高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 第六章 定積分

定積分及其應(yīng)用定積分的概念定積分的概念

引例

曲邊梯形的面積

所謂曲邊梯形是指在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線

，直線(且)，以及

軸所圍成的圖形，如圖所示．1.什么是曲邊梯形的面積？定積分的概念

引例

曲邊梯形的面積2.為什么研究曲邊梯形的面積？

討論曲邊梯形的面積具有普遍的意義，如圖所表示的平面圖形的面積，就是曲邊梯形

與曲邊梯形

面積之差．

解決這個問題的困難之處在于曲邊梯形的上部邊界是一條曲線，在中學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些規(guī)則的平面圖形（如矩形、三角形、梯形等）面積的計算問題。

計算曲邊梯形面積的步驟:

(1)若把曲邊梯形分割成許多細(xì)小的曲邊梯形；

(2)用我們易求的矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積；

(3)大曲邊梯形面積的近似值就是所有小矩形的面積之和；定積分的概念

3.如何計算曲邊梯形的面積？

計算曲邊梯形面積的步驟:

(4)把曲邊梯形無限分割，若分割的越細(xì)，小曲邊梯形的寬度越小，小矩形和小曲邊梯形的近似程度就越高，誤差就越小。當(dāng)所有小曲邊梯形的寬度都趨于零時，則所有小矩形面積之和的極限值就是這個大曲邊梯形面積的精確值。定積分的概念

3.如何計算曲邊梯形的面積？定積分的概念

計算曲邊梯形面積的步驟：

（1）分割

用分點

將區(qū)間

分成任意

個小區(qū)間

第

個小區(qū)間記為

，其長度為

，過每一個分點做垂直于

軸的直線，把曲邊梯形分為

個小曲邊梯形。定積分的概念

計算曲邊梯形面積的步驟：

（2）近似代替在每個小區(qū)間

上，任取一點

，那么，以

為底，

為高的矩形面積為

．設(shè)第

個小曲邊梯形的面積為

，則：定積分的概念

計算曲邊梯形面積的步驟：

（3）求和

將

個小矩形的面積相加，得曲邊梯形面積

的近似值，即：（4）取極限

記

，讓每個小區(qū)間的長度趨向于零，則：定積分的概念

引例

變速直線運動的路程

設(shè)一物體作變速直線運動，已知運動速度

為時間

的連續(xù)函數(shù)

，求在時間間隔

內(nèi)物體運動的路程

。

對于勻速直線運動，由于速度

是不變的，因此有：路程＝速度×?xí)r間，而對于變速運動就不能用此方法進(jìn)行解決，但是，考慮到在很短時間間隔內(nèi)，速度的變化是微小的，可以近似地理解為物體在作勻速直線運動。于是，我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法來處理這個問題。

第

個小區(qū)間記為

，其長度為

；

（2）近似代替

在每個小時間區(qū)間

上任取一個時刻

，在

處物體運動的速度為

，那么，在時間段

上物體運動路程的近似值為：定積分的概念

（1）分割

用分點

將區(qū)間

分成任意

個小區(qū)間定積分的概念

（3）求和

物體在時間間隔

內(nèi)走過路程的近似值為：

（4）取極限

記

，當(dāng)

時，上述和式的極限就是物體在時間間隔

上運動的路程，即：定積分的概念

上述兩個問題，雖然具有不同的實際意義，但解決問題的思想方法是相同的，均歸結(jié)為求一種特定和式的極限。抽去問題的實際意義，數(shù)學(xué)上把這種和式的極限叫做定積分。定積分的概念定積分的概念

定積分的概念

根據(jù)定積分的定義，上面兩個引例均可用定積分表示。

曲邊梯形的面積可表示為函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分

。

物體作變速直線運動所走過的路程可表示為速度函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分

。其中

稱為被積函數(shù)，

稱為積分變量，

稱為被積表達(dá)式，

稱為積分區(qū)間，

分別稱為積分下限和積分上限，稱為積分號。定積分的概念

定積分定義的幾點說明：定積分的概念

定積分定義的幾點說明：

（3）“積分和式”的極限

存在，是指不論對

怎樣劃分，也不論

怎樣選擇，它都有同樣的極限值。

（4）如果

在

上的定積分存在，我們就說

在

上可積?？梢宰C明在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)或只有有限多個第一類間斷點的有界函數(shù)，都是可積的。THANKS！定積分的幾何意義定積分的幾何意義

