專題20 圖形的相似與位似（講義）

第20講圖形的相似與位似目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一比例線段的概念與性質 3題型01成比例線段 4題型02圖上距離與實際距離 5題型03利用比例的性質判斷式子變形是否正確 5題型04利用比例的性質求未知數(shù)的值 5題型05利用比例的性質求代數(shù)式的值 5題型06理解黃金分割的概念 6題型07黃金分割的實際應用 6題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤 10題型09平行線分線段成比例（A型） 11題型10平行線分線段成比例（X型） 12題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合 13題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線 14題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線 17考點二相似圖形的概念與性質 19題型01理解相似圖形的概念 19題型02相似多邊形 19題型03相似多邊形的性質 22考點三位似圖形 24題型01位似圖形的識別 24題型02判斷位似中心 25題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤 26題型04求兩個位似圖形的相似比 27題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形 27題型06求位似圖形的坐標 29題型07求位似圖形的線段長度 30題型08在坐標系中求位似圖形的周長 30題型09在坐標系中求位似圖形的面積 31考點要求新課標要求命題預測比例線段的概念與性質了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.在中考中，該模塊內容常出現(xiàn)在選擇題、填空題，較為簡單.本節(jié)內容是下一節(jié)相似三角形的基礎，需要學生在復習時加以重視.相似圖形的概念與性質通過具體實例認識圖形的相似.了解相似多邊形和相似比.位似圖形了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.

考點一比例線段的概念與性質線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即【補充】當比的內項相等時，即ab【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：比例的性質：1）基本性質：ab=2）變形：ab=3）合、分比性質：a【補充】實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：a4）等比性質：如果ab=c【補充】根據(jù)等比的性質可推出，如果ab=c5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB【注意】1）AC=5?12AB≈0.648AB2）一條線段的黃金分割點有兩個.【擴展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例．易混易錯1.求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．2.通常四條線段a、b、c、d的單位應該一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另外一個單位也可以.題型01成比例線段【例1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）下列長度的各組線段中，能構成比例線段的是（

）A．2，5，6，8 B．3，6，9，2 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9【變式1-1】（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【變式1-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項，那么b=_______厘米．題型02圖上距離與實際距離【例2】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長度約為25cm，該路段的實際長度約為（

）A．3200m B．3000m C．2400m【變式2-1】（2023·上海嘉定·?？家荒＃┘住⒁覂傻氐膶嶋H距離為250km，如果畫在比例尺為1:5000000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是_________cm題型03利用比例的性質判斷式子變形是否正確【例3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎?x=3y（x≠0，y≠0），則下列比例式成立的是（

）A．x3=y2 B．x2=【變式3-1】（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a(chǎn)+b=5 C．a(chǎn)+ba=5題型04利用比例的性質求未知數(shù)的值【例4】（2023·湖南郴州·模擬預測）若5?x:x=2:3，則x=_______．【變式4-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若ab=34，且a+b=7，則a的值為題型05利用比例的性質求代數(shù)式的值【例5】（2023·浙江·模擬預測）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●?A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【變式5-1】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知x:y=3:2，那么x?y:x=__________【變式5-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鬮a=dc=1【變式5-3】（2023·江西撫州·校聯(lián)考一模）解方程：(1)xx?3(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b?2c=15，求a?2b+3c的值．【變式5-4】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知2ab+c+d=2b題型06理解黃金分割的概念【例6】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（

）A．ABAP=APBP B．ABBP=【變式6-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學知識．如圖是古希臘時期的帕提農神廟（Part?enon

Temple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD:DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學中的（

）

A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割【變式6-2】（2023·四川成都·?？既＃┮阎cC為線段AB的黃金分割點，AC>BC．若AC=6?cm，則AB的長為________cm題型07黃金分割的實際應用【例7】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5?12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于O且A．AC=BD B．SC．AC=8?25 D．矩形ABCD的周長【變式7-1】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA為一邊的正方形的面積，S2表示長為AB，寬為CB的矩形的面積，則A．S1>S2 B．S1【變式7-2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度AB為2m的雕像，則該雕像的下部高度BC應設計為【變式7-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值、我們知道：如圖1，如果BCAC=ACAB，那么稱點(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出CB與AC的比值是___________；(2)【尺規(guī)作黃金分割點】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AE(3)【問題解決】如圖3，用邊長為4的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，點A對應點H，得折痕CE，試說明：C是AB的黃金分割點．【變式7-4】（2023·湖北孝感·校考模擬預測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點P是線段AB上一點(AP>BP)，若滿足BPAP=APAB，則稱點P是

(1)應用：如圖1，若點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC)，若AB=1，則AC的長為______．(2)運用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線．求證：點D是AC的黃金分割點．(3)如圖3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點E，連接EF并延長交BC的延長線于M．BC=1，請你直接寫出CM的長為__________．【變式7-5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖①，點C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C為線段AB的黃金分割點．AC與

(1)如圖②，∠MON=60°，點A在OM邊上，OA=2．請在ON邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B，使得OB與OA的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)如圖③，在△ABC中，AB=AC，若ABBC=5

題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤【例8】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，連接DE，點F為BC邊上一點，BF=2FC，連接AF交DE于點N

A．ANAF=12 B．DNDE=【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學校?？寄M預測）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥

