第06講 權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第06講權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）（高階拓展、競賽適用）本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競賽中做到類型題的秒解！知識(shí)講解一、柯西不等式

1.二維形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,當(dāng)且僅當(dāng)權(quán)方和不等式:若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握這個(gè)足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實(shí)現(xiàn)對(duì)一些問題的秒殺)廣義上更為一般的權(quán)方和不等式:設(shè),若或,則;若,則;上述兩個(gè)不等式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等注意觀察這個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)特征,分子分母均為正數(shù),且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多1,出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵,特別的,高考題中以最為常見,此時(shí)這個(gè)不等式是大家熟悉的柯西不等式.考點(diǎn)一、權(quán)方和不等式全解析例1：若正數(shù)，滿足，則的最小值為______________解：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)所以的最小值為例2：若，，，則的最小值為______________解：即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例3：已知正數(shù)滿足，則的最小值為解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由解得：，例4：若，，，則的最小值為______________解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例5：若，，則的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為例6：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例7：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為______________解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例8：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例9：求的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例10：求的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例11：權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．解：由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．例12：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例13：已知，求的最小值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例14：已知，，，求的最大值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例15：求的最大值為______________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例16：已知正數(shù)，，滿足，求的最大值為___________解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)二、柯西不等式全解析例1：用柯西不等式求函數(shù)的最大值為A． B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】配湊目標(biāo)函數(shù)，再利用柯西不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由柯西不等式可得，函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故該的最大值為4.故選：C.例2：由柯西不等式，當(dāng)時(shí)，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．【答案】D【分析】利用柯西不等式可得，即求.【詳解】解：由柯西不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)椋?，則，故的最大值為.故選：D例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】試題分析：由柯西不等式得，所以，即.考點(diǎn)：柯西不等式例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）【答案】【分析】利用柯西不等式進(jìn)行求解．【詳解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36），，當(dāng)且僅當(dāng)【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)最值的求法，主要通過消元和配方解決問題，也可以是利用柯西不等式進(jìn)行求解．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．例5：已知正實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值是．【答案】/【分析】利用配湊法及柯西不等式即可求解.【詳解】由題意可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)．所以原式的最小值為．故答案為：.例6：已知非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足，求證：【答案】證明見解析【分析】利用切比雪夫不等式的推論、柯西不等式及均值不等式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則．記，則，．依次運(yùn)用切比雪夫不等式的推論1、柯西不等式、均值不等式得到，故原不等式正確．一、單選題1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值，故選：D．2．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故選：C.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由題可得點(diǎn)滿足的圓方程，進(jìn)而，然后利用基本不等式結(jié)合條件即得.【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，所以，．因此，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．故選:D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根據(jù)“1”的代換化簡得出.進(jìn)而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：C．7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意得，則，進(jìn)而由柯西不等式可得最大值.【詳解】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，當(dāng)即時(shí)，取等號(hào).所以的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在得出之后，關(guān)鍵在于根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江寧波·期中）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最大值和最小值之和為（

）A．2 B． C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，再由“1”與相乘利用基本不等式轉(zhuǎn)化為，解不等式即可求解.【詳解】由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，等號(hào)成立，即，解得所以的最大值為；最小值為；所以最大值和最小值之和為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，運(yùn)用基本不等式求最值需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.9．（2024·遼寧·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，，將所求式子變形，利用基本不等式求解.【詳解】由，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.10．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】首先不等式變形為恒成立，再利用兩次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.【詳解】不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，其中，令，，，第二次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件是且，得且，此時(shí)第一次使用基本不等式，說明兩次基本不等式能同時(shí)取得，所以的最小值為，即，則，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是再求的最值時(shí)，需變形為，再通過兩次基本不等式求最值.二、填空題11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．【答案】24【分析】變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：13．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．【答案】【分析】是的邊長，所以它們是正數(shù)，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：.14．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)，將化簡可得，再根據(jù)基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【詳解】由可得，因?yàn)?，所以，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值是．【答案】/．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：．16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為．【答案】12【分析】令，，從而可得，，再根據(jù)，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】令，，則，，且，，所以，．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：1217．（21-22高三上·天津南開·期中）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用柯西不等式求的取值范圍，進(jìn)而可得目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，，則，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為.故答案為：.18．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是先得到，再進(jìn)一步結(jié)合乘“1”法即可順利得解.19．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.20．（23-24高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）已知，則的最小值為.【答案】/【分析】依題意可得，再由基本不等式“”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然此時(shí)有解，所以的最小值為.故答案為：.21．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．【答案】【分析】解法1、根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式求得，進(jìn)而求得的最大值；解法2、根據(jù)題意，得到，利用權(quán)方和不等式得，進(jìn)而求得的最大值．【詳解】解法1、由，可得，由基本不等式得，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．解法2、由，可得，因?yàn)?，由?quán)方和不等式得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立方程組，解得，，故的最大值為2．故答案為：.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：23．（2024·上海嘉定·二模）已知，，則函數(shù)的最小值為．【