《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》提升版第三章第4講　二次函數(shù)與冪函數(shù)

第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)[課程標(biāo)準(zhǔn)]通過具體實例，結(jié)合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．冪函數(shù)(1)定義：函數(shù)eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義．②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．1．冪函數(shù)圖象的特征(1)在(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸(簡記為“指大圖低”)．(2)在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)在第一象限內(nèi)圖象的畫法(1)當(dāng)α<0時，其圖象可類似y＝x－1畫出．(2)當(dāng)0<α<1時，其圖象可類似y＝xeq\s\up7(\f(1,2))畫出．(3)當(dāng)α>1時，其圖象可類似y＝x2畫出．3．二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．4．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間[m，n]上的最大、最小值的分布情況(1)若－eq\f(b,2a)∈[m，n]，則f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))).(2)若－eq\f(b,2a)?[m，n]，則f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．1．(人教A必修第一冊復(fù)習(xí)參考題3T5改編)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(2，4)，則f(－3)＝()A．－9 B．9C．3 D．－3答案B解析因為冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故選B.2．若函數(shù)y＝ax與y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上()A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．先減再增 D．先增再減答案B解析∵函數(shù)y＝ax與y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴a<0，b<0，則y＝ax2＋bx的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是減函數(shù)．3．函數(shù)g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．答案[－1，3]解析∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域為[－1，3]．4．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3)).若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＝________．答案－1解析∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴α可?。?，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴α<0，故α＝－1.5．(人教B必修第二冊4.4例1改編)比較下列各題中兩個值的大?。?1)1.70.9________1.80.9；(2)(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))________3－eq\s\up7(\f(1,2)).答案(1)<(2)≤解析(1)因為冪函數(shù)y＝x0.9在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.80.9.(2)因為冪函數(shù)y＝x－eq\s\up7(\f(1,2))在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且|a|＋3≥3，所以(|a|＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))≤3－eq\s\up7(\f(1,2)).考向一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)(2024·成都模擬)冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m－3)xm在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是()A．m＝4 B．f(x)是減函數(shù)C．f(x)是奇函數(shù) D．f(x)是偶函數(shù)答案C解析函數(shù)f(x)＝(m2－3m－3)xm為冪函數(shù)，則m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.當(dāng)m＝4時，f(x)＝x4在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足題意，排除A；當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－1在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，滿足題意．函數(shù)f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因為函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝eq\f(1,－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤．故選C.(2)若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c答案B解析由冪函數(shù)的圖象可知在(0，1)上冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖知a>b>c>d.故選B.(3)(2023·安陽三模)已知冪函數(shù)f(x)＝xα滿足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．b>a>c D．b>c>a答案C解析冪函數(shù)f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)，所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,3))，所以f(x)是定義域為R的增函數(shù)，又a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，且log42＝eq\f(1,2)，ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，5－eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，所以ln2>log42>5－eq\s\up7(\f(1,2))，即f(ln2)>f(log42)>f(5－eq\s\up7(\f(1,2)))，所以b>a>c.故選C.冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)；在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．(3)當(dāng)α＞0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)α＜0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．1．冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．－1 B．0C．1 D．2答案C解析從圖象上看，由于圖象不過原點，且在第一象限單調(diào)遞減，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負(fù)偶數(shù)，將m＝0，1，2分別代入，可知當(dāng)m＝1時，m2－2m－3＝－4，滿足要求．故選C.2．(2023·?？谌?設(shè)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a答案A解析a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up7(\f(1,4))＞1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜1，且0＜eq\f(8,27)＜eq\f(9,16)＜1，函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(1,4))在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(1,4))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)))eq\s\up7(\f(1,4))，所以c＜a.