A．BDAD=DFFC B．DEFB=【變式8-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風華中學?？既＃┤鐖D，△ABC中，E為AB邊上一點，過E作EF∥BC交AC于F，G為EF的中點，作FH∥AB交BC于H，則下列結論錯誤的是（

）

A．BHBC=AGAD B．EGCD=【變式8-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在AD的延長線，CB的延長線上，連接EF分別交AB，CD于點G，H，則下列結論錯誤的是（

）A．CHDH=FHEH B．BGCD=題型09平行線分線段成比例（A型）【例9】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于D、E，若AD=4，DB=2，則ECAE的值為（

A．12 B．23 C．34【變式9-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，

A．AEEC=23 B．DEBC=【變式9-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，AB=15，AEEC(1)求AD的長；(2)如果BF=4，CF=6，求四邊形BDEF的周長．題型10平行線分線段成比例（X型）【例10】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學校考三模）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，則DE的長度是（

A．154 B．3 C．5 D．【變式10-1】（2023·北京海淀·人大附中?？既＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，則下列結論中錯誤的是（

）

A．∠AEF=∠DEC B．FA:CD=AE:BCC．FA:AB=FE:EC D．AB=DC【變式10-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC:CE=3:4，AF=21，那么

A．9 B．12 C．15 D．18題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合【例11】（2023·湖南湘潭·模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE∥AB交AD于點E．若OA=2，△AOE周長為10，則平行四邊形ABCDA．16 B．32 C．36 D．40【變式11-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，點E在線段AD上，BE的延長線交AC邊于點F，若AE：ED＝1：3，

【變式11-2】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，非完成相應的任務．利用輔助平行線求線段的比三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對應成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個定理加以解決．舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點F．求AFCF下面是該題的部分解題過程：解：如圖2，過點D作DH∥BF交AC于點H．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH∴CH=FH．∵EF∥DH，…

任務：(1)請補充材料中剩余部分的解答過程．(2)上述解題過程主要用的數(shù)學思想是______．（單選）A．方程思想 B．轉化思想 C．分類思想 D．整體思想(3)請你換一種思路求AFCF題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線【例12】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在△ABC中，點D在AB上，E在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，則EC=_______，AEAC=_（2）已知，如圖1，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC．求證：△ADE∽△ABC．證明：過點E作AB的平行線交BC于點F………………請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于D、F、E點，那么AEEC（4）如圖3，在△ABC中，D為BC的中點，AE:EF:FD=4:3:1．則AG:GH:AB=_____．

【變式12-1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14，AC=63，點D在AB上，AD:DB=3:4，連接CD，過點A作AE⊥CD于點E，連接BE并延長交AC于點F，則EF的長為________【變式12-2】（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學校考模擬預測）綜合與實踐問題情景：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與

(1)獨立思考：請解答老師提出的問題；(2)實踐探究：希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應點為C'，連接DC'并延長交AB于點G，請判斷AG(3)問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應點A'，使A'B⊥CD于點H，連接A'M，交CD于點N，該小組提出一個問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB【變式12-3】（2023·山東青島·校考一模）定義：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，則△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE，BE與AD相交于點F，連接CF．求證：△FBC是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長CF交AB于點M，連接ME，求△FEM與△ABC的面積之比．題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線【例13】（2023·浙江衢州·?？家荒＃┮阎?，如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，CE⊥AD于E，AE=5，AC?AB=4，則AC和AB分別為____．

【變式13-1】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過Rt△ABC的頂點A和斜邊AB的中點D，點B、C在x軸上，△OBD的面積為6，則

【變式13-2】（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點B在x軸負半軸上，直線AB交y軸于點C，若ACBC=12，△AOB

考點二相似圖形的概念與性質相似多邊形的性質：1）相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.2）相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.題型01理解相似圖形的概念【例1】（2022·福建龍巖·?？寄M預測）如圖，由圖形M改變?yōu)閳D形N，這種圖形改變屬于（

）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉 D．相似【變式1-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）下列圖形不是相似圖形的是（）A．同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片B．某人的側身照片和正面照片C．用放大鏡將一個細小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案D．大小不同的兩張中國地圖【變式1-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）《西游記》的事故家喻戶曉，特別是書中的孫悟空嫉惡如仇斬妖除魔大快人心．在一次降妖過程中，孫悟空念動咒語將一片樹葉放大后射向妖魔．若這個過程可以看成是平面直角坐標系中的一次無旋轉的變化，設變化前樹葉尖部某點的坐標為a,b，在咒語中變化后得到對應點的坐標為20a+20,20b?10，則變化后樹葉的面積變?yōu)樵瓉淼?

