第04講 平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page第04講平面向量系數(shù)和（等和線、等值線）問題（高階拓展、競賽適用）（5類核心考點精講精練）

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個命題熱點。近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為距離的比例運算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用知識講解如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時，（i）如圖1，當在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點共線可知：存在使得：所以（ii）當在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則(的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍考點一、“x+y”或“λ+μ”型綜合1．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【法一：系數(shù)和】，分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當?shù)群途€與圓相切時，最大，此時故選.【法二：坐標法】詳見解析版2，（衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內(nèi)部的動點，設(shè)向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為()如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是____________如圖在直角梯形中，，，，動點在以為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運動，設(shè)則的取值范圍是____________3．在中，，，，M是外接圓上一動點，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．24．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，，，點在該三角形的內(nèi)切圓上運動，若（，為實數(shù)），則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（22-23高一下·廣東珠海·期末）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．考點二、“+”或“+”型綜合已知是內(nèi)一點,且,點在內(nèi)(不含邊界),若,則的取值范圍是A.B.C.D.已知為邊長為2的等邊三角形，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是__________若點在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______設(shè)長方形的邊長分別是,點是內(nèi)(含邊界)的動點,設(shè),則的取值范圍是_________1．在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點，且若，則的最大值為A． B． C． D．2．（2023·安徽淮南·一模）已知是的重心，過點作直線與，交于點，且，，，則的最小值是A． B． C． D．3．已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．4．（22-23高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）在中，，，過的外心O的直線(不經(jīng)過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點三、“-”或“-”型綜合如圖,已知為銳角三角形的外心,,且,求的取值范圍？1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最小值為（

）A． B．1 C．-1 D．考點四、“-”或“-”型綜合1．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·安徽六安·高三階段練習(xí)）在直角梯形中，，∥，，、分別為、的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動，（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是．1．（2023·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．考點五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用1．如圖所示，△ABC中，AC＝3，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，且PN＝2PM，則△ABC面積的最大值為．5．5．2．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點（不含邊界）.若，則的取值范圍為.3．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且，則；為的內(nèi)心，三點共線，且，軸上點滿足，，則的最小值為．1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則．2．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）如圖，在中，點D在線段上，且，E是的中點，延長交于點H，點為直線上一動點（不含點A），且（）．若，且，則的面積的最大值為．

3．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）已知△ABC中，，若點P為四邊形AEDF內(nèi)一點(不含邊界)且，則實數(shù)x的取值范圍為.1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）在正方形中，與交于點，為邊上的動點（不含端點），，則的最小值為.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點D在的延長線上，且，點P是(含邊界)的動點，設(shè)，則的最大值為．3．（22-23高一下·四川眉山·階段練習(xí)）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊相交于點M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若，則2x＋2y的最大值為

5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點，點滿足.若，則的最小值為.

6．（22-23高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，．則的取值范圍為．

7．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為．8．（23-24高一下·天津·期中）如圖，在中，與BE交于點，，則的值為；過點的直線分別交于點設(shè)，則的最小值為.

9．（21-22高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在扇形中，，，點為的中點，點為曲邊區(qū)域內(nèi)任一點（含邊界），若，則的最大值為．10．（22-23高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖所示，，圓M與AB，AC分別相切于點D，E，AD=1，點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且，則的取值范圍是11．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）如圖，平面內(nèi)有三個向量，，，其中，，且，，若，則.12．（22-23高二上·上海寶山·階段練習(xí)）設(shè)點在以為圓心，半徑為1的圓弧上運動（包含、兩個端點），，且，則的取值范圍為.13．（19-20高一上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點P在弧BC上運動，，則的最大值為.14．（22-230高三上·浙江臺州·期末）如圖，已知正方形，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點，且，設(shè)（x，），則的最大值為.15．（22-23高三·浙江·階段練習(xí)）已知，與所成角為，點P滿足，若，則的最大值為.16．（22-23高一下·重慶萬州·期中）如圖，在中，，點在線段上移動（不含端點），若，則的取值范圍是．17．（21-22高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點，動點P滿足，且，其中，則的最大值為．18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)，若，則的值為