四川省遂寧市船山區(qū)二中2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

四川省遂寧市船山區(qū)二中2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（，）的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）2．已知x，y滿足不等式，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]3．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤，則下列結(jié)論正確的是（）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了4．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則角的大小為（）A． B． C． D．6．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，設(shè)，當(dāng)最小時(shí)，的值為()A． B． C． D．7．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里8．點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，，，，，且，則（）A． B． C． D．9．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．310．已知當(dāng)，，時(shí)，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定11．2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86，乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1212．已知雙曲線：，，為其左、右焦點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)，與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的值為_______.14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差________，通項(xiàng)公式________.15．已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí)，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.16．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月（按30天計(jì)算）共織布390尺．”則每天增加的數(shù)量為____尺，設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，、、為橢圓上不同的三點(diǎn)，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線、的斜率都存在，求證：為定值；（2）求的取值范圍．18．（12分）已知數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為.（1）通過計(jì)算，，，猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，．求證：（1）平面；（2）平面平面．20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求；（Ⅱ）若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對(duì)稱軸，得出，求出的最小值與對(duì)應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)?，所以（?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)，在對(duì)稱軸處取得最值，對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.2、B【解析】

作出可行域，對(duì)t進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí)，可行域即為如圖中的△OAM，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z＝9x+6y在的交點(diǎn)（）處取得最大值，此時(shí)Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.3、C【解析】

假設(shè)若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】解：若甲被錄用了，則甲的說法錯(cuò)誤，乙，丙的說法正確，滿足題意，若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯(cuò)誤，丙的說法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯(cuò)誤，甲的說法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)，，將問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，在是增函數(shù)，時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，如圖所示：所以實(shí)數(shù)的取值范圍為綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.5、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解B.【詳解】由正弦定理可得，即，即有，因?yàn)?，則，而，所以.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.8、D【解析】

確定點(diǎn)為外心，代入化簡(jiǎn)得到，，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知，點(diǎn)為外心，則，，又，所以①因?yàn)?，②?lián)立方程①②可得，，，因?yàn)?，所以，即．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡(jiǎn)得，即令，所以，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。10、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，求得可得為增函數(shù)，又，，時(shí)，根據(jù)條件得，即可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，即為增函數(shù)，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．11、D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.12、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，則F2（，0），設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得，的值，則答案可求．【詳解】解：由，，，所以，得，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14、2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，解得，，故.故答案為：2；.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、90°【解析】

易得平面PAD，P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，顯然，PA是圓的直徑時(shí)，PA最長(zhǎng)；將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，易知，當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線時(shí)，PA達(dá)到最長(zhǎng)，此時(shí)，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時(shí)可將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線為，底面邊長(zhǎng)為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.16、52【解析】

設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為，

，故答案為，52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程，設(shè)、、點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)利用坐標(biāo)表示出即可得證；（2）設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示出，即可求出范圍.【詳解】（1）依題有，所以橢圓方程為．設(shè)，，，由為的重心，；又因?yàn)?，，，，?）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)：，，，代入橢圓得，，，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)：設(shè)直線為，這里，由，，根據(jù)韋達(dá)定理有，，，故，代入橢圓方程有，又因?yàn)?，綜上，的范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的求解，三角形重心的坐標(biāo)關(guān)系，直線與橢圓所交弦長(zhǎng)，屬于一般題.18、（1），證明見解析；（2）【解析】

（1）首先利用賦值法求出的值，進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍．【詳解】（1）數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為．所以，，則，，，所以猜想得：．證明：由于，所以，則：（常數(shù)），所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．所以，整理得．（2）數(shù)列滿足，，所以，則，所以．則，所以，所以，整理得，由于，所以，即．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊乘法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題型．19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

(1)連結(jié)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解：證明：連結(jié)是菱形對(duì)角線的交點(diǎn),為的中點(diǎn),是棱的中點(diǎn),平面平面平面解：在菱形中,且為的中點(diǎn),,,平面平面,平面平面．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）求出及其導(dǎo)函數(shù)，利用研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得的范圍．（2）令，題意說明時(shí)，恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù)，由研究的單調(diào)性，通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】解（1）函數(shù)所以討論：①當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.取，則又，所以，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）或當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意，得，所以（舍）或綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）令，根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，恒成立.又討論：①若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以存在使，不符合題意.②若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)