第04講 橢圓方程及其性質（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第04講橢圓方程及其性質（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第16題,15分根據(jù)橢圓過的點求標準方程求橢圓的離心率橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達定理求參數(shù)2024年新Ⅱ卷，第5題,5分求橢圓的標準方程軌跡方程2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無2023年新Ⅱ卷，第5題,5分根據(jù)直線與橢圓的位置關系求參數(shù)或范圍求橢圓中的參數(shù)及范圍圓中三角形(四邊形)的面積2022年新I卷，第16題,5分求橢圓的標準方程橢圓中焦點三角形的周長問題2022年新Ⅱ卷，第16題,5分根據(jù)弦長求參數(shù)由中點弦求弦方程2021年新I卷，第5題,5分橢圓定義及辨析基本不等式求積的最大值2021年新Ⅱ卷，第20題,12分根據(jù)離心率求橢圓的標準方程求橢圓中的弦長橢圓中的直線過定點問題根據(jù)弦長求參數(shù)2020年新I卷，第9題,5分判斷方程是否表示橢圓二元二次方程表示的曲線與圓的關系判斷方程是否表示雙曲線2020年新I卷，第22題,12分根據(jù)橢圓過的點求標準方程橢圓中存在定點滿足某條件問題橢圓中的定值問題2020年新Ⅱ卷，第10題,5分判斷方程是否表示橢圓二元二次方程表示的曲線與圓的關系判斷方程是否表示雙曲線2020年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)橢圓過的點求標準方程求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積求橢圓中的最值問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，設題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.熟練掌握橢圓的定義及其標準方程，會基本量的求解2.熟練掌握橢圓的幾何性質，并會相關計算3.能熟練計算橢圓的離心率4.會求橢圓的標準方程，會橢圓方程簡單的實際應用5.會求橢圓中的相關最值【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的常考內容，常?？疾闃藴史匠痰那蠼狻⒒玖康挠嬎慵半x心率的求解，需重點強化訓練知識講解橢圓的定義數(shù)學表達式橢圓的標準方程焦點在軸上的標準方程橢圓標準方程為：焦點在軸上的標準方程橢圓標準方程為：橢圓中，，的基本關系橢圓的幾何性質焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍頂點坐標，，，，長軸長軸長，長半軸長短軸短軸長，短半軸長焦點，，焦距焦距，半焦距對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為離心率離心率對橢圓的影響越大，橢圓越扁越小，橢圓越圓，圓通徑（過橢圓焦點與坐標軸垂直的直線截得的弦長）通徑長：，半通徑長：橢圓中的兩個周長問題考點一、橢圓的定義及其應用1．（2024·廣西南寧·二模）已知分別是橢圓的左、右焦點，為上一點，若，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，求解即可.【詳解】由橢圓，可得，所以，因為分別是橢圓的左、右焦點，為上一點，所以，又，所以.故選：C.2．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因為，所以，當且僅當時，取到最大值.故選：D.3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知是橢圓的左焦點，直線與交于、兩點，則周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得AB經(jīng)過橢圓的右焦點，結合橢圓定義計算即可得.【詳解】由，故AB經(jīng)過橢圓的右焦點，故的周長.故選：D.1．（2024·河北保定·三模）已知是橢圓：上一點，，分別為的左、右焦點，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】直接根據(jù)橢圓的定義可求得答案.【詳解】由橢圓的定義可知，.故選：A.2．（2024·寧夏銀川·二模）已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為.【答案】【分析】先根據(jù)條件得，再利用基本不等式求最值.【詳解】由已知可得為橢圓的焦點，根據(jù)橢圓定義知，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：.3．（24-25高三上·河北秦皇島·開學考試）已知橢圓的上頂點為，左焦點為，線段的中垂線與交于兩點，則的周長為．【答案】【分析】設橢圓的右焦點為，連接，，，依題意可得為等邊三角形，從而得到直線過，再根據(jù)線段垂直平分線的性質及橢圓的定義計算可得.【詳解】設橢圓的右焦點為，連接，，，依題意可得長半軸長，半焦距，且，所以為等邊三角形，則直線過，所以，即的周長為.故答案為：考點二、橢圓的標準方程1．（2024·湖北荊州·三模）已知橢圓C：的一個焦點為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】利用橢圓的標準方程與焦點位置即可得解.【詳解】由題意得，，，，所以．故選：D．2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式組，即得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知表示橢圓，則，解得.故選：A.3．（23-24高二上·廣東汕頭·期末）命題方程表示焦點在軸上的橢圓，則使命題成立的充分必要條件是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出當命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，再結合充要條件的定義可得出結論.【詳解】若命題為真命題，則方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，，解得，因此，使命題成立的充分必要條件是.故選：B．4．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎獧E圓：的2個焦點與橢圓：的2個焦點構成正方形的四個頂點，則（

