高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 4.1.2函數(shù)的極值

函數(shù)的極值函數(shù)的極值的定義函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。設(shè)函數(shù)

在

的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若當(dāng)

在

的領(lǐng)域內(nèi)但不等于

時(shí)，恒有（1）

則稱

是函數(shù)

的一個(gè)極大值；（2）

則稱

是函數(shù)

的一個(gè)極小值；

定義：注意

1.函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上可能有幾個(gè)極大值和幾個(gè)極小值，其中有的極大值可能比極小值還小！

2.函數(shù)極值的概念是局部性的，它們與函數(shù)的最大值、最小值（以后函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值）不同。極值是相對(duì)于一個(gè)局部而言的，而最大值與最小值是就函數(shù)的定義域而言的。函數(shù)的極值的定義極值的必要條件y=x3但由右圖可知，

不是它的極值點(diǎn)。定理（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且在點(diǎn)

處有極值，則必有

。

思考：極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的關(guān)系?例如：求導(dǎo)得：當(dāng)

時(shí)，不存在。極值的必要條件但是，由

的圖像可以看出，是該函數(shù)的極大值，

是極大值點(diǎn)。極值的充分條件

定理

（極值的第一充分條件

）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，在點(diǎn)

處，有

或

不存在。則：

(1)如果當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)

時(shí)，

，則

是

的極大值點(diǎn)，

是

的極大值；

(2)如果當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)

時(shí)，

，則

是

的極小值點(diǎn)，

是

的極小值；極值的充分條件求極值的步驟求連續(xù)函數(shù)

極值的步驟：1.確定函數(shù)

的定義域；4.用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)把

的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，考察每個(gè)區(qū)間內(nèi)

的符號(hào)，按照定理判斷各駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，并由極值點(diǎn)求出函數(shù)的極值。（最好通過列表判斷）2.求導(dǎo)數(shù)

；3.求出函數(shù)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；習(xí)題講解列表判斷令

，解得駐點(diǎn)為

無導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)。例1求函數(shù)

的極值。

的定義域?yàn)?/p>

，解：則，

時(shí)，

取得極大值10，

時(shí)，

取得極小值-22。00極大值10極小值-22列表判斷

令

，得駐點(diǎn)

，

當(dāng)

時(shí)，

不存在，習(xí)題講解例2求函數(shù)

的極值。則，

時(shí)，

取得極大值0，

時(shí)，

取得極小值.0不存在極大值0極小值-1/2解：的定義域?yàn)?/p>

，定理

（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處二階可導(dǎo)，且

，

極值的充分條件注意

若

，則用此定理無法判定

是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，這時(shí)需用第一充分條件定理判定。（1）若

，那么

是極大值點(diǎn)；（2）若

，那么

是極小值點(diǎn)。函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，解：習(xí)題講解求函數(shù)

的極值。例3令

，得駐點(diǎn)

函數(shù)無不可導(dǎo)點(diǎn)，而

，

由定理知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且極小值，