數(shù)學(xué)學(xué)案：知識(shí)導(dǎo)航：圓內(nèi)接四邊形

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2。4圓內(nèi)接四邊形自主整理1.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。2。圓內(nèi)接四邊形判定定理:如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓。3。若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等,則此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓.特別的，對(duì)定線段張角為直角的點(diǎn)共圓.高手筆記1.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理包括兩個(gè)：定理1是圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；定理2是圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。這兩個(gè)定理表述形式稍有差別，但反映的本質(zhì)相同,都反映了圓內(nèi)接四邊形所具有的特征.利用這兩個(gè)定理，可以借助圓變換角的位置，得到角的相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系，再進(jìn)行其他的計(jì)算或證明.利用這兩個(gè)定理可以得出一些重要結(jié)論，如內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.應(yīng)用這些性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化證明有關(guān)幾何題的推理過(guò)程。2.圓內(nèi)接四邊形的判定定理(1）定理：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓。（2）符號(hào)語(yǔ)言表述:在四邊形ABCD中，如果∠B+∠D=180°,那么四邊形ABCD內(nèi)接于圓.（3）證明思路：要證明四邊形ABCD內(nèi)接于圓，就是要證明A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)，若能證明這四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)距離相等即可。但是這個(gè)定點(diǎn)一時(shí)還找不出來(lái)。不過(guò)對(duì)于不在同一條直線上的三點(diǎn)來(lái)說(shuō),總可以確定一個(gè)圓。因此我們可以先經(jīng)過(guò)A、B、C、D中的任意三個(gè)點(diǎn)，譬如A、B、C三點(diǎn)作一個(gè)圓,再證明第四個(gè)點(diǎn)D也在這個(gè)圓上就可以了.但是直接證明點(diǎn)D在圓上很困難，所以我們采用反證法證明.也就是假設(shè)點(diǎn)D不在圓上，經(jīng)過(guò)推理論證，得出錯(cuò)誤的結(jié)論,這就說(shuō)明點(diǎn)D不在圓上是錯(cuò)誤的，因此點(diǎn)D只能在圓上.由于點(diǎn)D不在圓上時(shí)，可能出現(xiàn)點(diǎn)D在圓外和點(diǎn)D在圓內(nèi)兩種情況，所以應(yīng)分別加以證明，下面先討論點(diǎn)D在圓內(nèi)的情況。假設(shè)點(diǎn)D在圓內(nèi)，若作出對(duì)角線BD，設(shè)BD和圓交于D′，連結(jié)AD′、CD′，則ABCD′為圓內(nèi)接四邊形（如圖1.2—103)，則∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因?yàn)椤螦DB、∠BDC分別是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B〈∠ADB，∠BD′C〈∠BDC,于是有∠AD′C〈∠ADC.因?yàn)橐阎螦BC+∠ADC=180°，所以∠ABC+∠AD′C〈180°，這與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理矛盾.因此可證點(diǎn)D不能在圓內(nèi)。用類似的方法也可以證明點(diǎn)D也不能在圓外.因此點(diǎn)D在圓上，即四邊形ABCD內(nèi)接于圓。3。判定四點(diǎn)共圓的方法（1）如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四個(gè)點(diǎn)共圓.（2）如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（3）如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.（4）如果兩個(gè)直角三角形有公共的斜邊，那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)距離相等）。名師解惑圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明，推導(dǎo)出與圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理相矛盾的結(jié)果,體現(xiàn)了反證法證明幾何命題的基本思路.