）A． B． C．7 D．5【答案】A【分析】根據(jù)題意求出橢圓的兩個焦點，列式求出的值.【詳解】根據(jù)題意，橢圓的兩個焦點為，，橢圓的兩個焦點與橢圓的兩個焦點構成正方形的四個頂點，所以橢圓的兩個焦點為，，，且，解得.故選：A.5．（22-23高二上·江蘇連云港·階段練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)中心在原點，一個焦點坐標為，短軸長為4；(2)中心在原點，焦點在軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出，再由焦點位置得出橢圓方程；（2）由題意求出，根據(jù)焦點在x軸寫出方程.【詳解】（1）由題意得：，，故，因為焦點在軸上，故橢圓方程為.（2）如圖，

由題意得：，，所以，，結合焦點在軸上，故橢圓方程為：.1．（23-24高二下·湖南長沙·期中）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將橢圓方程化成標準形式，根據(jù)焦點位置，列出不等式組，解之即得.【詳解】將橢圓方程變形為，因為焦點在軸上，所以，解得．故選：B.2．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標準方程中分母都大于且不能相等即可求解.【詳解】因為方程表示的曲線是橢圓，所以，解得且，所以實數(shù)k的取值范圍是.故選：D.3．（23-24高二上·福建龍巖·期中）（多選）已知曲線，則（

）A．當時，是圓B．當時，是焦距為4的橢圓C．當是焦點在軸上的橢圓時，D．當是焦點在軸上的橢圓時，【答案】AB【分析】根據(jù)條件，利用圓、橢圓的標準方程及橢圓的性質，對各個選項逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】對于選項A，當時，曲線為，此時曲線表示圓，所以選項A正確；對于選項B，當時，曲線為，此時曲線為橢圓且橢圓的焦距為，所以選項B正確；對于選項C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以選項C錯誤；對于選項D，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以選項D錯誤，故選：AB.4．（2024·廣東肇慶·模擬預測）（多選）已知曲線的方程為，則（

）A．當時，曲線表示雙曲線B．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓C．當時，曲線表示圓D．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓以及圓的性質即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，當時，表示焦點在軸雙曲線，故A正確，對于B，當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，B錯誤，對于C,當時，,表示圓，C正確，對于D,當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D錯誤，故選：AC5．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)一個焦點為，長軸長是短軸長的2倍；(2)經(jīng)過點，離心率為，焦點在x軸上；(3)經(jīng)過兩點，.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質列出方程組，求解即可；(2)根據(jù)橢圓的幾何性質列出方程組，求解即可；(3)若橢圓過兩點坐標，可把標準方程設為的形式，再把兩點坐標代入求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可設橢圓的標準方程為：，所以由題設有：，解得，故橢圓的標準方程為：.（2）根據(jù)題意可設橢圓的標準方程為：，所以由題設有：，解得，故橢圓的標準方程為：.（3）根據(jù)題意可設橢圓的標準方程為：，所以由題設有：，解得，故橢圓的標準方程為：.考點三、橢圓的幾何性質1．（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·期中）（多選）關于橢圓，下列結論正確的是（）A．長軸長為4 B．短軸長為1C．焦距為 D．離心率為【答案】ACD【分析】結合橢圓的幾何性質依次判斷即可.【詳解】因為橢圓，所以，，.長軸長為4，故A正確；短軸長為，故B錯誤；焦距為，故C正確；，故D正確.故選：ACD.2．（23-24高三下·遼寧·階段練習）已知橢圓（）與橢圓有相同的焦點，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因為橢圓（）與橢圓有相同的焦點，所以，解得或（舍去）.故選：B3．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的長軸長與焦距的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助橢圓定義與勾股定理計算即可得.【詳解】由，結合題設有，，由，則，化簡得，故的長軸長與焦距的比值為.故選：D.1．（24-25高三上·江西南昌·開學考試）已知橢圓的右焦點為，則上滿足的點有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】求出點的坐標，由求出點的軌跡方程，與橢圓方程聯(lián)立求解判斷即可.【詳解】橢圓的右焦點為，設，由，得，由消去得，，而，解得，當時，對應的值有2個，所以上滿足的點有2個.故選：B2．（2024·陜西西安·模擬預測）若橢圓的長軸長為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程確定焦點位置，求出值，依題得到的值，利用二倍角公式計算即得的值.【詳解】由題意，橢圓焦點在軸上，且，則，即，于是，.故選：B.3．