湖南省部分名校2024-2025學年高三上學期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學試題

名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設全集，集合，則（）．A． B． C． D．2．（）．A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，且，則（）．A． B．1 C．2 D．D．34．已知正四棱錐的頂點都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（）．A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則的解集為（）．A． B．C． D．6．已知函數(shù)，其中，，若圖象上的點與之相鄰的一條對稱軸為直線，則的值是（）．A． B． C． D．7．設雙曲線的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且為鈍角，，則雙曲線C的方程為（）．A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若方程恰有5個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A． B． B． D．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．設等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，已知，．則（）．A． B．C．時，n的最小值為11 D．最小時，10．如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，則下列說法正確的是（）．A． B．，，三線不共點C．與平面所成角為 D．設，則多面體的體積為111．已知拋物線和的焦點分別為，，動直線l與交于，兩點，與交于，兩點，其中，，，，且當l過點時，，則下列說法正確的是（）．A．的方程為B．已知點，則的最小值為C．D．若，則與的面積相等三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．曲線在點處的切線方程為__________．13．已知數(shù)列的通項公式為，則__________．14．將2個“0”、2個“1”和2個“2”這6個數(shù)，按從左到右的順序排成一排，則能構成__________個自然數(shù)，在所有構成的自然數(shù)中，第一位數(shù)為1的所有自然數(shù)之和為__________．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（13分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，，，求．16．（15分）已知函數(shù)．（1）證明：；（2）設函數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的極值點．17．（15分）如圖，在直角梯形中，，，，點E是的中點，將沿對折至，使得，點F是的中點．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．18．（17分）電動車的安全問題越來越引起廣大消費者的關注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種．某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100女性市民合計500（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關；（2）采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；（3）用頻率估計概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取5名市民，再從這5名市民中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：步驟1：在紙上畫一個圓A，并在圓外取一定點B；步驟2：把紙片折疊，使得點B折疊后與圓A上某一點重合；步驟．3：把紙片展開，并得到一條折痕；步驟4：不斷重復步驟2和3，得到越來越多的折痕．你會發(fā)現(xiàn)，當折痕足夠密時，這些折痕會呈現(xiàn)出一個雙曲線的輪廓．若取一張足夠大的紙，畫一個半徑為2的圓A，并在圓外取一定點B，，按照上述方法折紙，點B折疊后與圓A上的點W重合，折痕與直線交于點E，E的軌跡為曲線T．（1）以所在直線為x軸建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線T的方程；（2）設曲線T的左、右頂點分別為E，H，點P在曲線T上，過點P作曲線T的切線l與圓交于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），記，的斜率分別為，，證明：為定值；（3）F是T的右焦點，若直線n過點F，與曲線T交于C，D兩點，是否存在x軸上的點，使得直線n繞點F無論怎么轉(zhuǎn)動，都有成立?若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

炎德·英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學參考答案題號1234567891011答案BDDBACBBBCACBCD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．B【解析】因為全集，集合，所以，故選B．2．D【解析】．故選D．3．D【解析】因為，，所以，因為，所以，從而．故選D．4．B【解析】因為棱錐的高和球的半徑均為，所以正四棱錐的底面邊長，故四棱錐的體積為．故選B．5．A【解析】函數(shù)的定義域為R，又，所以為奇函數(shù)．又，在定義域R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，所以，即，解得，故選A．6．C【解析】對于函數(shù)，易知的圖象關于點對稱，設T為的最小正周期，則，即，從而，當時，，，結合可得，故選C．7．B【解析】則由雙曲線定義可知，，所以，，，所以，解得，因為為鈍角，所以，所以，由余弦定理可知，所以，，所以雙曲線方程為，故選B．8．B【解析】函數(shù)的定義域為，若時，由求導得，，故當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當時，；當時，；若時，由求導得，，因為，故恒有，即在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，，即當時，恒有．