綜上可知，c＜a＜b.故選A.考向二求二次函數(shù)的解析式例2若二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝－4x2＋4x＋7解析解法一(利用一般式)：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用頂點式)：設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對稱軸為直線x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8.∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用兩根式)：由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)f(x)有最大值8，即eq\f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8，解得a＝－4.∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.確定二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x為偶函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，求f(x)的解析式．條件①：函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為5；條件②：函數(shù)f(x)≤0的解集為{1}；條件③：方程f(x)＝0有兩根x1，x2，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10.解函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，則g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，因為g(x)為偶函數(shù)，所以g(－x)＝g(x)，即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋c，圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1.若選條件①，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為5，所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3.所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.若選條件②，由函數(shù)f(x)≤0的解集為{1}，可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x＋1.若選條件③，方程f(x)＝0有兩根x1，x2，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝10.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c，又(x1＋x2)2＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋2x1x2，所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.多角度探究突破考向三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度二次函數(shù)圖象的識別例3(多選)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．b＝－2aB．a(chǎn)＋b＋c＜0C．a(chǎn)－b＋c＞0D．a(chǎn)bc＜0答案AD解析由圖象可知a＜0，f(x)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝1，則b＝－2a，則b＞0，又f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由于f(－1)＜0，則a－b＋c＜0，由于f(1)＞0，則a＋b＋c＞0.故選AD.識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()答案C解析若a＞0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a＜0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于B，看直線可知a＞0，b＞0，從而－eq\f(b,2a)＜0，而二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B.故選C.角度二次函數(shù)的單調(diào)性例4(1)(2023·濟南二模)若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)滿足f(1)＝f(3)，則下列不等式成立的是()A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)答案B解析因為f(1)＝f(3)，所以二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝2，又因為a<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2)．故選B.(2)(2023·上海徐匯區(qū)模擬)函數(shù)f(x)＝x2－6|x|＋8的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案(－∞，－3]和[0，3]解析由題意，f(x)＝x2－6|x|＋8＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋8，x≥0，,x2＋6x＋8，x<0，))所以當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)在[0，3]上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時，函數(shù)f(x)在(－∞，－3]上單調(diào)遞減，在(－3，0)上單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3]和[0，3]．1．決定二次函數(shù)單調(diào)性的兩個關(guān)鍵因素2．利用二次函數(shù)單調(diào)性比較大小的兩個常用方法(1)利用對稱軸一側(cè)的單調(diào)性比較大小(2)利用圖象中對應(yīng)點的高低關(guān)系比較大小當(dāng)拋物線開口向上時，離對稱軸越遠(或越近)的點，位置越高(或越低)，這個點的縱坐標(biāo)越大(或越小)；當(dāng)拋物線開口向下時，離對稱軸越遠(或越近)的點，位置越低(或越高)，這個點的縱坐標(biāo)越小(或越大)．(多選)(2024·濟南一中調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)＝－x3＋m與函數(shù)g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的單調(diào)性，則k的取值可以是()A．1 B.eq\f(3,2)C．2 D．3答案CD解析易知f(x)＝－x3＋m在R上是減函數(shù)．依題設(shè)，函數(shù)g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(k,2)≥1，則k≥2.故k的取值可以是2，3.角度二次函數(shù)的最值問題例5(2024·蘇州模擬)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值．解(1)若f(0)≥1，則－a|－a|≥1，顯然a<0，則－a(－a)≥1，即a2≥1，解得a≤－1，所以a的取值范圍為(－∞，－1]．(2)當(dāng)x≥a時，f(x)＝2x2＋(x－a)2＝3x2－2ax＋a2，此時f(x)圖象開口向上，對稱軸為直線x＝eq\f(a,3)，(ⅰ)當(dāng)eq\f(a,3)≤a，即a≥0時，f(x)在[a，＋∞)上單調(diào)遞增，此時f(x)min＝f(a)＝2a2；(ⅱ)當(dāng)eq\f(a,3)>a，即a<0時，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))上單調(diào)遞增，此時f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))eq\s\up12(2)－2a·eq\f(a,3)＋a2＝eq\f(2,3)a2.當(dāng)x≤a時，f(x)＝2x2－(x－a)2＝x2＋2ax－a2，此時f(x)圖象開口向上，對稱軸為直線x＝－a，①當(dāng)－a<a，即a>0時，f(x)在(－∞，－a]上單調(diào)遞減，在(－a，a]上單調(diào)遞增，此時f(x)min＝f(－a)＝－2a2；②當(dāng)－a＝a，即a＝0時，f(x)＝x2，f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，此時f(x)min＝f(0)＝0；由①②得，當(dāng)a≥0時，f(x)min＝－2a2.