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知點在圓上運動，點為橢圓的右焦點與上頂點，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意知，且圓在橢圓內，則確定與圓相切時取得最小值，即可求解.【詳解】由題意知，，且圓在橢圓內，當與圓相切時，取得最小值，此時，所以，所以的最小值為.故選：A考點四、橢圓的離心率1．（2024·遼寧·模擬預測）已知焦點在軸上的橢圓的短軸長為2，則其離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質即可求解.【詳解】由橢圓的短軸長為2，知，，即，，因此，又橢圓的離心率，故選：A.2．（2024·陜西西安·三模）已知橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率的定義以及橢圓中三者的關系即可求解.【詳解】由題可知離心率，則，又，所以，即，所以.故選：D.3．（2024·山東煙臺·三模）若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實數(shù)b的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率相等列出關于的方程求解即可.【詳解】若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則，解得滿足題意.故選：A.4．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，點A，B在上，直線傾斜角為，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由橢圓焦半徑公式求出，結合條件列式運算得解.【詳解】根據(jù)題意，，所以直線的傾斜角為，由橢圓焦半徑公式得，，，，即，化簡得，.故選：D.5．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，則，由點差法求解離心率即可.【詳解】設，則，則，兩式相減可得，，即，即，，故.故選：B6．（2024·湖北武漢·模擬預測）設橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結合，求得，進而得到，代入橢圓的方程，得到，轉化為，即可求解.【詳解】由橢圓E:x2a不妨設點在第一象限，由橢圓的定義知，因為，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因為，可得，即，將點代入橢圓的方程，可得，整理得，因為，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.1．（2024·廣西·二模）已知橢圓的長軸長等于焦距的4倍，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)離心率定義與基本量關系求解即可.【詳解】設橢圓長軸長，焦距，則2a=4×2c，即ca=1故選：C2．（2024·浙江紹興·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，則該橢圓的短軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由離心率得到的關系式，代入的值，即可求得短軸長.【詳解】由可得（*），因，即，代入（*）解得，故短軸長為故選：B.3．（2024·西藏拉薩·二模）若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由橢圓的幾何性質求解．【詳解】依題意，得，解得，又離心率，整理，得，解得（舍去）或.故選：D.4．（2024·福建泉州·模擬預測）橢圓的左右焦點分別為，點，線段，分別交于兩點，過點作的切線交于，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設橢圓的左右焦點分別為，，由題意可是，利用橢圓在處的切線方程為，可得，求解即可.【詳解】設橢圓的左右焦點分別為，點，且，設，則有，解得，由，所以，又，所以，又橢圓在處的切線方程為，所以，所以，所以，所以，所以，解得,所以橢圓的離心率為.故選：B.5．（2024·湖南衡陽·模擬預測）設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，，，根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關系，即可求出離心率.【詳解】不妨設，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D考點五、橢圓中的最值問題1．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：由題意可得，，，設.表示出，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍；解法二：由題意可得，，，設，取線段AF的中點，可推得，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍.【詳解】解法一：由題意知，，設.則.因為，所以，所以，所以．解法二：由題意知，．設，取線段AF的中點N，則，連接MN.則.因為，所以，所以，所以．故選：D．2．（2023·全國·二模）已知為橢圓的右焦點，點為C內一點，若在C上存在一點P，使得，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義，結合點A在橢圓內的條件，列出不等式組求解作答.【詳解】依題意，，設C的左焦點為，則，因為，且，則，即，于是，解得，而，點為橢圓C內一點，即有，，整理得，又，解得，所以a的取值范圍是.故選：D3．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知為橢圓的兩焦點，P為橢圓C上一點，若的最大值為3，且焦距為2，則橢圓C的方程為【答案】【分析】根據(jù)橢圓的性質，即可列式求解.【詳解】設橢圓C的焦距為2c，由題意知，從而又因為的最大值為，所以，解得，則，從而橢圓C的方程為故答案為：4．（2023·海南?？