)A．20倍 B．200倍 C．400倍 D．4000倍【變式1-3】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（

）A．關于直線對稱的兩個圖形 B．兩個正三角形C．兩個等腰三角形 D．兩個半徑不等的圓題型02相似多邊形【例2】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點在方格紙的格點上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A． B． C．D．【變式2-1】（2020·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問題時，甲、乙兩同學的觀點如下：甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴張，得到新菱形，它們的對應邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴張，得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對于兩人的觀點，下列說法正確的是（

）．A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【變式2-2】（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）學完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學習小組嘗試探索四邊形相似的條件，以下是他們的思考，請你和他們一起完成探究過程．【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個四邊形叫做相似四邊形．【初步思考】（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究四邊形相似的條件．他考慮到“四角分別相等的兩個四邊形相似”可以舉出反例“矩形”，“四邊成比例的兩個四邊形相似”可以舉出反例______．所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且一角對應相等的兩個四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個四邊形相似”，“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個四邊形相似”來探究．【深入探究】（2）學習小組一致認為，“四邊成比例，且一角對應相等的兩個四邊形相似”是真命題，請結合圖形完成證明．已知：四邊形ABCD和四邊形A'B'C'求證：四邊形ABCD∽四邊形A'（3）對于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個四邊形相似”，學習小組得到如下的四個命題：①“三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個四邊形相似”；②“三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個四邊形相似”；③“三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個四邊形相似”；④“三邊成比例，兩對角分別相等的兩個四邊形相似”．其中真命題是______．（填寫所有真命題的序號）（4）請你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個四邊形相似”的探究過程．【變式2-3】（2020·河北保定·統(tǒng)考模擬預測）（1）觀察下列式子：23<2+13+1，23發(fā)現(xiàn)：對于真分數(shù)23（2）類比猜想：由（1）猜想分式ba和b+ca+c（其中，a>b>0，（3）解決問題：某公司建居民住宅時，要求窗戶與臥室地面面積的比值達到15%左右，顯示這個比值越大采光條件越好，如果同時減少相等的窗戶面積和地面面積，那么采光條件___________；A．變差了 B．變好了 C．沒有改變（4）聯(lián)想拓展：如圖所示，一個長為acm寬為bcm的矩形（a>b），四周都增加1cm，所得大矩形與原來的矩形相似嗎？____________（直接填“是”或“否”）題型03相似多邊形的性質【例3】（2023·河北張家口·?？寄M預測）把一根鐵絲首尾相接圍成一個長為3cm，寬為2cm的矩形ABCD，要將它按如圖所示的方式向外擴張得到矩形A'B'C'D

A．3.5cm B．5cm C．7cm【變式3-1】（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若兩個相似多邊形的相似比為3:1，則它們周長的比為（

）A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1【變式3-2】（2023·河北衡水·?？级＃⑦呴L為2的正六邊形按照如圖所示的方式向外擴張，得到新的六邊形，它們的對應邊的距離均為3．（1）新的六邊形與原六邊形________；（填“相似”或“不相似”）（2）擴張后六邊形的周長比原來增加了__________．【變式3-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）小穎在一本書上看到一個風箏模型，形狀如圖所示，其中對角線AC⊥BD，并且兩條對角線長分別為10cm和12cm．現(xiàn)在小穎照著模型按照1：3的比例放大制作一個大風箏，制作風箏需要彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是_________cm2

考點三位似圖形位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心.常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經(jīng)過位似中心.位似圖形的性質：1)位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點；2）位似圖形的對應邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關鍵點.2）確定位似比.3）以位似中心為端點向各關鍵點作射線.4）順次連結各截取點，即可得到要求的新圖形.易混易錯1.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質，但相似圖形不一定是位似圖形.2.兩個位似圖形的位似中心只有一個，它可能位于圖形的內部、外部、邊上或頂點上.題型01位似圖形的識別【例1】（2022·河北唐山·?？家荒＃┤鐖D所示是利用圖形變換設計的一個美術字圖案，這樣設計的美術字更富有立體感，則該圖案在設計的過程中用到的圖形變換是（）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．位似【變式1-1】（2020·重慶渝中·統(tǒng)考二模）下列圖形中不是位似圖形的為（

）A． B．C． D．題型02判斷位似中心【例2】（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，△ABC與△A'B'

A．點M B．點N C．點Q D．點P【變式2-1】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知點O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(0,?2)，以某點為位似中心，作出ΔDEF與ΔABC位似，點A的對應點為D(0,1)，則位似中心的坐標為（

）

A．(0,0) B．(1,0) C．(2,0) D．(4,0)【變式2-2】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標為______．

題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤【例3】（2021·重慶·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在△ABC外任取一點O，連接AO、BO、CO，并分別取它們的中點D、E、F，順次連接DE、EF、DF得到△DEF，則下列說法錯誤的是（

）

A．△DEF與△ABC是位似圖形 B．△DEF與△ABC是相似圖形C．△DEF與△ABC的周長比是1:2 D．△DEF與△ABC的面積比是1:2【變式3-1】（2023·河北保定·校考一模）如圖，△ABC與△DEC都是等邊三角形，固定△ABC，將△DEC從圖示位置繞點C逆時針旋轉一周，在△DEC旋轉的過程中，下列說法正確的是（）

A．△DEC總與△ABC位似B．△DEC與△ABC不會位似C．當點D落在CB上時，△DEC與△ABC位似D．存在△DEC的兩個位置使得△DEC與△ABC位似【變式3-2】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學?？寄M預測）△ABC和△A'B'CA．AB∥A'C．直線CC'經(jīng)過點O D．直線AA'、題型04求兩個位似圖形的相似比【例4】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC的面積與△DEF的面積之比是16:9，則AO:AD的值為（

）A．9:5 B．3:2 C．4:3 D．4:7【變式4-1】（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D，矩形ABCD與矩形EFGH位似，點O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，則AD的值為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-2】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若△ABC與△A

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標_______；(2)△ABC與△A題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形【例5】（2021·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O0,0，A2,1，B(1)以原點O為位似中心，在y軸的右側按2:1放大，畫出△OAB的一個位似△OA(2)畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△O(3)△OA1B1與△O【變式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學校考模擬預測）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）和點D且點D在網(wǎng)格的格點上．

