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文檔簡介
黑龍江省鶴崗市2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的右焦點為,過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,延長交右支于點,若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.2.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A. B.C. D.3.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.4.已知拋物線:,直線與分別相交于點,與的準線相交于點,若,則()A.3 B. C. D.5.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點到達點的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.6.某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排,要求郁金香不在兩邊,任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種A. B. C. D.7.已知定點都在平面內(nèi),定點是內(nèi)異于的動點,且,那么動點在平面內(nèi)的軌跡是()A.圓,但要去掉兩個點 B.橢圓,但要去掉兩個點C.雙曲線,但要去掉兩個點 D.拋物線,但要去掉兩個點8.已知函數(shù),下列結(jié)論不正確的是()A.的圖像關(guān)于點中心對稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對稱 D.的最大值是9.設(shè),點,,,,設(shè)對一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.10.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.11.設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,為坐標原點,若,且,則點的軌跡方程是()A. B.C. D.12.已知函數(shù),為的零點,為圖象的對稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)點P在函數(shù)的圖象上,點Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________14.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個零點,則實數(shù)的取值范圍為__________________.15.二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____,含項的系數(shù)為_____.16.設(shè),若關(guān)于的方程有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為證明:.18.(12分)在直角坐標平面中,已知的頂點,,為平面內(nèi)的動點,且.(1)求動點的軌跡的方程;(2)設(shè)過點且不垂直于軸的直線與交于,兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,證明:直線過軸上的定點.19.(12分)已知點、分別在軸、軸上運動,,.(1)求點的軌跡的方程;(2)過點且斜率存在的直線與曲線交于、兩點,,求的取值范圍.20.(12分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機的對入院人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)?請說明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進行問卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)21.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,,,設(shè),則,,,和中,利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,,,設(shè),則,,,,根據(jù)對稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.2、B【解析】
還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體,分別求解兩個部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個圓柱,上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項:【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關(guān)鍵在于能夠準確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.3、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A4、C【解析】
根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點如圖,過A,M作準線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點,所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點睛】本題考查求拋物線的焦點弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.5、C【解析】
過作于,連接,易知,,從而可證平面,進而可知,當最大時,取得最大值,取的中點,可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當最大時,取得最大值,取的中點,則,所以,因為,所以點在以為焦點的橢圓上(不在左右頂點),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.6、B【解析】
間接法求解,兩盆錦紫蘇不相鄰,被另3盆隔開有,扣除郁金香在兩邊有,即可求出結(jié)論.【詳解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有種,然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有,扣除郁金香在兩邊,排盆虞美人、盆郁金香有種,再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有,根據(jù)分步計數(shù)原理有,所以共有種.故選:B.【點睛】本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計數(shù)原理,不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,,,又,,平面,又平面,故在以為直徑的圓上,又是內(nèi)異于的動點,所以的軌跡是圓,但要去掉兩個點A,B故選:A【點睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定,圓的性質(zhì),軌跡問題,屬于中檔題.8、D【解析】
通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時,或時,即在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減;且,,,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.9、A【解析】
先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】
設(shè)坐標,根據(jù)向量坐標運算表示出,從而可利用表示出;由坐標運算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè),,其中,,即關(guān)于軸對稱故選:【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算;關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.12、B【解析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗的這個值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點,為圖象的對稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當時,由為圖象的對稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點,同時也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當時,,即單調(diào)遞減;當時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.14、【解析】
令,則,恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解:令,則,恰有四個解.有兩個解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當中的應(yīng)用,屬于難題.15、【解析】
將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為,令,解得,因此,展開式中含項的系數(shù)為.故答案為:;.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
先求出,從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).即可得的最大值為,令,得函數(shù)取得最小值,由有實數(shù)解,,進而得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當時,;當時,;函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);在區(qū)間為減函數(shù).所以的最大值為,令,所以當時,函數(shù)取得最小值,又因為方程有實數(shù)解,那么,即,所以實數(shù)的取值范圍是:.故答案為:【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)因為,所以,所以,即,又因為,所以數(shù)列為等差數(shù)列,且公差為1,首項為1,則,即.設(shè)的公差為,則,所以(),則(),所以,因此,綜上,.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,則兩式相減得,所以,設(shè)則,所以.18、(1)();(2)證明見解析.【解析】
(1)設(shè)點,分別用表示、表示和余弦定理表示,將表示為、的方程,再化簡即可;(2)設(shè)直線方程代入的軌跡方程,得,設(shè)點,,,表示出直線,取,得,即可證明直線過軸上的定點.【詳解】(1)設(shè),由已知,∴,∴(),化簡得點的軌跡的方程為:();(2)由(1)知,過點的直線的斜率為0時與無交點,不合題意故可設(shè)直線的方程為:(),代入的方程得:.設(shè),,則,,.∴直線:.令,得.直線過軸上的定點.【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求定點問題,考查學生的計算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)設(shè)坐標后根據(jù)向量的坐標運算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,用坐標表示出,得到,所以,代入韋達定理即可求解.【詳解】(1)設(shè),,則,設(shè),由得.又由于,化簡得的軌跡的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,與的方程聯(lián)立,消去得,,設(shè),,則,,由已知,,則,故直線.,令,則,由于,,.所以,的取值范圍為.【點睛】此題考查軌跡問題,橢圓和直線相交,注意坐標表示向量進行轉(zhuǎn)化的處理技巧,屬于較難題目.20、(1)列聯(lián)表見解析,有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān),理由見解析;(2).【解析】
(1)結(jié)合題意完善列聯(lián)表,計算出的觀測值,對照臨界值表可得出結(jié)論;(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、,利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】(1)由于在全部人中隨機抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為,所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人,故可將列聯(lián)表補充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計.故有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān);(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有種情形,分別為:、、、、、、、、,所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為.【點
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