凇つM預測）已知、是橢圓的左右焦點，點為上一動點，且，若為的內心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內切圓的半徑的表達式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設內切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因為，所以，即．故選：C．1．（2024·廣東惠州·模擬預測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結合橢圓定義可得的周長為，結合橢圓的性質分析求解.【詳解】橢圓的方程為，則，，，連接，，則由橢圓的中心對稱性可知，可知為平行四邊形，則，可得的周長為，當AB位于短軸的端點時，AB取最小值，最小值為，所以周長為．故選：C.2．（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓，P為橢圓上任意一點，過點P分別作與直線和平行的直線，分別交，交于M，N兩點，則MN的最大值為.【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，可得四邊形為平行四邊形，設，，，根據(jù)與的中點相同，換算出關系式，再由兩點間的距離公式，結合橢圓的性質即可求解.【詳解】設過點P分別作直線，由題意，畫示意圖如下：設，，.則，，由題意可知四邊形為平行四邊形，所以，即，又因P為橢圓上任意一點，所以，即，所以，因為，所以，所以由函數(shù)性質知：當時，有.故答案為：3【點睛】關鍵點點睛：本題結合兩點間的距離公式考查橢圓的幾何性質的應用，考查理解辨析能力與運算求解能力，解題的關鍵是利用平行四邊形的性質找到點的坐標之間的關系.3．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可知，的坐標和模，由向量數(shù)量積的定義及坐標運算可得關于的不等關系，即可求解.【詳解】因為橢圓：，所以，，所以，所以，，因為點Px0,y0在上，所以，所以，又，，所以，又，，所以，因為大于，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：.4．（2024·青海海南·二模）已知曲線，圓，若A，B分別是M，N上的動點，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得曲線M的方程為，設出，利用兩點間距離公式并由二次函數(shù)性質可求得，進而利用點與圓的位置關系求解即可.【詳解】根據(jù)題意，曲線，則曲線M上的點到點和距離之和為，根據(jù)橢圓定義知曲線M的是以和為焦點的橢圓，其中，則，所以曲線M的的方程為，設點Ax0,y0滿足且圓的圓心為，半徑為1，則，又函數(shù)在單調遞減，所以，所以AB的最小值是.故選：C考點六、橢圓的簡單應用1．（2023·全國·模擬預測）我國在2022年完成了天宮空間站的建設，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個焦點上．已知某次變軌任務前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍，則此次變軌任務前的橢圓軌道的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，列出變軌前后橢圓長半軸長和離心率的關系等式，即可求解得答案.【詳解】設變軌前橢圓的長半軸長和離心率分別為，則半焦距為，設變軌后橢圓的長半軸長為，顯然變軌后橢圓離心率為，半焦距為，依題意，，整理得，即，而，解得，此次變軌任務前的橢圓軌道的離心率為.故選：C2．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習）開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.若某行星距太陽表面的最大距離為，最小距離，太陽半徑為，則該行星運行軌跡橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設橢圓的焦距為，長軸長為，根據(jù)題意得到，計算可得離心率.【詳解】設橢圓的焦距為，長軸長為，則由已知可得，兩式相加可得，兩式相減可得，則，，所以離心率.故選：A.3．（2024·內蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義和光的反射定理，以及角平分線定理可得【詳解】由已知得，，由橢圓定義可得，根據(jù)光的反射定理可得為的角平分線，由正弦定理，所以，，又所以即.故選：D.1．（2024·重慶·三模）如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象可知可判斷A；根據(jù)圖象可知，結合由不等式的性質可判斷B，C；對兩邊同時平方化簡可判斷D.【詳解】如圖可知，，，，A不正確；，，；B不正確；由，可知，C不正確；，可得，故，即，，，即，D正確，故選:D.2．（2024·黑龍江·三模）（多選）加斯帕爾?蒙日（如圖1）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓則被稱為“蒙日圓”（如圖2）.已知矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓與橢圓有相同的焦點C．橢圓的蒙日圓方程為D．矩形的面積最大值為50【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的幾何性質，可判定A、B正確，結合橢圓的性質和蒙日圓的方程，可判定C錯誤，結合基本不等式和圓的性質，可得判定D錯誤.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的離心率為，所以A正確；由橢圓，可得，則，故橢圓的焦點與橢圓相同，所以B正確；因為矩形的四邊均與橢圓相切，所以點，即在蒙日圓上，可得半徑，可得橢圓的蒙日圓方程為，所以錯誤；設矩形的邊長分別為和，則有，所以矩形的面積等于，當且僅當時取等號，所以D正確.故選：ABD.3．（2024·新疆·一模）從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓T與雙曲線S構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)S與T反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經(jīng)T兩次反射后又回到了點歷時秒.