數(shù)學學案：知識導航排序不等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精5.4.2排序不等式自主整理1.設兩組實數(shù)a1,a2,…,an與b1，b2,…,bn,且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn,則_________________為同序和，_________________為反序和.2。設c1，c2,…，cn為b1,b2，…,bn的任意一個排列，a1c1+a2c2+…+ancn為亂序和，則和數(shù)a1c1+a2c2+…+ancn在a1,a2,…，an與b1，b2,…，bn同序時最大，反序時最小，即______________________，當且僅當高手筆記排序原理是對不同的兩個數(shù)組來研究不同的乘積和的問題，能構造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式：同序和、反序和、亂序和,對這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的“次序”,較為簡單的兩種是“同序和”與“反序和”,而亂序和也就不按“常理”的順序了。排序不等式中等號成立的條件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,這一點不難理解，它是我們解決某些問題的關鍵，要記住。名師解惑怎樣理解排序不等式的證明?剖析:課本對排序不等式的證明過程和方法，用了“探究——猜想—-檢驗—-證明”及由特殊到一般的思維過程和發(fā)現(xiàn)過程,這是探索新知識、新問題常用到的基本方法,對于數(shù)組涉及到的“排序"及“乘積”的問題,出現(xiàn)了兩種特殊的順序“同序”和“反序”，其他為亂序,自然要對它們進行比較，但由于亂序情況較多較復雜,不可能一一驗證、證明,所以課本采用了“逐步調整法"，就像日常生活中班級排隊一樣,逐個調整，每次調整對調一組數(shù)都保證了調整后的和不小于調整前的和。最終按由大到小的順序排列出,理順大小關系.而實際解決問題時，所給的數(shù)組并不一定是按由大到小或由小到大的順序給出，我們可先對其進行排序，再用排序不等式解決范圍問題或研究最值或證明不等式。講練互動【例1】設a1,a2,…，an是n個互不相同的正整數(shù)，求證:a1++…+≥1+++…+。分析:a1，a2,…,an是n個互不相同的正整數(shù),可按從小到大的順序排列,觀察不等式可猜想到與a1，a2，…，an對應的另一列數(shù)是1，,,…,,可用排序不等式證出。證明:設b1,b2,b3,…，bn是a1,a2，a3，…,an的一個排列且b1〈b2<…<bn?！遙1，b2,…，bn是互不相同的正整數(shù)，∴b1≥1,b2≥2，…，bn≥n。又∵1>〉〉…>，∴a1++≥b1+++…+≥1×1+×2+×3+…+×n=1+++…+。綠色通道對于不等式兩邊結構比較整齊,按一定規(guī)律或一定順序排列出來的,而且每一項容易分解為兩個數(shù)之積的形式，可考慮用排序不等式證明.變式訓練1。設a1，a2，a3,…，an是互不相等的正整數(shù),求證：+…+≥++…+。證明:設b1，b2,…,bn是a1,a2,a3，…,an的一個排列且b1<b2〈…〈bn,∵b1,b2，…，bn是互不相同的正整數(shù)，∴b1≥1,b2≥2,b3≥3,…,bn≥n.又∵>>〉…>,∴≥≥++…+?！纠?】設a、b、c都是正數(shù)，求證:≥a+b+c.分析:本題的結構比較整齊，右邊的a、b、c分別可看作是、、,即把ab、bc、ca的順序調換了，可聯(lián)想排序不等式.證明：∵a、b、c為正數(shù),不妨設a≥b≥c〉0,則ab≥ac≥bc>0且≥≥>0.則++≥++=b+a+c?！?+≥a+b+c成立。綠色通道要利用排序不等式，必須構造相應的數(shù)組,并且排列出大小順序,對于a、b、c同等地位的元素可不妨設出一種順序進行解答。變式訓練2.已知a、b、c為正實數(shù),求證:a+b+c≤.證明:不妨設a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2〉0,ab≥ac≥bc>0，∴a2bc+ab2c+abc2≤a3c+ab3+bc又∵a≥b≥c>0，∴a3≥b3≥c3〉0?！郺3c+ab3+bc3≤a4+b4+c4∴a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4即abc(a+b+c）≤a4+b4+c4.∴a+b+c≤成立?！纠?】設a1,a2,…，an都是正數(shù),b1,b2，…，bn是a1,a2，…，an的任一排列,求證：a1b1-1+a2b2—1+…+anbn—1≥n。分析：本題的結構為兩數(shù)乘積之和,可用排序不等式。證明：不妨設0〈a1≤a2≤a3≤…≤an,則≥≥≥…≥>0.∵b1，b2,…,bn是a1，a2，…,an的任一排列。∴a1b1—1+a2b2-1+…+anbn-1≥a1·+a2·+…+an·=n,即a1b1-1+a2b2—1+…+anbn—1≥n成立。綠色通道認真領會排序不等式的含義，學會用排序不等式進行放縮.變式訓練3.已知a1,a2，…，an都是正數(shù),b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列,求證：a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1pb1q+a2pb2q+…+anpbnq(p、q為正數(shù)）。證明：設a1p≥a2p≥a3p≥…≥anp，a1