反證法是證明問(wèn)題的有效方法，那么與正面證明相比較，反證法有什么特點(diǎn)？它證明問(wèn)題的步驟怎樣？它有什么優(yōu)點(diǎn)？剖析：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于；大（?。┯?不大（小）于;都是/不都是;至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有;至少有n個(gè)/至多有（n-1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè);唯一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵,導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式,但必須從反設(shè)出發(fā),否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木，推理必須嚴(yán)謹(jǐn).導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾，與已知的公理、定義、定理、公式矛盾,與反設(shè)矛盾，自相矛盾。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法(結(jié)論的反面不止一種)，如在上述定理證明中，假設(shè)點(diǎn)D不在圓上,則有點(diǎn)D在圓外和點(diǎn)D在圓內(nèi)兩種情況,必須一一證出這兩種情況都不成立后,才能肯定點(diǎn)D在圓上。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1）反設(shè)；(2）歸謬；（3）結(jié)論.對(duì)于一些從正面難以說(shuō)明的問(wèn)題,反證法往往有著出奇制勝的作用。講練互動(dòng)【例1】如圖1。2—104，已知ABCD為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A和B的圓與AD、BC分別交于E、F。求證：C、D、E、F四點(diǎn)共圓.圖1。2—104分析：連結(jié)EF.由∠B+∠AEF=180°，∠B+∠C=180°，可得∠AEF=∠C。證明：連結(jié)EF.∵ABCD為平行四邊形，∴∠B+∠C=180°.∵A、B、F、E內(nèi)接于圓,∴∠B+∠AEF=180°?！唷螦EF=∠C.∴C、D、E、F四點(diǎn)共圓.綠色通道要證明四點(diǎn)共圓，首先要把這四個(gè)點(diǎn)連結(jié)組成四邊形,然后說(shuō)明其對(duì)角互補(bǔ)或外角等于它的內(nèi)對(duì)角.變?cè)囉?xùn)練1。圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)的比是3∶2∶7，求四邊形各內(nèi)角的度數(shù).解:由于四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，故∠A+∠C=∠B+∠D=180°.又∠A：∠B:∠C=3：2：7，∴∠A=180°÷（3+7)×3=54°。∠C=180°-54°=126°。于是∠B=×54°=36°，∠D=180°—36°=144°。【例2】如圖1.2-105兩圓相交于A、B，過(guò)A作兩直線分別交兩圓于C、D和E、F。若∠EAB=∠DAB。求證：CD=EF。圖1。2-105分析：要證CD=EF，只需證明△CBD≌△EBF即可.從圖1.2105可以看出,∠C=∠E，∠D=∠F，因此，尚需找一條對(duì)應(yīng)邊相等即可。比如，能否推出BC=BE呢？要證BC=BE，只需∠CEB=∠ECB，有無(wú)可能呢？可以發(fā)現(xiàn)，∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以,只需證∠2=∠CEB即可,這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，A、B、E、C是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)性質(zhì)定理，它的外角∠2與它的內(nèi)對(duì)角∠CEB當(dāng)然相等.至此，思路完全溝通。證明：∵四邊形ABEC為圓內(nèi)接四邊形，∴∠2=∠CEB。又∵∠1=∠ECB,且∠1=∠2,∴∠CEB=∠ECB?！郆C=BE.在△CBD與△EBF中，∠C=∠E,∠D=∠F,BC=BE，∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.綠色通道利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，直接寫出∠2=∠CEB,簡(jiǎn)化了通過(guò)弧與角的計(jì)算推證∠2=∠CEB的過(guò)程，正如運(yùn)用算術(shù)乘法的九九表一樣，可以大大簡(jiǎn)化思維的過(guò)程。變?cè)囉?xùn)練2。如圖1。2—106，⊙O1與⊙O2為兩個(gè)等圓，M為O1O2中點(diǎn)，過(guò)M的直線分別交⊙O1與⊙O2于A、B、C、D.求證：AB=CD.圖1.2-106證明:過(guò)O1作O1E⊥AB，過(guò)O2作O2F∵∠1=∠2，∠O1EM=∠O2FM=90°.