(1)以點D為位似中心，將△ABC在點D上方畫出位似變換且縮小為原來的12得到△(2)將（1）中的△A1B1C1繞點D順時針旋轉(3)△A【變式5-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點均在網(wǎng)格格點上，且點A、B的坐標分別為A3,1，B(1)在y軸的左側以原點O為位似中心作△OAB的位似圖形△OA1B1（點A、B的對應點分別為A1(2)在（1）的條件下，分別寫出點A1題型06求位似圖形的坐標【例6】（2022·山西大同·校聯(lián)考一模）在直角坐標系中，已知點A(2,4)，B(4,2)，以坐標原點O為位似中心，作與△OAB的位似比為2的位似圖形△OA'B'，則點A

A．(1,2) B．(4,8) C．(1,2)或?1,?2 D．(4,8)或?4,?8【變式6-1】（2023·廣東深圳·深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學?？寄M預測）已知在平面直角坐標系中，△AOB的頂點分別為A3，1，B2，0，【變式6-2】（2021·廣東廣州·廣州市第十六中學?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的頂點為A4,3，B3,0，以O為位似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比是?13的位似圖形△OCD，則點C的坐標是

題型07求位似圖形的線段長度【例7】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以點O為位似中心，將△AOB縮小為原圖形的12，得到△COD，則OC的長度是（A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【變式7-1】（2020·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預測）如圖，有一斜坡OA，已知斜坡上一點A的坐標為A23,2，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，將△AOB以坐標原點0為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，則OC的長度是【變式7-2】（2021·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEF是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝3，則線段EF的長度為（

）A．2 B．4 C．92 題型08在坐標系中求位似圖形的周長【例8】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，若OC:CF=2:3，△DEF的周長為15，則△ABC的周長為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【變式8-1】（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，OE:OB=1:4，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（

）

A．1:3 B．1:4 C．1:9 D．1:16題型09在坐標系中求位似圖形的面積【例9】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEF關于原點O位似，且OB=2OE，若S△ABC=4，則S△DEFA．1 B．2 C．12 D．【變式9-1】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEC位似，點C為位似中心，CD=3AC，若△ABC的面積是1，則△DEC的面積是（

）A．3 B．4 C．9 D．16【變式9-2】（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標系中，已知點A0,1,C0,4,△OAB與△OCD位似，原點O是位似中心．若△OAB的面積為0.3，則四邊形

第20講圖形的相似與位似答案解析考點一比例線段的概念與性質題型01成比例線段【例1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）下列長度的各組線段中，能構成比例線段的是（

）A．2，5，6，8 B．3，6，9，2 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9【答案】B【分析】分別計算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進行判斷．【詳解】解：A.∵2×8≠5×6，∴2，5，6，8不能構成比例線段，不符合題意；B.∵2×9=3×6，∴3，6，9，2能構成比例線段，符合題意；C.∵1×4≠3×2，∴1，2，3，4不能構成比例線段，不符合題意；D.∵3×9≠6×7，∴3，6，7，9不能構成比例線段，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．【變式1-1】（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【答案】B【分析】利用成比例線段的定義得到a:b=c:d，然后根據(jù)比例的性質求d的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：a:b=c:d，即1:2=3:d，解得d=6．故選：B．【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段．【變式1-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項，那么b=______厘米．【答案】6【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到a:b=b:c，然后利用比例性質計算即可，解題的關鍵是理解四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當a:b=b:c時，線段b是線段a和c的比例中項．【詳解】∵線段b是線段a和c的比例中項，∴a:b=b:c，即b2∴b=6cm故答案為：6．題型02圖上距離與實際距離【例2】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學?？寄M預測）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長度約為25cm，該路段的實際長度約為（

A．3200m B．3000m C．2400m【答案】D【分析】首先設它的實際長度是xcm然后根據(jù)比例尺的定義，即可得方程1:8000=25:x【詳解】解：設它的實際長度為xcm根據(jù)題意得：1:8000=25:x解得：x=200000，∵200000∴該路段實際長度約為2000故選：D．【點睛】此題考查了比例線段．此題難度不大，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)比例尺的定義列方程，注意統(tǒng)一單位．【變式2-1】（2023·上海嘉定·?？家荒＃┘?、乙兩地的實際距離為250km，如果畫在比例尺為1:5000000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是________cm【答案】5【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離÷實際距離進行求解即可．【詳解】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是250×1000×100×1故答案為：5．【點睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關鍵．題型03利用比例的性質判斷式子變形是否正確【例3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知2x=3y（x≠0，y≠0），則下列比例式成立的是（