根據(jù)定積分的定義和引例可知，定積分的幾何意義如下：

（1）如果函數(shù)

在

上連續(xù)，且

，則定積分

在幾何上就表示曲線

與直線

所圍成的曲邊梯形的面積，如圖所示。

（2）如果函數(shù)

在

上連續(xù)，且

，則定積分

在幾何上就表示曲線

與直線

所圍成的曲邊梯形面積的負(fù)值，如圖所示。定積分的幾何意義

根據(jù)定積分的定義和引例可知，定積分的幾何意義如下：

（3）如果函數(shù)

在

上連續(xù)，且有時取正值，有時取負(fù)值，如圖所示，則有：

。定積分的幾何意義

根據(jù)定積分的定義和引例可知，定積分的幾何意義如下：因此，定積分

在幾何上表示由曲線

與直線

所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和。習(xí)題講解

解：畫出被積函數(shù)

在區(qū)間

上的圖形，如圖所示。利用定積分的幾何意義求

。例題1

由圖可以看出，在區(qū)間

上，由曲線

、

軸、

軸所圍成的曲邊梯形是

個單位圓，所以由定積分的幾何意義可得：

。THANKS！定積分的性質(zhì)性質(zhì)一定積分的性質(zhì)

兩個函數(shù)代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和，即：可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形。性質(zhì)二被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外，即：（

為常數(shù)）性質(zhì)三定積分的性質(zhì)

（定積分對區(qū)間的可加性）對任意點

有：性質(zhì)四

（比較性）如果函數(shù)

與

在區(qū)間

上總滿足條件：

,則

點

的任意性是指，不論

是區(qū)間

內(nèi)的點，還是區(qū)間

外的點，這一性質(zhì)均成立.推論

如果函數(shù)

在區(qū)間

上滿足條件：

，則定積分的性質(zhì)

（估值性）如果函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值與最小值分別為

與,則：性質(zhì)五性質(zhì)5的幾何意義是：

由曲線

，直線

所圍成的曲邊梯形面積，介于以區(qū)間

為底，最小值

為高的矩形面積，和以區(qū)間

為底，最大值

為高的矩形面積之間，如圖所示。定積分的性質(zhì)

性質(zhì)六（定積分中值定理）如果函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則在

上至少存在一點

，使得：定積分中值定理的幾何意義是：

設(shè)

，則該性質(zhì)表示以區(qū)間

為底，以連續(xù)曲線

為曲邊的曲邊梯形的面積，總可以等于底邊相同而高為

的一個矩形的面積，如圖所示。

特別地，當(dāng)

時，定積分的性質(zhì)

通常我們把

叫做連續(xù)曲線

在閉區(qū)間

上的平均高度，或叫做函數(shù)

在區(qū)間

上的平均值。因此，定積分中值定理也叫做平均值定理。

連續(xù)函數(shù)的平均值概念應(yīng)用廣泛，如求平均速度、平均電壓、平均溫度、人均收入等。習(xí)題講解

利用定積分的性質(zhì)，比較

與

值的大小。例題2

解：當(dāng)

時，

，所以根據(jù)定積分性質(zhì)4知：習(xí)題講解

例題3利用定積分的性質(zhì)，估計定積分

的值。

解：首先計算函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值和最小值。因為

，令

，得駐點

，所以

在區(qū)間

上的最大值為,最小值,根據(jù)性質(zhì)5得：THANKS！變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，

，則函數(shù)

在

上可積，即定積分

存在。

這里字母

既出現(xiàn)在被積表達(dá)式中，又出現(xiàn)在積分上限中，但它們的意義是不同的。由于定積分的值與積分變量無關(guān)，我們把積分變量換成

，即得

。

若固定下限

不變，則對任意一個

，定積分

都有唯一確定的值與

相對應(yīng)，所以

是上限

的函數(shù)，稱它為變上限定積分函數(shù)，記作

，即

。變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

根據(jù)定積分的幾何意義，當(dāng)

時，

表示圖中陰影部分的面積，因此

也稱為面積函數(shù)。

既然

是

的函數(shù)，在一定條件下就可以求其導(dǎo)數(shù)。變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理

（原函數(shù)存在定理）若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則變上限定積分所確定的函數(shù)

在

內(nèi)可導(dǎo)，且

，即

是被積函數(shù)

的一個原函數(shù)。證

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來求

的導(dǎo)數(shù)。

因為

，則．

設(shè)函數(shù)