又M為O1O2中點(diǎn)，∴O1M=O2∴△O1EM≌△O2FM，∴O1E=O2F又∵⊙O1與⊙O2是等圓，∴AB=CD?！纠?】如圖1。2—107,⊙O1和⊙O2都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙O1交于點(diǎn)C，與⊙O2交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙O1交于點(diǎn)E，與⊙O2交于點(diǎn)F.求證：CE∥DF.圖1.2-107分析：要證明CE∥DF.考慮證明同位角（或內(nèi)錯(cuò)角)相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。由于CE、DF分別在兩個(gè)圓中，不易找到角的關(guān)系，若連結(jié)AB，則可構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可溝通兩圓中有關(guān)角的關(guān)系。證明：連結(jié)AB，則四邊形ABFD和ABEC都是圓內(nèi)接四邊形。于是∠D+∠ABF=180°①∠C+∠ABE=180°②又∠ABE+∠ABF=180°③①+②—③得∠C+∠D=180°∴CE∥DF。綠色通道（1）本題也可以利用“同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”來(lái)證明。如延長(zhǎng)EF至G，因?yàn)椤螪FG=∠BAD，而∠BAD=∠E,所以∠DFG=∠E.（2)本題的輔助線是為了構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形，以利用它的性質(zhì),導(dǎo)出角之間的關(guān)系.變?cè)囉?xùn)練3.在銳角△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F.求證:FG∥BC。分析:證FG∥BC，只需證∠DFG=∠DBC即可。我們?cè)O(shè)法由共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四頂點(diǎn)共圓來(lái)分析角的關(guān)系，探求證明的思路。證明：如圖,由于Rt△BCE與Rt△BCD共斜邊BC，所以B、C、D、E四點(diǎn)共圓。由同弧上的圓周角，有∠DBC=∠DEG.同理，Rt△EDF與Rt△DGE共斜邊DE，所以D、E、F、G四點(diǎn)共圓。于是，∠DEG=∠DFG。因此,∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC?！纠?】如圖1.2—108所示，在△ABC中，AB=AC,延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q，使得AP=BQ。求證：△ABC的外心O與A、P、Q四點(diǎn)共圓.圖1.2—108分析：要證O、A、P、Q四點(diǎn)共圓,只需證∠CPO=∠AQO即可，為此，只要證△CPO≌△AQO即可.證明:連結(jié)OA、OC、OP、OQ.在△OCP和△OAQ中,OC=OA，由已知CA=AB,AP=BQ,∴CP=AQ。又O是△ABC的外心,∴∠OCP=∠OAC.由于等腰三角形的外心在頂角平分線上，∴∠OAC=∠OAQ，從而∠OCP=∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ?！唷螩PO=∠AQO.∴O、A、P、Q四點(diǎn)共圓。綠色通道本題也可證△OAP≌△OBQ得到角相等,進(jìn)而說(shuō)明四點(diǎn)共圓.你可以試著寫出另一種證明.變?cè)囉?xùn)練4.如圖1.2—109,在△ABC中,AB=AC，BD是AC邊上的中線，∠ADB的平分線交AB于E，△AED的外接圓交BD于N,求證：BN=2AE.圖1。2-109證明：連結(jié)EN，DE平分∠ADB∠1=∠2=【例5】如圖1.2—110所示。在半徑為1的⊙O中，引兩條互相垂直的直徑AE和BF，在上取點(diǎn)C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q。證明四邊形APQB的面積是1.圖1.2—110分析：由已知條件可以證明四邊形ABEF是正方形，且邊長(zhǎng)為2，則正方形面積為2.而△ABD的面積為正方形面積的一半，所以,只需證明S四邊形APQB=S△ABD，即證S△BPD=S△BPQ，即證DQ∥PB。因?yàn)锽P⊥AE，所以，只需證DQ⊥AE.證明：∵AE、BF為互相垂直的兩條直徑，垂足O為圓心,∴AE、BF互相平分、垂直且相等，∴四邊形ABEF是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°,即∠DCQ=∠QED.∴D、Q、E、C四點(diǎn)共圓.連結(jié)CE、DQ，則∠DCE+∠DQE=180°.∵AE為⊙O的直徑，∴∠DCE=90°,∠DQE=90°?！摺螰OE=90°,進(jìn)而DQ∥BF,∴S△BPQ=S△BPD，∴S△ABP+S△BPQ=S△ABP+S△BPD,即S四邊形ABQP=S△ABD。∵⊙O的半徑為1,∴正方形邊長(zhǎng)為。即AB=AF=?！郤四邊形ABQP=S△ABD=AB·AF=1。綠色通道當(dāng)題目的結(jié)論直接證明較繁或無(wú)法證明時(shí)，可根據(jù)條件先證明某四點(diǎn)共圓，再利用