福建省泉州市永春縣僑中聯(lián)考2024-2025學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

2024-2025學年福建省泉州市永春縣僑中聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷一.選擇題（每題4分，共40分）1．（4分）下列四個數(shù)，二次根式中x不可取的數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（4分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．3．（4分）已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是（）A． B． C． D．4．（4分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D均在格點上，連接AD，BC交于點E，則S△ABE：S△DCE＝（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：15．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．6．（4分）若關于x的一元二次方程的根為，則這個方程是（）A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝07．（4分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，某款燃油汽車2月份的售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，可列方程正確的是（）A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.638．（4分）老師設計了一個“接力游戲”，用合作的方式完成二次根式的混合運算，如圖，老師把題目交給一位同學，他完成一步解答后交給第二位同學，依次進行，最后完成計算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．接力中，自己負責的式子出現(xiàn)錯誤的是（）A．小明和小麗 B．小麗和小紅 C．小紅和小亮 D．小麗和小亮9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則m3﹣4n2+2024的值為（）A．2002 B．2003 C．2004 D．200510．（4分）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm二.填空題（每題4分，共2A分）11．（4分）已知四條線段6，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為．12．（4分）關于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為．13．（4分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是．14．（4分）根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一物體從地面以9.8m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x秒物體離地面的高度（單位：m）約為9.8x﹣4.9x2．根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過秒落回到地面．15．（4分）如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長為．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D為直線AC左側(cè)一點．若△ABC∽△CAD，則BC+CD的最大值為．三.解答題（共86分）17．（8分）計算：÷﹣×+．18．（8分）如圖，已知線段AB與CD交于點O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求證：△AOC∽△DOB．19．（8分）下面是小穎同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．解：2x2﹣3x﹣5＝0．，第一步，第二步，第三步x﹣，第四步x﹣，或x﹣，第五步x1＝，x2＝﹣1．第六步任務一：①小穎解方程的方法是；A．直接開平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是；任務二：請你用“公式法“解該方程．20．（8分）已知，．（1）求ab及a2+b2的值；（2）求不超過a5的最大整數(shù)．21．（8分）如圖，已知△ABC，點D在BC延長線上，且CD＝BC．（1）求作?ACDE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若F是DE的中點，連接BF交AC于點M，連接CE交BF于點N，求的值．22．（10分）某汽車租賃公司共有汽車50輛，市場調(diào)查表明，當租金為每輛每日200元時可全部租出，當租金每提高10元，租出去的汽車就減少2輛．（1）若租金提高了40元，租出去的汽車有輛，日收益為元；（2）公司希望日收益達到10160元，你認為能否實現(xiàn)？若能，求出此時的租金；若不能，請說明理由．23．（10分）已知關于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n為整數(shù)．（1）求證：此方程不可能有兩個相等的實數(shù)根．（2）若方程的兩個根均為整數(shù)，求n的值．24．（12分）綜合與實踐：（1）活動一（閱讀經(jīng)典）如圖1，等腰△ABC，頂角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求證：△ABD和△BCD都為等腰三角形．這個例題大家都熟悉．這個△ABC是個特殊等腰三角形，平分線把圖中等腰△ABC分成三個等腰三角形，底邊與腰的比值等于黃金分割值，我們把這種三角形稱為黃金三角形．以下是求等腰△ABC的底邊與腰的比值過程：由△ABC、△ABD和△BCD都為等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，設CD＝x，AD＝BD＝BC＝y(tǒng)，因為底角∠ACB＝∠BCD，則∠BAC＝∠CBD．所以△BDC∽△ABC，所以，得．整理，得到，解得＝．所以等腰△ABC的底邊與腰的比值等于（保留三位小數(shù)）．活動小結(jié)：通過輔助線（分割線），可以求得一些不是特殊圖形（包含三角形、角等常見圖形）的一些線段的比值．（2）活動二（實踐研究）：如圖2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求邊BC與邊AB的比值．解：過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E．（以上是小龍同學解此題所作的輔助線，請您幫助小龍完成剩下的解答過程．）（3）活動三（問題解決）在活動二（實踐研究）原有條件不變情況下，老題新增以下條件，并提出問題，請解答問題：如圖3，延長BA到點D，使得AD＝AB，連接CD，求的值．25．（14分）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，點E在AB上．（1）當AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求證：∠DCE＝45°．（2）如圖2，延長CD及BA相交于點F，延長CE及DA相交于點G，△AED的周長為2．①求AF?AG的值．②連接FG，F(xiàn)G⊥CF，取FG的中點M，連接CM，作FN⊥CM，連接NG，求NG與NC的數(shù)量關系．