在點

處的增量為

，則:變上限定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

因為函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，且

與

均在

上，根據(jù)定積分中值定理，有：其中

介于

與

之間，于是有：故即

是被積函數(shù)

的一個原函數(shù)。習(xí)題講解

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例題1解：(1)根據(jù)定理5.1得.（1）

（2）(2)是

的函數(shù)，因而是

的復(fù)合函數(shù)，令

，則：，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得：THANKS！牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式

定理

（微積分基本公式）設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，

是

在

上的任意一個原函數(shù)，即

，則：

證

已知

是

的一個原函數(shù)，根據(jù)定理5.1知也是

的一個原函數(shù)，于是知：

（

為一常數(shù)）

為了確定常數(shù)

，令

，有：牛頓-萊布尼茨公式

因為

，所以

，于是：令

，有：因為定積分值與積分變量的記號無關(guān)，仍用

表示積分變量，即得：為了書寫方便，公式

也常寫為：

該公式稱為牛頓——萊布尼茲公式（簡記為

公式），也叫做微積分基本公式。習(xí)題講解

計算下列定積分：例題1解：(1)

(2)

(3)（1）

（2）

（3）THANKS！定積分的換元積分法和分部積分法定積分的換元積分法定積分的換元積分法

例題1解法一：

先利用不定積分的換元積分法求出原函數(shù)，再用微積分基本公式來計算定積分。設(shè)

，則

，

，于是：求因此

定積分的換元積分法

解法二：

設(shè)

，則

，

。當(dāng)

從0連續(xù)地增加到4時，

相應(yīng)地從0增加到2；即當(dāng)

時，

；

時，

，于是：例題2求定積分的換元積分法

兩種方法得到同樣的結(jié)果，并且第二種比第一種簡便。因為積分變量換成

的同時，積分上下限也隨著一起變了，在完成關(guān)于變量

的積分后，直接用

的上下限代入計算定積分的值，因而省掉了第一種方法中的變量回代這一步。將方法二推廣即可得到定積分的換元積分法。定積分的換元積分法

設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，作變換

，它滿足以下條件：定理（1）

在區(qū)間

上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)

；（2）

，

；（3）當(dāng)

時，

；

則:習(xí)題講解

解：設(shè)

，即

，

，當(dāng)

時，

，當(dāng)

時，

，于是：求例題3習(xí)題講解

例題4解：令

，則

，當(dāng)

時，

；當(dāng)

時，

．計算故習(xí)題講解

例題5設(shè)函數(shù)

在對稱區(qū)間

上連續(xù)，試證明：（1）若

是奇函數(shù)，則（2）若

是偶函數(shù)，則解法一：由定積分的幾何意義，此結(jié)論是顯然的，如圖所示習(xí)題講解

解法二：證明：因為

令

，則當(dāng)

時，

；當(dāng)

時，

，（1）如果

是奇函數(shù)，

，則

因此

。

（2）若

是偶函數(shù)

，

，則

．

定積分的換元積分法

例5的結(jié)論，?？梢院喕婧瘮?shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間的定積分。如計算定積分

時，由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以其值為0。THANKS！定積分的分部積分法定積分的分部積分法

設(shè)函數(shù)

，

在

上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

，

，則：定理這就是定積分的分部積分公式。解：習(xí)題講解

求定積分例題1例題2求定積分解：習(xí)題講解

在電力需求的電涌時期，消耗電能的速度

可以近似地表示為（單位：

），求在兩小時內(nèi)消耗的總電能

（單位：

）。案例【電能】解：

THANKS！無窮區(qū)間上的反常積分無窮區(qū)間上的反常積分

引例由定積分的幾何意義，可以得到該曲邊梯形的面積為:求曲線

與直線

所圍成的曲邊梯形的面積。當(dāng)

時，

的極限為

，即：

這個極限表示的是曲線

，

軸及直線

右邊所構(gòu)成的“開口曲邊梯形的面積”。

一般地，對于積分區(qū)間是無限區(qū)間的積分，我們給出如下定義：定義5.2

這時也稱反常積分

存在或收斂；否則就說該反常積分不存在或發(fā)散。設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，任取

，如果極限

存在，就稱此極限值為函數(shù)

在

上的反常積分，記作

，

即：無窮區(qū)間上的反常積分

類似地定義：函數(shù)

在

上的反常積分為：函數(shù)

在

上的反常積分為：其中

為任意常數(shù)，當(dāng)