）A．x3=y2 B．x2=【答案】A【分析】根據(jù)若ab=cd(b≠0，【詳解】解：A.可化為2x=3y，故此項符合題意；B.可化為xy=6，故此項不符合題意；C.可化為3x=2y，故此項不符合題意；D.可化為3x=2y，故此項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了比例是性質，掌握性質是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a(chǎn)+b=5 C．a(chǎn)+ba=5【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質進行判斷即可．【詳解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本選項錯誤，不符合題意；B、當a=4，b=6時，a:b=2:3，但是a+b=10，故本選項錯誤，不符合題意；C、由a:b=2:3，得a+baD、當a=4，b=6時，a:b=2:3，但是a+3b+2故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內項的積，比較簡單．題型04利用比例的性質求未知數(shù)的值【例4】（2023·湖南郴州·模擬預測）若5?x:x=2:3，則x=_____【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質得到方程35?x【詳解】解：∵5?x:x=2:3∴35?x15?3x=2x，解得x=3．故答案為：3．【點睛】本題考查比例性質，熟練掌握內項之積等于外項之積是解題關鍵．【變式4-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若ab=34，且a+b=7，則【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質得到3b=4a，結合a+b=7求得a的值即可．【詳解】解：由a：b=3：4知3b=4a，所以b=4所以由a+b=7得到：a+4解得：a=3，故答案為：3．【點睛】考查了比例的性質，內項之積等于外項之積．若ab=c題型05利用比例的性質求代數(shù)式的值【例5】（2023·浙江·模擬預測）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【答案】B【分析】可設▲●=●?◆▲=◆●+▲=k，利用等比性質可得k的值，設▲為x，●為y【詳解】解：設▲●=●?◆▲=◆●+▲∴k=x+y?z+z∴x=1∴y=2x,z=3∴▲，●，◆這三種物體的重量比為2:4:3．故選：B．【點睛】考查比例性質的應用；利用等比性質得到所給比值的確定值是解決本題的關鍵．【變式5-1】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知x:y=3:2，那么x?y:x=____【答案】1:3【分析】本題考查了比例的性質，表示出y是解題的關鍵．先用x表示出y，再代入比例式進行計算即可得解．【詳解】解：∵x:y=3:2，∴y=2∴x?y:故答案為：1:3．【變式5-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鬮a=dc【答案】12【分析】根據(jù)等比性質、合比性質轉換即可．【詳解】解：∵ba∴2b2a∴2b?d2a?c故答案為12【點睛】本題考查了比例線段，比例的性質，正確理解等比性質、合比性質是解題的關鍵．【變式5-3】（2023·江西撫州·校聯(lián)考一模）解方程：(1)xx?3(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b?2c=15，求a?2b+3c的值．【答案】(1)x1(2)24【分析】（1）先移項，再利用因式分解法解一元二次方程，此題得解；（2）由a:b:c=2:3:4，可設a=2k，則b=3k，c=4k，根據(jù)2a+3b?2c=15可得出關于k的一元一次方程，解之即可得出k值，進而可得出a、b、c的值，將其代入【詳解】（1）解：移項得，xx?3即x?3x?2即x?3=0或x?2=0，解得：x1（2）解：∵a:b:c=2:3:4，∴設a=2k，則b=3k，∵2a+3b?2c=15，∴4k+9k?8k=15，解得：k=3，∴a=6，∴a?2b+3c=6?18+36=24．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性質，解題的關鍵是：（1）熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根據(jù)比例關系結合2a+3b?2c=15列出關于k的一元一次方程．【變式5-4】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知2ab+c+d=2b【答案】-509【分析】當a+b+c+d≠0時，依據(jù)等比性質可得2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)【詳解】∵2ab+c+d∴當a+b+c+d≠0時，由等比性質可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=2當a+b+c+d=0時，b+c+d=﹣a，∴k=2ab+c+d=當k=23時，k2?3k?4=當k=?2時，k2【點睛】本題主要考查了比例的性質的運用，解決問題的關鍵是掌握比例的性質．題型06理解黃金分割的概念【例6】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（

）A．ABAP=APBP B．ABBP=【答案】A【分析】本題考查黃金分割點，根據(jù)黃金分割點的定義得出線段比例關系，選出正確選項，解題的關鍵是掌握黃金分割點的性質．【詳解】解：如圖，∵點P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，∴APAB故選：A．【變式6-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學知識．如圖是古希臘時期的帕提農神廟（Part?enon

Temple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD:DC≈0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學中的（

）

A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案．【詳解】解：∵AD:DC≈0.618，∴體現(xiàn)了數(shù)學中的黃金分割；故選D【點睛】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為5?1【變式6-2】（2023·四川成都·?？既＃┮阎cC為線段AB的黃金分割點，AC>BC．若AC=6?cm，則AB的長為______cm【答案】35+3【分析】利用黃金比例列出方程解答即可．【詳解】解：∵點C為線段AB的黃金分割點，∴AC∴6∴AB=35故答案為：35【點睛】本題考查了黃金分割點的應用，正確應用黃金比是解答本題的關鍵．題型07黃金分割的實際應用【例7】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5?12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于OA．AC=BD B．SC．AC=8?25 D．矩形ABCD的周長【答案】C【分析】計算得出AB=5【詳解】解：∵ABBC=5∴AB=5∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，故選項A正確，不符合題意；∴S△AOB∴AC=5∴矩形ABCD的周長C=25故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．【變式7-1】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA為一邊的正方形的面積，S2表示長為AB，寬為CB的矩形的面積，則A．S1>S2 B．S1【答案】C【分析】根據(jù)BCAC=ACAB得出AC2=AB?BC【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，即BCAC∴AC∵S1=AC∴S1故選：C．【點睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關鍵是根據(jù)BCAC=AC【變式7-2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度AB為2m的雕像，則該雕像的下部高度BC應設計為【答案】5【分析】雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），【詳解】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，∴設AC=x，則BC=2?x，∴x2?x解分式方程得，x=3+5>2（舍去）或檢驗，當x=3?5∴x=3?5，即AC=3?∴BC=2?3?∴該雕像的下部設計高度為5?1故答案為：5?1【點睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質，解比例方程是解題的關鍵．【變式7-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值、我們知道：如圖1，如果BCAC=ACAB，那么稱點