作出函數(shù)的大致圖象如圖所示．又由可得或，由圖知有兩個根，此時方程有2個不同的解；要使方程恰有5個不同的解，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．故選B．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．BC【解析】由，則，又，則，故A錯誤；，故B正確；，又，所以時，n的最小值為11，故C正確；當時，，當時，，所以當最小時，，故D錯誤．故選BC．10．AC【解析】對于A，連接，，由G，E分別為，的中點，可得，由可知，側(cè)面為菱形，所以，所以，故A正確；對于B，如圖，連接，，由題易知，延長，相交于點P，因為，平面，所以平面，因為，平面，所以平面，因為平面平面，所以，所以，，三線共點，故B錯誤；對于C，作于點M，因為，，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平面．而，所以為與平面所成的角，等于，故C正確；對于D，過點H作交于點D，過點D作，連接，易知直三棱柱的底面是邊長為1的等腰直角三角形，柱高，則，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，錐高，則，則多面體的體積為．故D錯誤，故選AC．11．BCD【解析】當直線l過點時，設，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，，故A錯誤；過點M，A向的準線引垂線，垂足分別為B，C，點A到的準線的距離，由拋物線的定義可知，等號成立當且僅當點M為與拋物線的交點，故B正確；設，由，可得，，，，由，可得，，，，故，同理可得，故，故C正確；由C可得，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確．故選BCD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．【解析】因為，則，所以切點為，且，則，由直線的點斜式可得，化簡可得，所以切線方程為．13．【解析】由題意可得，，…，故．14．60（2分）；3333330（3分）【解析】因為要構成自然數(shù)，所以第一位教只能是1和2，故共有個自然數(shù)．第一位數(shù)為1共有30個自然數(shù)，第一位數(shù)排1，第二位排0，有種排法；第一位數(shù)排1，第二位排1，有種排法；第一位數(shù)排1，第二位排2，有種排法；第一位數(shù)排1，第三位排0，有種排法；第一位數(shù)排1，第三位排1，有種排法；第一位數(shù)排1，第三位排2，有種排法，以此類推：第一位數(shù)排1，第六位排0，有種排法；第一位數(shù)排1，第六位排1，有種排法；第一位數(shù)排1，第六位排2，有種排法，所以，所有第一位數(shù)為1的自然數(shù)之和為．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．【解析】（1）由及正弦定理得，整理得，（3分）又由余弦定理的推論得，，解得．（6分）（2）由，，得，（8分）即，可得，（10分）由余弦定理可得，，．（13分）16．【解析】證明：（1）因為，定義域為，所以，（2分）由于函數(shù)，在上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，（4分）因為，所以，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，所以．（7分）（2）因為，的定義域為，所以．設，則，當時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，（11分）所以．又，且在上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)有唯一的極值點．（15分）17．【解析】證明：因為，，點E是的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又，，所以四邊形是正方形，所以，且，所以，且，即，因為，，平面，所以平面．因為平面，所以．因為F是的中點，，所以．因為，，平面．所以平面．因為平面，所以．（7分）（2）由（1）知，平面，因為平面，所以．（7分）因為，．所以．又，由余弦定理得，因為，所以，所以，（9分）以D為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．因為F是的中點，所以．所以，，，（12分）易證平面，所以為平面的法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，取，則，，所以，所以，設二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為．（15分）18．【解析】（1）被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數(shù)為．偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100300女性市民80120200合計280220500（3分）零假設：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關．（6分）（2）因為偏好石墨烯電池電動車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以．（10分）（3）因為所有參加調(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為，所以由分層抽樣知，隨機抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．根據(jù)頻率估計概率知，男性市民偏好石墨烯電池電動車的概率為，偏好鉛酸電池電動車的概率為，從選出的5名市民中隨機抽取2人進行座談，則X可能的取值為0，1，2．“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，則．“參加座談的2名市民中是偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)恰好為m人”記為事件，則，，，，，，（13分）所以，，，故X的分布列如下：X012P．（17分）19．【解析】（1）以所在直線為x鈾，以為x軸的正方向，以的中點為原點建立平面直角坐標系，則，，由折紙方法知，，則，根據(jù)雙曲線的定義，曲線T是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線，（3分）設其方程為，則，，所以，．故曲線T的方程為．（5分）