已知，則T的離心率與S的離心率之比.【答案】/0.5【分析】由題意得到，由橢圓定義和雙曲線定義得到方程，求出，進而求出離心率的比值.【詳解】由得，由橢圓定義可得，由橢圓和雙曲線定義得，，故，故，解得，設橢圓T與雙曲線S的公共焦點為，故，所以故答案為：1一、單選題1．（2024·山東濟南·二模）橢圓的焦點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標.【詳解】，可得焦點坐標為和.故選：B2．（2024·內蒙古·三模）已知橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程，結合離心率的定義和求法，列出方程，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，，則，所以，解得.故選：B.3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分焦點在軸或軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)，再求橢圓的焦距.【詳解】若橢圓的焦點在軸，則離心率，得，此時焦距，若橢圓的焦點在軸，則離心率，得，此時焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．（22-23高二上·全國·期中）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由橢圓方程特點可求范圍.【詳解】由題意得，，解得.故選：D.5．（2024·全國·模擬預測）設橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長軸長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率公式求得橢圓和橢圓離心率，列式求解求得，進而可得解.【詳解】因為橢圓，所以橢圓離心率為，橢圓的離心率，則由題意可知，解得.所以的長軸長為.故選：D.6．（2024·貴州安順·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為．點在上，且．，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用橢圓的定義，結合垂直關系列式求解即得.【詳解】依題意，，令橢圓的半焦距為c，由，得，即，因此，即，所以，即.故選：B7．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，,

,設，其它邊全部用t表示,運用面積為構造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進而求出c,b即可.【詳解】如圖,為線段的中點,為線段的中點,,又軸,軸.在中,,設,則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.二、填空題8．（2024·陜西西安·模擬預測）已知橢圓：的焦距為，則的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)焦距定義得到，再利用橢圓離心率公式即可得到答案.【詳解】因為焦距，所以，所以，離心率為.故答案為：.9．（2024·云南大理·模擬預測）橢圓（）的右頂點為，上頂點為，右焦點為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于.【答案】【分析】求出直線的方程為：，根據(jù)點到直線距離得到方程，求出，求出離心率.【詳解】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為：三、解答題10．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程：(2)求橢圓C上的點到直線l：的距離的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關系，設橢圓的方程，將點的坐標代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點到直線的最大距離．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設橢圓的方程為：，，又因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點到直線的距離的最大值為．一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，焦點為,，一個短軸頂點為，則（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】D【分析】由題可得，可得，即可求解.【詳解】設橢圓的中心為，長軸長、短軸長、焦距分別為，，，則在等腰三角形中，，，．因為橢圓的離心率為，所以在直角三角形中，，故，．故選：D2．（2024·四川遂寧·模擬預測）設為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，兩點在上，且關于坐標原點對稱，，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】利用對稱性可判斷為平行四邊形，在中利用余弦定理，結合橢圓定義聯(lián)立求解可得，然后在中利用余弦定理可解.【詳解】由題知，長軸長為8，焦距等于，如圖，由橢圓的對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以，記，在中，由余弦定理得：，由橢圓定義得，聯(lián)立求解可得，在中，由余弦定理得，所以.故選：C3．（2024·江西九江·二模）已知橢圓的上頂點為，離心率為，過其左焦點傾斜角為30°的直線交橢圓于，兩點，若的周長為16，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓的離心率得，表示點的坐標，進而可得直線的斜率及直線的方程，求出得直線的方程，聯(lián)立兩條直線的方程，可得交點的坐標，根據(jù)中垂線的性質可得，，將的周長轉化為，由橢圓的定義可得的周長為，即可求解．【詳解】因為橢圓的離心率，可得，所以，即，可得，則點，右焦點，所以，由題意可得直線的斜率，所以，即，由題意設直線的方程為，直線的方程為，設直線與直線的交點為，聯(lián)立，可得，，則，可得為的中點，所以直線為線段的中垂線，即，，的周長為，可得，所以，，所以橢圓的方程為：.故選：C．4．（2024·浙江金華·三模）已知，分別是橢圓的左，右焦點，是橢圓上一點，的角平分線與的交點恰好在軸上，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出圖象，由角平分線的性質可得點到直線與的距離相等，進而利用直線的方程可得點的坐標，然后列方程求點的坐標，從而可得.【詳解】由題意可知，點只能在第一、四象限，不妨設點在第一象限，如圖所示：

