǒng)

系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系不隨時(shí)間改變的線性離散系統(tǒng),稱為線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。

(3)離散系統(tǒng)差分方程的建立例T形電阻網(wǎng)絡(luò)如下,建立節(jié)點(diǎn)電壓差分方程。根據(jù)有無對(duì)應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng)可分為這里,通過3個(gè)簡單示例,介紹本質(zhì)離散系采樣系統(tǒng)通過對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行采樣而獲本質(zhì)離散系統(tǒng)客觀存在的無對(duì)應(yīng)連續(xù)系RRR2R2R2R2R2R2REV0V1Vk-1VkVk

+1Vn統(tǒng)差分方程的建立方法。統(tǒng)的離散系統(tǒng),可稱為本質(zhì)離散系統(tǒng)。得的系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)模型,簡稱為采樣系統(tǒng)；兩類:設(shè)c(k)為第k個(gè)月存款前的存款余額,r(k)為例建立教育儲(chǔ)蓄余額(每月存款一次)差分方程。解:根據(jù)T形電阻網(wǎng)絡(luò)，得到簡化的局部電路圖解差分方程為c(k+1)=(1+b)[c(k)+r(k)],c(0)=0；得到Vk=0.5Vk-1,V0=E；(k為節(jié)點(diǎn)的序號(hào)。)RR2R2R2RVk-1VkVk

+1I2III/2I/2易知該差分方程解為Vk

=

0.5

kE。差分方程解為新加入的存款額,0<b<1%是存款月利率。采樣系統(tǒng)差分方程的系數(shù)例建立產(chǎn)量與庫存量(每月統(tǒng)計(jì)一次)差分方程。設(shè)c(k)為第k個(gè)月統(tǒng)計(jì)前的產(chǎn)品庫存量,r(k)解差分方程為c(k+1)=c(k)+r(k)-b(k),c(0)=c0；差分方程解為參數(shù)有關(guān),而且與采樣周期T的大小及采樣開關(guān)后是否有零階保持器有關(guān)。如何建立采樣系統(tǒng)的差分方程,將在“脈沖傳遞函數(shù)”小節(jié)中討論。不僅與原連續(xù)系統(tǒng)為當(dāng)月生產(chǎn)量,b(k)為當(dāng)月銷售量。2.線性常系數(shù)差分方程及其解法后向差分方程:時(shí)間概念清楚，便于編制程序。前向差分方程:便于討論系統(tǒng)階次、使用Z變換法計(jì)算初始條件不為零的解。時(shí)間移動(dòng)算子q:上述幾個(gè)差分方程在書寫上都很煩瑣,為書前向差分:后向差分:下面討論求解差分方程兩種方法:遞推法和寫簡便可采用時(shí)間移動(dòng)算子。Z變換法。(1)

遞推法recursivemethod前向差分方程或后向差分方程都可以使用遞例7-16已知系統(tǒng)差分方程、初始狀態(tài)和r(k)如下推法求解。在已知輸出

c(k)

的初始值和輸入序列r(k)時(shí),利用遞推關(guān)系(差分方程),逐步計(jì)算出輸出序列

c(k)

。試用遞推法計(jì)算輸出序列c(k),k=0,1,2,…,10。已知系統(tǒng)差分方程、初始狀態(tài)和r(k)如下例7-16-1解采用遞推關(guān)系c(k+2)

=

1+5c(k+1)

-

6c(k)；得┇試用遞推法計(jì)算輸出序列c(k),k=0,1,2,…。例7-16-1續(xù)這兩個(gè)示例表明,用遞推法求解差分方程,┇解采用遞推關(guān)系c(k)

=

1+0.5c(k-1)

–

0.5c(k-2)；計(jì)算過于煩瑣,不易得到c(k)的通項(xiàng)表達(dá)式。(2)Z變換法(例7-17)使用Z變換法時(shí),應(yīng)采用前向差分方程。在例7-17用

Z

變換法解下列(齊次)差分方程解：已知輸出c(k)的初始值和輸入序列r(k),應(yīng)用Z變變換計(jì)算出C(z),再經(jīng)Z反變換,求出序列c(k)。已知系統(tǒng)差分方程、初始狀態(tài)和r(k)如下例7-16-2試用Z變換法計(jì)算輸出序列c(k),k≥0。得到解超前差分方程c(k+2)

-5c(k+1)

+

6c(k)=

r(k)；例7-16-2續(xù)與例7-16的計(jì)算方法比較,Z變換法得到通項(xiàng)式。已知系統(tǒng)差分方程、初始狀態(tài)如下習(xí)題7-7計(jì)算輸出序列c(k),k=0,1,2,3,4。解一:遞推法計(jì)算c(k+2)=4c(k+1)-c(k)；習(xí)題7-7續(xù)解二:Z變換法計(jì)算c(k+2)-4c(k+1)+c(k)=0；試用Z變換法解下列差分方程:習(xí)題7-8(1)

c*(t+2T

)-6

c*(t+T

)+8

c*(t)