③當(dāng)－a>a，即a<0時，f(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，此時f(x)min＝f(a)＝2a2.綜上，當(dāng)a≥0時，因為2a2≥－2a2，所以f(x)min＝－2a2；當(dāng)a<0時，因為2a2>eq\f(2,3)a2，所以f(x)min＝eq\f(2,3)a2.故f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a2，a≥0，,\f(2,3)a2，a<0.))二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略(1)類型：①對稱軸、區(qū)間都是給定的；②對稱軸動、區(qū)間固定；③對稱軸定、區(qū)間變動．(2)求解策略：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，則m的取值范圍是()A．[0，4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))答案D解析二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，結(jié)合函數(shù)圖象(如圖所示)，可得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).角度與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題例6已知兩函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k為實數(shù)．(1)對任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范圍；(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；(3)對任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范圍．解(1)設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，問題轉(zhuǎn)化為x∈[－3，3]時，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)max＝h(3)＝86－k，由86－k≤0，得k≥86，即k的取值范圍為[86，＋∞)．(2)由題意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，由－10－k≤0，得k≥－10，即k的取值范圍為[－10，＋∞)．(3)對任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.由120－k≤2，得k≥118，即k的取值范圍為[118，＋∞)．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是構(gòu)造新函數(shù)．(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(2023·保定模擬)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為3，且f(1)＝f(3)＝5.(1)求f(x)的解析式；(2)若y＝f(x)的圖象恒在直線y＝2x＋2m＋1的上方，求實數(shù)m的取值范圍．解(1)根據(jù)題意得二次函數(shù)f(x)的頂點坐標(biāo)為(2，3)，設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把點(3，5)代入得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.(2)y＝f(x)的圖象恒在直線y＝2x＋2m＋1的上方?f(x)－(2x＋2m＋1)>0恒成立，令g(x)＝2x2－8x＋11－(2x＋2m＋1)＝2x2－10x＋10－2m，若g(x)＝2x2－10x＋10－2m>0恒成立，則Δ＝(－10)2－4×2×(10－2m)<0，解得m<－eq\f(5,4)，即實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,4))).課時作業(yè)一、單項選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(－∞，0)上()A．是增函數(shù) B．不是單調(diào)函數(shù)C．是減函數(shù) D．不能確定答案A解析因為函數(shù)f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即eq\f(m,m－1)＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3為開口向下的拋物線，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增．故選A.2．有下列四個冪函數(shù)，某同學(xué)研究了其中的一個函數(shù)，并給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：①是偶函數(shù)；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上單調(diào)遞增．如果給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則該同學(xué)研究的函數(shù)是()A．y＝x－1 B．y＝x－2C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up7(\f(1,3))答案B解析對于A，y＝x－1是奇函數(shù)，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，三個性質(zhì)中有兩個不正確，不符合題意；對于B，y＝x－2是偶函數(shù)，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，三個性質(zhì)中有兩個正確，符合題意；同理可判斷C，D中的函數(shù)不符合題意．故選B.3．若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2，eq\r(2))，則函數(shù)y＝f(x)＋1－x的最大值為()A．1 B.eq\f(5,4)C．2 D.eq\f(7,3)答案B解析設(shè)f(x)＝xα，∵f(x)的圖象過點(2，eq\r(2))，∴f(2)＝2α＝eq\r(2)，則α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\r(x)，∴y＝eq\r(x)＋1－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(5,4)，∴函數(shù)的最大值為eq\f(5,4).故選B.4．(2024·上海黃浦區(qū)模擬)如圖所示是函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(m,n))(m，n均為正整數(shù)且m，n互質(zhì))的圖象，則()A．m，n是奇數(shù)且eq\f(m,n)＜1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＜1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＞1D．m，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＞1答案B解析由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝xeq\s\up7(\f(m,n))與y＝x恒過點(1，1)，即在第一象限的交點為(1，1)，當(dāng)0＜x＜1時，xeq\s\up7(\f(m,n))＞x，則eq\f(m,n)＜1，又y＝xeq\s\up7(\f(m,n))的圖象關(guān)于y軸對稱，∴y＝xeq\s\up7(\f(m,n))為偶函數(shù)，∴(－x)eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,（－x）m)＝xeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,xm)，又m，n互質(zhì)，∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．故選B.5．(2023·北京海淀一模)設(shè)b>0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為()A．1 B．－1C.eq\f(－1－\r(5),2) D.eq\f(－1＋\r(5),2)答案B解析由題意知b>0，a≠0，所以二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象不關(guān)于y軸對稱，故排除第一、二個函數(shù)圖象，當(dāng)a>0時，該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)<0，故第四個圖象也不滿足題意，當(dāng)a<0時，該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)>0，開口向下，故第三個函數(shù)圖象滿足題意．