第03講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第6題,5分判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)冪的大小用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握指數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪含義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小【命題預測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學習備考知識講解指數(shù)的基本知識根式的基本性質(zhì)①的定義域為,的定義域為②，定義域為③，定義域為④，定義域為⑤，定義域為指數(shù)的基本性質(zhì)①零指數(shù)冪:;②負整數(shù)指數(shù)冪:③正分數(shù)指數(shù)冪:;④負分數(shù)指數(shù)冪:指數(shù)的基本計算①同底數(shù)冪的乘法運算②同底數(shù)冪的除法運算③冪的乘方運算④積的乘方運算指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式一般地，函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)過定點當時，；時,當時，；時,在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)考點一、指數(shù)與指數(shù)冪的運算1．（2023·全國·模擬預測）（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡計算即可.【詳解】．故選：A．2．（2024·廣東·模擬預測）若，則．【答案】【分析】分和兩種情況分類計算.【詳解】當時，，當時，.故答案為：3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．【詳解】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．1．（2024·上海寶山·二模）將（其中）化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為.【答案】【分析】直接利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的運算法則化簡求解即可【詳解】故答案為：2．（2023·山東·模擬預測）若，則的值為（

）A．8 B．16 C．2 D．18【答案】D【分析】利用完全平方公式結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】解：因為，所以.故選：D．3．（2023·四川宜賓·一模）計算:.【答案】【分析】根據(jù)根式、指數(shù)冪運算以及對數(shù)的定義運算求解.【詳解】由題意可得：，即.故答案為：.考點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．（2024·四川成都·模擬預測）函數(shù)與的圖象（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于對稱【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性即可判斷，對于兩個函數(shù)與，如果它們的圖象關(guān)于原點對稱，即在定義域內(nèi)恒成立，則稱與為中心對稱，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論.【詳解】令函數(shù)，所以即，所以函數(shù)與的的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)與的圖象的的圖象關(guān)于原點對稱，故選：C.2．（23-24高三上·河北衡水·開學考試）已知，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通過特值法，排除錯誤選項，通過的取值，判斷函數(shù)的圖象的形狀，推出結(jié)果即可.【詳解】由于當時，，排除B，C，當時，，此時函數(shù)圖象對應(yīng)的圖形可能為A，當時，，此時函數(shù)圖象對應(yīng)的的圖形可能為D.故選：AD.3．（2024·甘肅張掖·模擬預測）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．-1 C． D．2【答案】A【分析】令，即，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，可知兩個函數(shù)圖象相交于兩點，設(shè)為，得，進而得到，即【詳解】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程的實數(shù)根，令，則，顯然，所以，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點，設(shè)為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點，說明，即.故選:A.1．（22-23高二下·四川綿陽·期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【分析】利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)論.【詳解】因為，，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平移個單位，故選：D.2．（23-24高三上·山西晉中·階段練習）（多選）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論．【詳解】當時，對應(yīng)的圖象可能為選項A；當時，對應(yīng)的圖象可能為選項C.故選：AC.3．（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得且，求出a，即可求解.【詳解】因為函數(shù)圖象過原點，所以，得，又該函數(shù)圖象無限接近直線，且不與該直線相交，所以，則，所以.故選：C考點三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域為C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】C【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，故C錯誤，D正確.故選：C.3．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，即可判斷為奇函數(shù)，又，可得圖象的對稱中心為，則，再判斷的單調(diào)性，不等式，即，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)．又，則的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的，所以圖象的對稱中心為，所以．因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，解得，故滿足的的取值范圍為．故選：B4．（2024·全國·模擬預測）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是減函數(shù)，所以．又因為函數(shù)5）圖像的對稱軸是直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是．故選:B．1．（2024·江西·模擬預測）函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】令，則，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，又函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合圖象，如圖所示，可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和．故選：C．2．（2024·福建福州·模擬預測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由復合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．故選：D．3．（2024·吉林長春·模擬預測）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域為C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B，根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，故C錯誤，D正確.故選：ABD4．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，且在處連續(xù)，故在R上單調(diào)遞減，由，則，解得,故不等式的解集為.故選：A考點四、指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值1．（23-24高三·階段練習）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，值域為．【答案】【分析】根據(jù)同增異減法則求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域.【詳解】令，解得或，∴的定義域為，令，則其在上遞減，在上遞增，又為減函數(shù)，故的增區(qū)間為．∵，∴，故的值域為．故答案為：，.2．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】令，，，，分類討論的取值范圍，判斷，的單調(diào)性，結(jié)合存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案．【詳解】由題意，令，，，，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在上的值域為，因為存在最小值，故需，解得，結(jié)合，此時；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的值域為，因為存在最小值，故需，即，解得，這與矛盾；當時，在上單調(diào)遞減，且在上的值域為，，此時存在最小值2；則實數(shù)的取值范圍為或．故答案為：或．3．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對實數(shù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.【詳解】當時，，符合題意；當時，因為函數(shù)的值域為滿足，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；若時，依題意有的最小值，即，若時，不符合題意；綜上：，故選：B.1．（2024·貴州·模擬預測）已知函數(shù)，則的最大值是.【答案】16【分析】求出的范圍，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由，而，因為單調(diào)遞增，所以，則的最大值是16.故答案為：162．（2024·山東菏澤·模擬預測）若函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出的值域，再借助二次函數(shù)求出的值域，最后利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)的值域為.故選：D3．（2024·河北保定·三模）已知的值域為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮崝?shù)的取值范圍.