第07講 平面向量奔馳定理與三角形四心問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）平面向量問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個(gè)重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個(gè)內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識(shí)，同時(shí)也是加強(qiáng)對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會(huì)提升解題效率，可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識(shí)講解奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則奔馳定理的推論及四心問(wèn)題推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用.已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對(duì).④若為的垂心，則，或研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，充分利用平面向量的相關(guān)知識(shí)解決三角形的問(wèn)題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考點(diǎn)一、奔馳定理與四心問(wèn)題綜合1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心3．設(shè)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若且.則點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心4．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過(guò)的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心1．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心2．已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心3．已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿足，，則點(diǎn)O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心4．已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心5．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心6．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心考點(diǎn)二、奔馳定理與其他問(wèn)題綜合1．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有（

）A．B．C．D．2．（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若為的外心，則D．若為的垂心，，則1．奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．2．（多選）如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則6．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則一、單選題1．在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心2．若O，M，N在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點(diǎn)O，M，N依次為的（）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心3．已知O為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對(duì)的邊).則O依次是的A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心4．給定△ABC，則平面內(nèi)使得到A，B，C三點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心5．若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心6．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心7．平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心8．已知點(diǎn)在平面中，且，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心9．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．10．已知O是所在平面上的一點(diǎn),角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心11．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（

）

A．若，則O為△ABC的重心B．若，則C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則二、多選題12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.則（

）A．O為的外心 B．C． D．13．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則14．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的是（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則15．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．三、填空題16．在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.17．已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）18．請(qǐng)你根據(jù)“奔馳定理”對(duì)以下命題進(jìn)行判斷：①若P是的重心，則有；②若成立，則P是的內(nèi)心；③若，則；④若P是的外心，，，則；⑤若的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，O為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心.若，則的最大值為.則正確的命題有.（填序號(hào)）

19．年，戴姆勒公司申請(qǐng)登記了“三叉星”做為奔馳轎車的標(biāo)志，象征著陸上，水上和空中的機(jī)械化，而此圓環(huán)中的星形標(biāo)志演變成今天的圖案，沿用至今，并成為世