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出CB與AC的比值是___________；(2)【尺規(guī)作黃金分割點】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AE(3)【問題解決】如圖3，用邊長為4的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，點A對應點H，得折痕CE，試說明：C是AB的黃金分割點．【答案】(1)5(2)5(3)見解析【分析】（1）由BCAC=ACAB得到CB?AB=AC（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，由勾股定理得，AB=5，由BD=BC=1得到AD=AB?BD=5?1，則（3）設EC與MN相交于點P，作PQ⊥EN于點Q，由MN∥AB，MN=AB，且M為AE的中點得到MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，可得到PQ=MP=12AC，設PQ=MP=12AC=x，則【詳解】（1）解：∵BCAC∴CB?AB=AC∵AB=AC+CB，∴CB?AC+CB整理得，CB兩邊同除以AC2得，解得CBAC=5∴CB與AC的比值是5?1故答案為：5（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2由勾股定理得，AB=A∵BD=BC=1，∴AD=AB?BD=5∴AE=AD=5∴AEAC即AEAC的值為5（3）設EC與MN相交于點P，作PQ⊥EN于點Q，

∵MN∥AB，MN=AB，且M為AE的中點，∴MPAC=EM∵EC平分∠AEN，∴PQ=MP=1設PQ=MP=1則PN=MN?PM=4?x，∵EN=E∴sin∠ENM=∴x4?x解得x=5經(jīng)檢驗x=5∴AC=2x=25∴ACABBCAC∴BCAC∴C是AB的黃金分割點．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)、折疊的性質、勾股定理、正方形的性質、解方程等知識，正確做出輔助線是解題的關鍵．【變式7-4】（2023·湖北孝感·?？寄M預測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點P是線段AB上一點(AP>BP)，若滿足BPAP=APAB，則稱點P是

(1)應用：如圖1，若點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC)，若AB=1，則AC的長為______．(2)運用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線．求證：點D是AC的黃金分割點．(3)如圖3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點E，連接EF并延長交BC的延長線于M．BC=1，請你直接寫出CM的長為__________．【答案】(1)5(2)證明見解析(3)CM=【分析】（1）設AC=a，則BC=1?a，根據(jù)黃金分割的含義可得：BCAC=AC（2）證明△CBD∽△CAB，推出CDBC=BC（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，可得AF=BF=BC=1，證明ME⊥AB，MB=MA，∠CAM=72°?36°=36°=∠BAC，可得C是BM的黃金分割點，且BC<CM，可得BCCM=CM【詳解】（1）解：∵點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC)，AB=1，設AC=a，則BC=1?a，∴BCAC=AC∴a2∴a2解得：a=5∴AC=5（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1∴∠BDC=36°+36°=72°，∴AD=BD，BC=BD，即AD=BD=BC，又∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，∴△CBD∽△CAB，∴CDBC∴CDAD∴D點是AC的黃金分割點．（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，∴AF=BF=BC=1，∵E為AB的中點，AF=BF，∴ME⊥AB，∴MB=MA，

∴∠ABM=∠BAM=72°，∠AMB=36°，∴∠CAM=72°?36°=36°=∠BAC，同理可得C是BM的黃金分割點，且BC<CM，∴BCCM=CM∴1x整理得：x2解得：x=5∴CM=5【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質，黃金分割點的含義，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解法,熟記黃金分割的含義是解本題的關鍵.【變式7-5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖①，點C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C為線段AB的黃金分割點．AC與

(1)如圖②，∠MON=60°，點A在OM邊上，OA=2．請在ON邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B，使得OB與OA的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)如圖③，在△ABC中，AB=AC，若ABBC=5

【答案】(1)見解析(2)108°【分析】（1）先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點C，再過點A作OA的垂線AD，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交射線AD于點E，連接OE，然后以點E為圓心，AE的長為半徑畫弧，交線段OE于點F，最后以點O為圓心，OF的長為半徑畫弧，交射線ON于點B，如圖，點B即為所求．（2）在BC邊上截取BD=AB，連接AD，根據(jù)ABBC=5?12，可得BDBC=5?12，ACBC=5?12，CDBC=【詳解】（1）解：先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點C，再過點A作OA的垂線AD，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交射線AD于點E，連接OE，然后以點E為圓心，AE的長為半徑畫弧，交線段OE于點F，最后以點O為圓心，OF的長為半徑畫弧，交射線ON于點B，如圖，點B即為所求．

理由：根據(jù)作法得：AD⊥OA,EF=AE=AC=12OA=1∴OE=O∴OF=OE?EF=5∴OB=5∴OBOA∴OB與OA的比為黃金比；（2）解：在BC邊上截取BD=AB，連接AD，

∵ABBC=5∴BDBC=5∴CDBC∴CDBC∴ACBC∵∠C=∠C，∴△ACD∽∴∠CAD=∠B=∠C，設∠CAD=∠B=x，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2x，∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=2x，∴∠BAC=3x，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴x+x+3x=180°，解得：x=36°，∴∠BAC=3x=108°．【點睛】本題主要考查了黃金分割，相似三角形的判定和性質，復雜作圖，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤【例8】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，連接DE，點F為BC邊上一點，BF=2FC，連接AF交DE于點