與

均收斂時，反常積分

才是收斂的，否則該反常積分是發(fā)散的。無窮區(qū)間上的反常積分

例1求

。解：

計算反常積分時，為了書寫簡便，常常省去極限記號，而形式地把“

”當(dāng)成一個“數(shù)”，直接利用牛頓——萊布尼茲公式的公式進(jìn)行計算。習(xí)題講解

其中

為函數(shù)

的原函數(shù)，記號

，

應(yīng)理解為極限運算，即：

，

。

習(xí)題講解

討論

的斂散性。例2解：

，因為

不存在，所以

發(fā)散。例3討論

的斂散性。當(dāng)

時，

所以反常積分

，

當(dāng)

時發(fā)散，當(dāng)

時收斂。解：當(dāng)

時，

，積分分散；習(xí)題講解

案例5.4【潤滑油供應(yīng)問題】

某公司生產(chǎn)了一批超音速運輸機之后停產(chǎn)了，但該公司承諾將為客戶終身供應(yīng)一種適于該機型的特殊潤滑油，一年后該批飛機的用油率（單位：升/年）由下式給出：

，其中

表示飛機服役的年數(shù)

；該公司要一次性生產(chǎn)該批飛機所需潤滑油并在需要時分發(fā)出去，請問需要生產(chǎn)此潤滑油多少升？習(xí)題講解

即600升潤滑油將保證終身供應(yīng)。

解：因為

是一年后該批飛機的用油率，所以在第一年到第

年間的任意一個時間段

中，該批飛機所需要的潤滑油的數(shù)量等于

，因此從第一年到第

年間所需要的潤滑油的數(shù)量等于

，那么

就等于該批飛機終身所需的潤滑油的數(shù)量。=600（升）習(xí)題講解

THANKS！微元法微元法

計算曲邊梯形面積的方法和步驟。總的思路是將區(qū)間

分成

個子區(qū)間，所求的曲邊梯形的面積

被分成每個子區(qū)間

上小曲邊梯形的面積

的和，即

。在任意一個子區(qū)間

上任取一點

，則小曲邊梯形面積

的近似值為：

，記

，求和取極限，得：微元法

滿足上述條件的非均勻量

就可以按如下步驟求得：第一步：將所求量

分為部分量之和，即:；第二步：求出每個部分量的近似值，

；第三步：寫出整體量

的近似值，

；第四步：取

，求

時，

的極限，則得微元法

微元法

微元法

定積分的微元法：

（1）選取積分變量，并確定積分區(qū)間；

（2）把積分區(qū)間

分成

個子區(qū)間，任取一個微小區(qū)間

，然后寫出在這個小區(qū)間上的部分量

的近似值，記為(稱為

的微元)；

（3）以所求量

的微元

為被積表達(dá)式，在區(qū)間

上作定積分，得

這就是所求量

的積分表達(dá)式。按照上述步驟，求總量

的方法，叫做定積分的微元法。THANKS！用定積分求平面圖形的面積用定積分求平面圖形的面積

引例

由曲線

及直線(且)，與

軸所圍成的曲邊梯形的面積

是函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分，其中被積表達(dá)式

就是直角坐標(biāo)下的面積元素，它表示高為

，底為

的一個矩形面積。用定積分求平面圖形的面積

根據(jù)定積分的微元法，我們不難得到以下平面區(qū)域面積的定積分表示。(1)曲線

，直線(且)，與

軸所圍成的平面區(qū)域的面積：

若

，則其面積為

；

若

，則其面積為

；

若

在區(qū)間

上既有取正的部分，也有取負(fù)的部分，則其面積為：用定積分求平面圖形的面積

根據(jù)定積分的微元法，我們不難得到以下平面區(qū)域面積的定積分表示。(2)曲線

與

，假設(shè)()及直線

(且)所圍成圖形，如圖所示，則其面積為(3)曲線

，

，直線()，圍成圖形，如圖所示，則其面積為:習(xí)題講解

例1：計算由兩條拋物線

與

所圍成的圖形的面積。

解：

兩條曲線的交點為

，選

為積分變量，則積分區(qū)間為

，面積微元為

，則所求面積為：習(xí)題講解

例2：計算拋物線

與直線

所圍成圖形的面積。

解：求拋物線與直線的交點，即解方程組

，交點

如果選擇

為積分變量，

，在區(qū)間

上任取一個子區(qū)間

，則在區(qū)間

上的面積微元是

，于是：

如果選擇

為積分變量，那么它的表達(dá)式就比上式復(fù)雜，所以在這里不再求解。習(xí)題講解

例3：求橢圓