=

r*(t),r*(t)

=1(t),c*(t)

=

0(t≤0)；解:c*(t+2T

)+2

c*(t+T

)+

c*(t)

=

r*(t),習(xí)題7-8(2)c(0)=c(T)=0,r(nT)=nT；解:習(xí)題7-8(3)解:c(k+3)+6c(k+2)+11c(k+1)+6c(k)=0,c(0)=c(1)=1,c(2)=0；習(xí)題7-8(4)解:c(k+2)+5c(k+1)+6c(k)=c(0)=c(1)=0；習(xí)題7-8(4)續(xù)3.脈沖傳遞函數(shù)(定義、意義)使用脈沖傳遞函數(shù),便于分析和校正線性離R(z)r*(t)c(t)r(t)c*(t)C(z)G(s)G(z)(1)

脈沖傳遞函數(shù)定義在零初始條件下,c(t)的Z變換C(z)與r(t)的Z變換R(z)之比。(在輸入端必須有采樣開關(guān))。散系統(tǒng)。圖7-23開環(huán)采樣系統(tǒng)(2)

脈沖傳遞函數(shù)的物理意義采樣系統(tǒng)的實(shí)際輸出是連續(xù)的,為便于分析脈沖傳遞函數(shù)G(z)是脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)的Z變換。在時(shí)域分析時(shí),常采用r(t)R(z)c*(t)

；Z

–1[C(z)]Z[r(t)]G(z)R(z)C(z)系統(tǒng),在輸出端虛設(shè)采樣開關(guān),如圖7-23所示。因c(t)和c*(t)的Z變換是相同的,分析結(jié)果正確。(3)脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算方法輸入端有采樣開關(guān)的連續(xù)系統(tǒng)或元件的脈沖傳遞函數(shù)G(z)是其傳遞函數(shù)G(s)的Z變換,或脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)的Z變換。對(duì)于一般的輸入信號(hào)可以看作是一串順序出現(xiàn)的脈沖信號(hào)。沖輸入信號(hào)r(nT)對(duì)k時(shí)刻輸出c(kT)的作用為:……每一個(gè)脈例7-19已知函數(shù)g(kT)的卷積函數(shù),應(yīng)用Z變換卷積定理得到顯然,輸出c(kT)是輸入r(kT)和脈沖響應(yīng)函據(jù)線性離散系統(tǒng)的迭加性質(zhì)得到計(jì)算G(z)。(例7-19)采用留數(shù)計(jì)算法計(jì)算解:根據(jù)差分方程計(jì)算系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)例7-18-1已知系統(tǒng)差分方程如下,計(jì)算G(z)。解:原差分方程等價(jià)為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為特征多項(xiàng)式A(z),特征方程A(z)=0。4.組合環(huán)節(jié)的等效脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算組合環(huán)節(jié)等效脈沖傳遞函數(shù)時(shí),要特別(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效脈沖傳遞函數(shù)圖7-24(a)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)R(z)c(t)r(t)G1(s)C(z)G2(s)G(z)

=

G1(z)G2(z)G2(z)G1(z)注意:環(huán)節(jié)之間有無采樣開關(guān)及開關(guān)位置。圖7-24(b)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)G(z)

=

G1G2(z)G1(z)R(z)c(t)r(t)C(z)x(t)X(z)G1(s)G2(s)R(z)C(z)G1G2(z)X(z)G1(z)R(z)G1(z)C(z)G2(z)圖7-24(a)等效離散系統(tǒng)方框圖圖7-24(b)等效離散系統(tǒng)方框圖例7-20在圖7-24中，已知:解:(a)R(z)G1(z)C(z)G2(z)分別計(jì)算圖7-24中(a)和(b)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。例7-20續(xù)2解:(b)R(z)C(z)G1G2(z)(2)并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效脈沖傳遞函數(shù)設(shè)圖中G(z)

=

G1(z)