A．ANAF=12 B．DNDE=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可推出AN=NF,根據(jù)中位線定理分析求解．【詳解】解：∵D、E分別為AB、∴DE∥∴AD∴ANAF=12∴NEFC∵BF=2FC，∴DN=2NE.∴DNDE所以，A,B,D正確，C錯誤；故選：C【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，中位線定理；由平行線的位置關系得到線段間數(shù)量關系是解題的關鍵．【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學校?？寄M預測）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥

A．BDAD=DFFC B．DEFB=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DF=EC，∵DE∥∴BD∵AE與FC的關系不確定，∴BDADB、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE=FC，∵DF∥∴AD∵DE∥∴AD∴DEFBC、∵DF∥∴BFFC∵DE∥∴BDAD∴BFFC∴BFFCD、∵DE∴AD∵由ADFC=AB∵AE與FC的關系不確定，∴ADFC故選：C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定性質，熟練掌握平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．【變式8-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風華中學?？既＃┤鐖D，△ABC中，E為AB邊上一點，過E作EF∥BC交AC于F，G為EF的中點，作FH∥AB交BC于H，則下列結論錯誤的是（

）

A．BHBC=AGAD B．EGCD=【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點定義及相似三角形對應邊成比例逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、∵EF∥BC，∴由平行線分線段成比例定理可得AEAB∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∵∠BAC=∠BAC，∴△∴EFBC=AE∵EF∥BC，F(xiàn)H∥AB，∴由平行四邊形的判定定理得到四邊形EFHB為平行四邊形，即EF=BH，∴BHBCB、∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∵∠BAC=∠BAC，∴△∴GFDC∵G為EF的中點，∴EG=GF，∴EGCDC、∵FH∥AB，∴由平行線分線段成比例定理可得CHBH∵EF∥BC，F(xiàn)H∥AB，∴由平行四邊形的判定定理得到四邊形EFHB為平行四邊形，即EF=BH，∴CFAFD、∵EF∥BC，∴由平行線分線段成比例定理可得FEBC∵FH∥AB，∴由平行線分線段成比例定理可得FHAB只有當F為AC中點時，即AF=FC時，EF由于題中并未給出相關條件，故該選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質、中點的定義等知識，熟記相關幾何性質是解決問題的關鍵．【變式8-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在AD的延長線，CB的延長線上，連接EF分別交AB，CD于點G，H，則下列結論錯誤的是（

）A．CHDH=FHEH B．BGCD=【答案】D【分析】由CF∥DE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得CHDH=FHEH，可判斷A不符合題意；由BF∥AE得BGAB=FGEF，所以BGCD=FGEF，可判斷B不符合題意；由BG∥CH得BCBF=GH【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵CF∥DE，∴CH故A不符合題意；∵BF∥AE，∴BG∴BG故B不符合題意；∵BG∥CH，∴BC∴AD故C不符合題意；∵DH∥AG，∴△EDH∽△EAG，∴DH∴DH故D符合題意，故選：D．【點睛】此題重點考查平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質等知識，根據(jù)平行線分線段成比例定理或相似三角形的性質正確地列出比例式是解題的關鍵．題型09平行線分線段成比例（A型）【例9】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于D、E，若AD=4，DB=2，則ECAE

A．12 B．23 C．34【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到答案．【詳解】證明：∵DE∥∴BD∵AD=4，DB=2，∴CE故選：A．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．【變式9-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，

A．AEEC=23 B．DEBC=【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質，即可判斷.【詳解】解：∵DE∥BC，∴AEEC∴CEAC∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴S△ADE故選：B.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質，掌握定理是解題的關鍵.【變式9-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，AB=15，AEEC(1)求AD的長；(2)如果BF=4，CF=6，求四邊形BDEF的周長．【答案】(1)6(2)26【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握定理是解題的關鍵．(1)利用平行線分線段成比例定理，列式計算即可．(2)先證明EF∥AB，再利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質，列式計算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴AEEC∵AB=15，AEEC∴AD15?AD解得AD=6．（2）∵BF=4，CF=6，∴BFFC∵AEEC∴BFFC∴EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB∵AB=15．解得EF=9．∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE=BF=4,EF=BD=9，∴四邊形BDEF的周長為24+9題型10平行線分線段成比例（X型）【例10】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學?？既＃┤鐖D，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，則DE的長度是（

A．154 B．3 C．5 D．【答案】B【分析】由AD∥BE∥CF，根據(jù)平行線分線段成比例，即可得出ABBC【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴∵AB=4.5，BC=3，EF=2，∴∴DE=3．故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例的性質，屬于基礎概念題型，解題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，得出對應線段的比．【變式10-1】（2023·北京海淀·人大附中?？既＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，則下列結論中錯誤的是（

）

A．∠AEF=∠DEC B．FA:CD=AE:BCC．FA:AB=FE:EC D．AB=DC【答案】B【分析】根據(jù)已知及平行線分線段成比例定理進行分析，可得CD∥BF，依據(jù)平行線成比例的性質即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)對頂角相等，此結論正確；B、根據(jù)相似三角形的性質定理，得FA:FB=AE:BC，所以此結論錯誤；C、根據(jù)平行線分線段成比例定理得，此項正確；D、根據(jù)平行四邊形的對邊相等，所以此項正確．故選：B．【點睛】此題綜合運用了平行四邊形的性質以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【變式10-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC:CE=3:4，AF=21，那么