設，又，由題意可知，直線的斜率一定存在，所以，直線，即，則點，直線，化為一般形式得，因為點在的角平分線上，所以點到直線與的距離相等，點到直線的距離，點到直線的距離，于是，化簡得，即，又點在橢圓上，所以，得，因此，，即，解得或，點在第一象限，所以，，則點，所以.故選：C.【點睛】思路點睛：首先設點的坐標，再求出直線，直線的表達式以及點的坐標，最后再根據(jù)點到角兩邊的距離相等以及點在橢圓上，解出點的坐標，最后再求線段的長度.5．（2024·四川·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，若的內心為，連接并延長交軸于點，且，則橢圓的短軸長為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】合理構建圖形，利用角平分線定理和等比定理得到，再求短軸長度即可.【詳解】如圖，連接在和中，利用角平分線定理可得由等比定理可得從而.故橢圓的短軸長為，故B正確.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關鍵是合理構建圖形，然后利用角平分線定理和等比定理得到，再求解短軸長度即可．6．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，首先證明，結合題意算得解得，即可得三角形為等邊三角形，進一步結合橢圓定義可得，，，即是的中點，結合勾股定理、離心率公式即可求解.【詳解】我們首先來證明一個引理：若，則，證明如下：設，則由余弦定理有，即，所以，所以，從而引理得證；根據(jù)題意可得，，解得，因為，所以，解得，由，，可得三角形為等邊三角形，所以，所以，所以，所以是的中點，所以，所以，即，所以.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于得出三角形為等邊三角形，進一步得出的齊次式關系即可求解.7．（2024·江西新余·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，的三個頂點均在上，分別落在線段上且軸，若，則（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖象，由題意可知，從而可得，在和中，分別求得，從而可得，即有，，過作于，可得，為中點，即可得解.【詳解】如圖所示：由題意可知，設橢圓的半長軸為，則，在中，，在中，，所以，整理得：，即解得：或，當時，，不滿足題意，故舍去；當時，，滿足題意，且，過作于，則，所以,所以，故為中點，所以.故選：D.【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是在和中，分別求得，建立等量關系，求得.二、多選題8．（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別是，以為直徑的圓與在第一象限交于點，延長線段交于點.若，則（

）A． B．的面積為C．橢圓的離心率為 D．直線的斜率為【答案】ACD【分析】對于A，結合橢圓的定義即可得解；對于B，設，結合橢圓定義，和直角三角形中勾股定理，得出，從而得出面積；對于C，在中，利用勾股定理得出a與c的齊次方程，從而得解；對于D，在中，求得，在中，求得，結合兩角差的正切公式可以求得，從而得到直線的斜率.【詳解】對于A，由橢圓的定義可得，，，又，所以，故A正確；對于B，如圖，連接，，設（x>0），則.因為，，所以，.因為為圓的直徑，所以，在中，，即，整理得，所以，故B錯誤；對于C，在中，，.所以，即，解得；，即，故C正確；對于D，在中，在中，所以，所以直線的斜率為．故D正確；故選：ACD9．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長軸端點分別為?兩個焦點分別為是上任意一點，則（

）A．的離心率為 B．的周長為C．面積的最大值為 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長短半軸長及半焦距，再逐項計算判斷得解.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，的離心率為，A正確；對于B，的周長為，B正確；對于C，，設，，則面積的最大值為，C錯誤；對于D，，，，因此，D正確.故選：ABD

10．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預測）已知直線交橢圓于A，B兩點，，為橢圓的左、右焦點，M，N為橢圓的左、右頂點，在橢圓上與關于直線l的對稱點為Q，則（

）A．若，則橢圓的離心率為B．若，則橢圓的離心率為C．D．若直線平行于x軸，則【答案】ACD【分析】對于A，則，故，則利用與離心率公式即可得解；對于B，設Ax0,y0，，接著利用和結合離心率公式直接計算即可求解；對于C，根據(jù)三角形中位線即可得解；對于D，設，則，根據(jù)已知條件求出和中點，再利用點關于直線對稱的理論列式求出即可得解.【詳解】如圖，直線l與交于G，對于A，若，則，所以，所以，故A正確；對于B，設Ax0,y0，則，且所以，所以，故B錯誤；對于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對于D，設點，則直線，因為直線平行于x軸，所以點的中點，所以由點G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選：ACD．【點睛】方法點睛：點關于直線對稱的點的計算求解步驟：（1）設所求點坐標，（2）利用中點坐標公式求出中點坐標，（3）利用中點坐標在直線上和兩點所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為這兩個條件建立關于所求點坐標的方程組，利用該方程組即可求解.