+

G2(z)R(z)c(t)r(t)C(z)G1(s)G2(s)++C(z)R(z)G1(z)G2(z)++計(jì)算等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。并聯(lián)環(huán)節(jié)例的解解:則有5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算注意采樣開關(guān)位置,列寫出方框圖中信號(hào)間Y(s)-R(s)C(s)E(s)E*(s)G(s)H(s)Y(z)=GH(z)E(z)；C(z)=G(z)E(z)；E(z)=R(z)-Y(z)；Y(z)-R(z)C(z)E(z)G(z)GH(z)圖7-26的關(guān)系式,繪制出離散系統(tǒng)方框圖或信號(hào)流圖。閉環(huán)脈沖傳遞1Y(z)=H(z)C(z)；C(z)=G(z)E(z)；E(z)=R(z)-Y(z)；Y(s)-R(s)C(s)E(s)E*(s)G(s)H(s)C*(s)表7-3(7)Y(z)-R(z)C(z)E(z)G(z)H(z)G3(z)閉環(huán)脈沖傳函2Y(s)-R(s)C(s)N*(s)X*(s)G1(s)G2(s)C*(s)-G3(s)N(z)=G1G2(z)X(z)；C(z)=G1(z)X(z)；X(z)=R(z)-Y(z)-N(z)；Y(z)=G3(z)C(z)

Y(z)-R(z)C(z)X(z)G1(z)G1G2(z)-題7-10(a)=G1(z)G3(z)X(z)；G1(z)G3(z)輸入端無采樣開關(guān)系統(tǒng)的C(z)計(jì)算(表7-3:2)表7-3中，第2.5和6項(xiàng)給出輸入端無采樣開Y(s)R(s)C(s)X*(s)-G1(s)G2(s)H(s)XR(z)=RG1(z)；C(z)=G2(z)X(z)；X(z)=XR(z)-XY(z)；XY(z)=G2

HG1(z)X(z)；關(guān)系統(tǒng)的方框圖。列寫出信號(hào)間的關(guān)系式,消去中間變量,計(jì)算出C(z)。表7-3中，第2項(xiàng):表7-3:第5項(xiàng)XR(z)=RG1(z)；C(z)=G3(z)X2(z)；X2(z)=G2(z)X1(z)；XY(z)=G3HG1(z)X2(z)；H(s)G1(s)G2(s)G3(s)Y(s)R(s)C(s)X1(s)-X2(s)X1(z)=XR(z)-XY(z)；表7-3:第6項(xiàng)CR(z)=RG(z)；C(z)=RG(z)-GH(z)C(z)；CY(z)=GH(z)C(z)；H(s)G(s)Y(s)R(s)C(s)-C(z)=CR(z)-CY(z)；例如:采樣(T=1s)慣性環(huán)節(jié)的輸入為r(t)=1(t)，6.Z變換的局限性及修正Z變換R(s)C(s)1/(s+1)(1)Z變換的局限性根據(jù)輸出Z變換C(z),只能確定c(t)在采樣時(shí)刻上的值,不能反映c(t)在采樣間隔上的信息。其輸出c(t)

是連續(xù)的。c(nT

)和c(t)依次計(jì)算如下1T2T3T4T5T6T7T0t1局限性例續(xù)1.5820.5820.368c(t)c(nT)為研究采樣間隔上的c(t),可以(2)修正Z變換可能存在突變。在系統(tǒng)輸出端增加采樣次數(shù),一個(gè)采樣周期T

劃分為

n個(gè)等份。采樣次數(shù),不會(huì)改變c(t)與r*(t)的關(guān)系,在采樣刻kT上,仍然有C(z)=G(z)R(z)。1T2T3T4T5T6T7T0t11.5820.5820.368c(t)c(nT)c(nT/3)通常系統(tǒng)輸出c(t)是連續(xù)信號(hào),在采樣時(shí)刻為討論方便,將增加輸出端的控制系統(tǒng)》,呂淑萍等,哈爾濱工程大學(xué)出版社,P96,2002.11.推導(dǎo)修正Z變換；；修正Z變換有多種處理方法,可參閱《數(shù)字；以下是修正Z變換推導(dǎo)過程:采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)為推導(dǎo)修正Z變換1；式中

c*(t)

n中的下標(biāo)

n

表示輸出端的采樣頻率是輸入端采樣頻率的n倍,即Tn=T/n。推導(dǎo)修正Z變換2；交換求和次序,得到記離散系統(tǒng)如下圖所示,計(jì)算c*(t)。例7-25R(s)C(s)1/(s+1)解:已知系統(tǒng)輸入端采樣周期為T

=1s,r(t)=1(t),

n

=3。例7-25續(xù)作Z反變換(長除法)得對(duì)于只有一個(gè)采樣開關(guān)的系統(tǒng),可以得到下式中[t/T

]是小于等于t/T

的最大整數(shù)。例7-25中,t=T/3,2T/3,4T/3,1.8T；述結(jié)論:1.theactorprocessofreturningorCOLLINS(DICTIONARY)遞推recursion(recursive)2.Maths.repetitionofamathematicaloperation,esp.inarepeatedformula1.return.mathematicalproceduretothepreviousLongman(DICTIONARY)runningback.(re