A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求解即可．【詳解】解：∵AB∥∴BCCE∵BC:CE=3:4，AF=21，∴34解得DF=12，故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理中的對應線段是解答的關鍵．題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合【例11】（2023·湖南湘潭·模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE∥AB交AD于點E．若OA=2，△AOE周長為10，則平行四邊形A．16 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】由平行四邊形的性質得AB=CD，AD=BC，OB=OD，證OE是△ABD的中位線，則AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=8，則AB+AD=2AE+2OE=16，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，OD=OB，∵OE∥∴DEAE∴AE=DE，∴OE是△ABD的中位線，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周長等于10，∴OA+AE+OE=10，∴AE+OE=10?OA=10?4=8，∴AB+AD=2AE+2OE=16，∴?ABCD的周長=2×AB+AD故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、平行線分線段成比例、三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質和三角形中位線定理，求出AB+AD=16是解題的關鍵．【變式11-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，點E在線段AD上，BE的延長線交AC邊于點F，若AE：ED＝1：3，

【答案】12【分析】過點D作DG∥BF于點G,由平行線分線段成比例定理得AEED=AFFG，求得【詳解】解：如圖，過點D作DG∥BF于點G；則AEED而AEED=1∴FG=6；∵D為BC邊的中點，∴GF=GC=1∴CF=2FG=12，故答案為：12．

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構造平行線是解決此題的關鍵．【變式11-2】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，非完成相應的任務．利用輔助平行線求線段的比三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對應成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個定理加以解決．舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點F．求AFCF下面是該題的部分解題過程：解：如圖2，過點D作DH∥BF交AC于點H．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH∴CH=FH．∵EF∥DH，…

任務：(1)請補充材料中剩余部分的解答過程．(2)上述解題過程主要用的數(shù)學思想是______．（單選）A．方程思想 B．轉化思想 C．分類思想 D．整體思想(3)請你換一種思路求AFCF【答案】(1)見解析(2)B(3)見解析【分析】（1）通過過點D作DH∥BF交AC于點H．根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到FHCH=BDCD與AEAD（2）由上述解題過程即可得到求AFCF的值轉化為了求AFFH與（3）通過過點D作DM∥AC交BE于點M，根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，進一步得到BDBC=12，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到DMCM=BD【詳解】（1）∴AEAD∵AE:AD=1:5，∴AF:AH=1:5，∴AF:FH=1:4，∵FH=CH，∴AF（2）上述解題過程主要用的數(shù)學思想是轉化思想故選B（3）解：如圖，過點D作DM∥AC交BF于點M．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC=1∴BD∵DM∥AC，∴DMCF∵AF∥DM，∴AEDE∵AEAD∴AEED∴AFDM∴AF

【點睛】本題考查利用輔助平行線求線段的比，作出輔助線，利用平行線分線段成比例進行轉化是解題關鍵．題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線【例12】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在△ABC中，點D在AB上，E在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，則EC=___________，AEAC=_（2）已知，如圖1，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC．求證：△ADE∽△ABC．證明：過點E作AB的平行線交BC于點F………………請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于D、F、E點，那么AEEC（4）如圖3，在△ABC中，D為BC的中點，AE:EF:FD=4:3:1．則AG:GH:AB=_．

【答案】（1）3，25（2）見解析（3）是定值，值為1（4）【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質，以及平行線分線段成比例，推出△ADE和△ABC的各角對應相等，各邊對應成比例，即可得證；（3）過點B作BG∥EF，交AC于點G，得到BDAD=EG（4）過點D作DP∥AB，交CG于點P，交CH于點Q，根據(jù)平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定和性質，進行推導求解即可．【詳解】解：（1）∵DE∥BC，∴AECE=AD∴CE=3，∴AEAC故答案為：3，25（2）證明：過點E作AB的平行線交BC于點F

則：BFBC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,AD又EF∥BD，∴四邊形DBFE為平行四邊形，∴DE=BF，∴BFBC∴ADAB又∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；（3）過點B作BG∥EF，交AC于點G，

∴BDAD∴AEEC即：AEEC（4）過點D作DP∥AB，交CG于點P，交CH于點Q，

∵AE:EF:FD=4:3:1，∴AE=ED，AF∵DP∥AB，D為BC的中點，∴CPPG∴CP=PG，∴BG=2DP，同理：BH=2DQ，∵DP∥AB，∴△DEP∽△AEG,△DFQ∽△AFH，∴DPAG∴DP=AG，AH=7DQ，∴BG=2AG,AH=7∴AG=1∴GH=AH?AG=4∴AG:GH:AB=1故答案為：3:4:9．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例，添加輔助線，構造平行和相似三角形．【變式12-1】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14，AC=63，點D在AB上，AD:DB=3:4，連接CD，過點A作AE⊥CD于點E，連接BE并延長交AC于點F，則EF的長為________【答案】9【分析】根據(jù)已知條件得出∠ACD=30°，進而求得DE,EC的長，如圖所示，過點D作DG∥BF交AC于點G，根據(jù)平行線分線段成比例，求得AG的長，勾股定理求得D