（4）遇特殊直線如或一般直接得解.1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設點，由題意，根據(jù)中點的坐標表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A2．（2023·全國·高考真題）設橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A3．（2023·全國·高考真題）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.4．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出OP的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．5．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關于的等量關系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.7．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.8．（2021·全國·高考真題）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．【詳解】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調性從而確定最值．9．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．【點睛】10．（2021·浙江·高考真題）已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設，設切點為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．11．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點得到關于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點坐標，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點到直線的距離，再設，根據(jù)點到直線距離和點在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗證直線斜率不存在的情況，再設直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點坐標，再利用點到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設，利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到答案；法六：設線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設該平行線的方程為：，則，解得或，當時，聯(lián)立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即，當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯(lián)立得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當直線的斜率不存在時，此時，，符合題意，此時，直線的方程為，即，當線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，則，解得，此時，則得到此時，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當?shù)男甭什淮嬖跁r，到距離，此時不滿足條件.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當?shù)男甭什淮嬖跁r，到距離，此時不滿足條件.當直線斜率存在時，設，設與軸的交點為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經(jīng)代入判別式驗證均滿足題意.則直線為或，即或.12．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設Fc,0，根據(jù)的坐標及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）設Fc,0，由題設有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.13．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標.由得，即可得到關于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.14．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結果；（2）設直線的方程，進而可求點的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結論．15．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設為第一象限內E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結合題意得到，，再結合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點的坐標，進而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因為橢圓的方程為，所以，因為為第一象限上的動點，設，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.16．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點代入設出的方程求解即可；（2）設出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），