此時函數(shù)圖象過坐標(biāo)原點，故a2－1＝0，解得a＝±1，由于a<0，故a＝－1.故選B.6．(2024·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x2－mx－3m，則“m>2”是“f(x)<0對x∈[1，3]恒成立”的()A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析若f(x)<0對x∈[1，3]恒成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝2－4m<0，,f（3）＝18－6m<0，))解得m>3，又{m|m>3}是{m|m>2}的真子集，所以“m>2”是“f(x)<0對x∈[1，3]恒成立”的必要不充分條件．7．(2023·合肥包河區(qū)校級模擬)若0<x1<x2，則下列函數(shù)：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq\r(x)；⑤f(x)＝eq\f(1,x)中，滿足條件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)(0<x1<x2)的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案D解析若滿足條件feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≤eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)(0<x1<x2)，則函數(shù)圖象在y軸右側(cè)為一條直線或下凸曲線，根據(jù)函數(shù)圖象易得④f(x)＝eq\r(x)不滿足，其余都滿足．故選D.8．(2023·蘇州三模)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(ax2－2ax)(a<0)的定義域為D，對于任意m，n∈D，若所有點P(m，f(n))構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則實數(shù)a的值為()A．－1 B．－2C．－3 D．－4答案D解析由已知可得，ax2－2ax≥0.因為a<0，所以x2－2x≤0，解得0≤x≤2，所以D＝[0，2]．因為y＝x2－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，所以y＝x2－2x在x＝1處取得最小值－1，所以y＝a(x2－2x)在x＝1處取得最大值－a，所以函數(shù)f(x)＝eq\r(ax2－2ax)在x＝1處取得最大值eq\r(－a).因為f(0)＝f(2)＝0，所有點P(m，f(n))構(gòu)成一個正方形區(qū)域，所以eq\r(－a)＝2，所以a＝－4.故選D.二、多項選擇題9．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(1，0)，…，求證這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是()A．在x軸上截得的線段的長度是2B．與y軸交于點(0，3)C．頂點是(－2，－2)D．圖象過點(3，0)答案ABD解析易知二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)·(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，圖象與x軸的兩交點為(1，0)，(3，0)，故在x軸上截得的線段長為2，A，D正確；將x＝0代入二次函數(shù)的解析式得y＝3a，故B可能正確；頂點的橫坐標(biāo)為2，故C錯誤．故選ABD.10．若兩函數(shù)具有相同的定義域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、值域，則稱這兩函數(shù)為“親密函數(shù)”．下列函數(shù)中，與函數(shù)f(x)＝x4是“親密函數(shù)”的是()A．y＝xeq\s\up7(\f(2,3)) B．y＝2|x|－1C．y＝eq\f(x2,1＋x2) D．y＝eq\f(x2,2)答案ABD解析易知函數(shù)f(x)＝x4的定義域為R，是偶函數(shù)，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，值域為[0，＋∞)，選項中四個函數(shù)的定義域都為R且都為偶函數(shù)，單調(diào)性也與函數(shù)f(x)＝x4保持一致，但是y＝eq\f(x2,1＋x2)＝1－eq\f(1,1＋x2)的值域為[0，1)，y＝xeq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,x2)≥0，y＝2|x|－1≥0，y＝eq\f(x2,2)≥0.故選ABD.11．已知冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，則下列結(jié)論正確的是()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定義域是RC．f(x)是偶函數(shù)D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3]答案ACD解析冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，∴m＋eq\f(9,5)＝1，∴m＝－eq\f(4,5)，∴f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，B錯誤；∵f(－32)＝(－32)－eq\s\up7(\f(4,5))＝eq\f(1,16)，A正確；f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))＝eq\f(1,\r(5,x4))，定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝eq\f(1,\r(5,（－x）4))＝eq\f(1,\r(5,x4))＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，C正確；∵f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又f(x)是偶函數(shù)，∴不等式f(x－1)≥f(2)等價于f(|x－1|)≥f(2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,|x－1|≤2，))解得－1≤x<1或1<x≤3，D正確．故選ACD.三、填空題12．(2023·天津模擬)函數(shù)f(x)＝9x2＋eq\r(x－1)的最小值為________．答案9解析∵f(x)的定義域為[1，＋∞)，且y＝9x2與y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)上均為增函數(shù)，∴f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝f(1)＝9.13．(2024·淮安盱眙中學(xué)月考)已知冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up7(\f(1,10))，若f(a－1)<f(8－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(3，4)解析由冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up7(\f(1,10))＝eq\f(1,\r(10,x))＝x－eq\f(1,10)，可得函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且是減函數(shù)．因為f(a－1)<f(8－2a)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1>8－2a，,a－1>0，,8－2a>0，))解得3<a<4，即實數(shù)a的取值范圍為(3，4)．14．(2024·濰坊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c<x≤3.))若c＝0，則f(x)的值域是________；若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，則實數(shù)c的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析當(dāng)c＝0時，即x∈[－2，0]時，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，當(dāng)x∈(0，3]時，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))，所以f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).作出y＝x2＋x和y＝eq\f(1,x)的圖象如圖所示，當(dāng)f(x)＝－eq\f(1,4)時，x＝－eq\f(1,2)；當(dāng)x2＋x＝2時，x＝1或x＝－2；當(dāng)eq\f(1,x)＝2時，x＝eq\f(1,2)，由圖象可知當(dāng)f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))時，需滿足eq\f(