【詳解】①若，當時，在上單調(diào)遞減，此時，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數(shù)的值域D滿足，則解得；②若，當時，在上單調(diào)遞增，此時，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數(shù)的值域D滿足，不合題意；③當時，，若，有（當且僅當時取等號）符合題意，綜上所述：.故選：D.考點五、指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?．（2024·云南·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中間數(shù)比較與，根據(jù)中間數(shù)比較與.【詳解】因為，，所以，因為，，所以，所以.故選：D.2．（2024·天津·一模）已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，得到，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，而，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，得到，又，函數(shù)是減函數(shù)，所以，又，得到，所以，故選：A.3．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導數(shù)得其單調(diào)性，可判斷，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此可得，即，所以，又指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增，可得，即，因為，所以.故選：A.1．（2024·四川·模擬預測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，所以，又由冪函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)，所以，又因為指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以，綜上可得：，故選：D.2．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D3．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)證明不等式，可得；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得，則，即可求解.【詳解】對于函數(shù)，，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即.所以，.由，得，所以，則，所以，即.所以.故選：B【點睛】方法點睛：對于比較實數(shù)大小方法：（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進行比較，（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進行判斷.一、單選題1．（2024·陜西渭南·二模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)值域化簡集合，再利用并集的定義求解即得.【詳解】當時，，則，而，所以.故選：C2．（2024·河南·模擬預測）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，所以．故選：C．3．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分和兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞增；若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞減；綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.故選：C．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶函數(shù)求得參數(shù)值，進而得表達式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，所以函數(shù)，其增區(qū)間為.故選：B．5．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“同增異減”判斷復合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則在上單調(diào)遞增.因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：，解得4.故選：6．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用時，和可求得的解析式.【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.即.故選：C7．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱得零點關(guān)于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個可得答案.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，令，則，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的零點關(guān)于對稱，但的零點個數(shù)為奇數(shù)個，則.故選：D.二、填空題8．（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)，則.【答案】【分析】利用已知的分段函數(shù)，可先求，再求即可.【詳解】因為，所以.所以.故答案為：.9．（2024·全國·模擬預測）寫出一個同時滿足下面條件①②的函數(shù)解析式．①；②的值域為．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和指數(shù)運算即可得到答案.【詳解】對于任意指數(shù)函數(shù)函數(shù)且,條件①，對于任意，都有，條件②，是指數(shù)函數(shù)，所以的值域為，例如：函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，滿足條件①②.故答案為：（答案不唯一）.10．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，推得，為真命題，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域的范圍，即可求解．【詳解】命題“，”為假命題，則，為真命題，又則，故實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得.【詳解】由對稱中心性質(zhì)可知函數(shù)滿足，即，整理可得，即，解得.故選：C2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，函數(shù)為增函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，因為，所以，故.故選：B3．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，若，且，則下面結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，根據(jù)基本不等式判斷，根據(jù)指數(shù)的運算判斷.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，又，所以，故正確；因為，，所以，又，所以上式取不到等號，所以，故正確；，，，，，故錯誤；，，故正確.故選：C.4．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數(shù)方程有兩個不同的根，分別是則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得：為R上的增函數(shù)，且當時，，，當時，，，方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知與圖象關(guān)于對稱，則兩點關(guān)于對稱，中點在圖象上，由，解得：.所以.故選：B5．（23-24高三下·河南周口·開學考試）若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】由題意知，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以，即，所以，又，又，所以，所以，所以．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是對已知實數(shù)進行變形，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.6．（2022·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調(diào)性即可比較大小.【詳解】令，求導得，當時，，則在上單調(diào)遞減，則，即，而，于是，所以.故選：D二、多選題7．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為B．的值域為C．當時，為奇函數(shù)D．當時，【答案】ACD【分析】由分母不為零求出函數(shù)的定義域，即可判斷A，再分、分別求出函數(shù)值的取值范圍，即可得到函數(shù)的值域，從而判斷B，根據(jù)奇偶性判斷C，根據(jù)指數(shù)冪的運算判斷D.【詳解】對于函數(shù)，令，解得，所以的定義域為，故A正確；因為，當時，所以，當時，所以，綜上可得的值域為，故B錯誤；當時，則，所以為奇函數(shù)，故C正確；當時，則，故D正確.故選：ACD三、填空題8．（2024·遼寧·模擬預測）命題“任意，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為存在，為真命題，即，求出的最小值得解.【詳解】若命題任意“，”為假命題，則命題存在，為真命題，因為時，，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為：.9．（2024·上?！と＃┤?，，則滿足的m的最大值為．【答案】/【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用偶函數(shù)的單調(diào)性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值.【詳解】當時，，即，當時，，即，于是，在上，都成立，即為偶函數(shù).由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，因此，不等式等價于，即，解得.故m的最大值為.故答案為：.10．（2024·廣東廣州·三模）函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a的一個可能取值為．【答案】4（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，在R上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.【詳解】因為且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在R上單調(diào)遞增，，解得.故答案為：4（答案不唯一）.1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.2．（2024·天津·高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：B3．（