第09講 圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形與焦點(diǎn)弦三角形（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第09講圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形與焦點(diǎn)弦三角形（9類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第12題,5分雙曲線中集點(diǎn)三角形問(wèn)題求雙曲線的離心率2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問(wèn)題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2022年全國(guó)甲卷（理科），第12題,5分橢圓定義及辨析橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題無(wú)2022年全國(guó)甲卷（文科），第7題,5分橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問(wèn)題無(wú)2022年新I卷，第16題,5分橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦點(diǎn)三角形及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦點(diǎn)弦三角形及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論在ΔPF1F橢圓定義可知:

(1).PF1+PF2=2a,F1F2雙曲線焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論如圖,F1、F2記∠F1PF橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形離心率記∠P則橢圓的離心率為:

e=2c2a=F1F橢圓焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F雙曲線焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)如圖1，F(xiàn)1,F2為雙曲線C:x2a2?y橢圓焦點(diǎn)弦三角形面積公式F1、F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b（2）F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C交于A、B雙曲線焦點(diǎn)弦三角形面積公式（1）設(shè)直線l過(guò)焦點(diǎn)F2且交雙曲線x2a2?y2b2=1（2）F1、F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=（3）F1、F2為雙曲線C:x2a2?y2bS拋物線焦點(diǎn)弦三角形面積公式設(shè)直線l過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線y2=2pxp>0交于A、B兩點(diǎn)，直線考點(diǎn)一、橢圓的焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)問(wèn)題1．（23-24高三·階段練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A． B． C．8 D．102．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).若的周長(zhǎng)為8，則（

）A．4 B． C．2 D．3．（2022·河北秦皇島·二模）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西西安·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為C上一點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且的周長(zhǎng)為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．1．（22-23高三下·河南·階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．9 C．12 D．152．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)?若的周長(zhǎng)為6，且橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·上?！と＃┮阎獧E圓C的焦點(diǎn)、都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．考點(diǎn)二、橢圓的焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．52．（23-24高二上·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東梅州·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．4．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．1．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為.2．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．3 B． C．9 D．考點(diǎn)三、雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為.2．（22-23高二下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的左右焦點(diǎn)別為和，其右支上存在一點(diǎn)P滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為.3．（2023·四川涼山·一模）已知點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為2，則（

）A．2 B．3 C．4 D．51．（22-23高二上·北京朝陽(yáng)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（

）A． B．2 C． D．42．（23-24高三上·重慶沙坪壩·期中）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，且，則的面積為（

）A．2 B． C． D．3．（2022·四川成都·三模）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（

）．A． B． C． D．考點(diǎn)四、橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形離心率問(wèn)題1．（全國(guó)·高考真題）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為A． B． C． D．2．（安徽·高考真題）已知為橢圓的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，垂直于x軸，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．1．（全國(guó)·高考真題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與軸垂直，sin,則E的離心率為A． B．C． D．22．（福建·高考真題）設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于A． B．或2 C．2 D．3．（福建·高考真題）設(shè)圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則曲線的離心率等于A．或 B．或 C．或 D．或4．（湖北·高考真題）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A． B． C．3 D．2考點(diǎn)五、橢圓的焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)問(wèn)題1．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．2．（2024·河北·二模）過(guò)橢圓的中心作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．16 B．14 C．12 D．103．（22-23高二上·山東德州·期中）已知橢圓C：，橢圓C的一頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，的面積為，焦距為2，過(guò)，且垂直于的直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A． B．8 C． D．161．（2024·河北衡水·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．2．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是.考點(diǎn)六、橢圓的焦點(diǎn)弦三角形面積問(wèn)題1．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．62．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．在中，，且滿足，則橢圓的離心率為．1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且△PF1F2的重心為點(diǎn)G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為（

）A．24 B．12 C．8 D．62．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)垂直于軸的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率 B．的周長(zhǎng)為12C．的面積為 D．為等邊三角形考點(diǎn)七、雙曲線的焦點(diǎn)弦三角形周長(zhǎng)問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作一條直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交雙曲線左支于兩點(diǎn)，且，若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，那么的周長(zhǎng)是（

）A．5 B．16 C．21 D．263．（2023·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為20，則線段AB的長(zhǎng)為．1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在左支上過(guò)F1的弦AB的長(zhǎng)為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過(guò)點(diǎn)的弦，且，則的周長(zhǎng)是3．（2024·江西南昌·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)作直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)八、雙曲線的焦點(diǎn)弦三角形面積問(wèn)題1．（2023·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．62．（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與C交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則C的離心率為，的面積為2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（

）A． B． C．2 D．3考點(diǎn)九、拋物線的焦點(diǎn)弦三角形面積問(wèn)題1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為A． B． C． D．2．（2022·山西·高三校聯(lián)考期末）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．1．（2023·黑龍江?？计谀┰O(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．42．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為4，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為B．直線的傾斜角為30°或150°C．D．一、單選題1．（2024·山東泰安·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（

）A．8 B． C． D．3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．4．（2024·福建三明·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第一象限的兩點(diǎn)A，B在拋物線上，且滿足.若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則p的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．27．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，曲線上存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．9．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，且，則的面積為（

）A． B． C． D．10．（2024·新疆·二模）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．611．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B． C． D．12．（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，直線交橢圓于點(diǎn)，，若的周長(zhǎng)的最大值為16，則的離心率為（

）A． B． C． D．13．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)和上頂點(diǎn)A的直線交于另外一點(diǎn)，若，且的面積為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B． C．3或7 D．或714．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為3，過(guò)的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．815．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，面積的最大值為，過(guò)O作直線MN的垂線，垂足為H，則（

）A． B． C．1 D．二、多選題16．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn).若，.則（

）A．的周長(zhǎng)為 B．C．的斜率為 D．橢圓的離心率為17．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．以為直徑的圓過(guò)點(diǎn) D．18．（23-24高三上·河南·期中）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍 B．線段的長(zhǎng)度為C．橢圓的離心率為 D．的周長(zhǎng)為19．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）20．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為 B．C．的周長(zhǎng)的最小值為16 D．當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓面積為21．（2024·黑龍江·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若過(guò)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．C．點(diǎn)到直線的距離為 D．的周長(zhǎng)為822．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得|OP|=7，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為三、填空題23．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．24．（23-24高三下·湖南