2024-2025學年福建省泉州市永春縣僑中聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（每題4分，共40分）1．（4分）下列四個數(shù)，二次根式中x不可取的數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進行解答即可．【解答】解：∵二次根式有意義，∴x﹣1≥0，解得：x≥1，∵0＜1＜2＜3，∴x不可取的數(shù)為0，故A正確．故選：A．2．（4分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同類二次根式的定義進行解題即可．【解答】解：A、與不是同類二次根式；B、與不是同類二次根式；C、與不是同類二次根式；D、＝2，與是同類二次根式；故選：D．3．（4分）已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積．對選項一一分析，選出正確答案．【解答】解：A、兩邊同時乘以最簡公分母pn得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；B、兩邊同時乘以最簡公分母mq得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；C、兩邊同時乘以最簡公分母qm得pq＝mn，與原式相等，正確，不符合題意；D、兩邊同時乘以最簡公分母qn得mq＝pn，與原式不相等，錯誤，符合題意；故選：D．4．（4分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D均在格點上，連接AD，BC交于點E，則S△ABE：S△DCE＝（）A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1【答案】D【分析】判定△ABE∽△DCE，由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△DCE，∴S△ABE：S△DCE＝AB2：CD2，∵AB＝6，CD＝2，∴S△ABE：S△DCE＝9：1．故選：D．5．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，將△ABC沿圖中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△DBE∽△ABC，可判斷A不符合題意；由∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△FGC∽△ABC，可判斷B不符合題意；由＝＝，∠A＝∠A，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明△ACH∽△ABC，可判斷C不符合題意；由△IBJ與△ABC的對應邊不成比例，可知△IBJ與△ABC不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：如圖1，∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC，故A不符合題意；如圖2，∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，∴△FGC∽△ABC，故B不符合題意；如圖3，∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACH∽△ABC，故C不符合題意；如圖4，△IBJ與△ABC的對應邊不成比例，∴△IBJ與△ABC不相似，故D符合題意，故選：D．6．（4分）若關于x的一元二次方程的根為，則這個方程是（）A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0【答案】D【分析】根據(jù)公式法解答，即可求解．【解答】解：∵關于x的一元二次方程的根為，∴二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為﹣4，常數(shù)項為﹣2，∴這個方程為x2﹣4x﹣2＝0．故選：D．7．（4分）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，某款燃油汽車2月份的售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，可列方程正確的是（）A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63【答案】B【分析】首先根據(jù)2月份售價為23萬元，月平均降價率是x可得出3月份的售價為23（1﹣x）萬元，4月份的售價為23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2萬元，據(jù)此根據(jù)4月份售價為18.63萬元可列出方程，進而可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：23（1﹣x）2＝18.63．故選：B．8．（4分）老師設計了一個“接力游戲”，用合作的方式完成二次根式的混合運算，如圖，老師把題目交給一位同學，他完成一步解答后交給第二位同學，依次進行，最后完成計算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．接力中，自己負責的式子出現(xiàn)錯誤的是（）A．小明和小麗 B．小麗和小紅 C．小紅和小亮 D．小麗和小亮【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，對每步算式進行計算即可．【解答】解：因為＝，所以小明沒有出現(xiàn)錯誤．因為＝＝，所以小麗出現(xiàn)錯誤．因為，所以小紅出現(xiàn)錯誤．因為＝，所以小亮沒有出現(xiàn)錯誤．故選：B．9．（4分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則m3﹣4n2+2024的值為（）A．2002 B．2003 C．2004 D．2005【答案】D【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系和m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，通過變形可以求得m3﹣4n2+2024的值．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，∴m3＝m?m2＝m（3﹣m）＝3m﹣m2＝3m﹣（3﹣m）＝4m﹣3，∴m3﹣4n2+2024＝4m﹣3﹣4（3﹣n）+2024＝4m﹣3﹣12+4n+2024＝4（m+n）+2009＝﹣4+2009＝2005．故選：D．10．（4分）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm【答案】C【分析】先證△CAE∽△COF得出，再證△OAB∽△OCD，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出，即可求出CD的長．【解答】解：由題意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四邊形ABOE是平行四邊形，∴AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝13.5cm，故選：C．二.填空題（每題4分，共2A分）11．（4分）已知四條線段6，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為7．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．【解答】解：∵四條線段6，3，a+1，4是成比例線段，∴6：3＝（a+1）：4，即3（a+1）＝4×6，解得a＝7．故答案為：7．12．（4分）關于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根可知Δ＝0，即1﹣4c＝0，即可解得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即1﹣4c＝0，解得c＝；故答案為：．13．（4分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是b．【答案】b．【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷a與a+b和0的關系，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可得到答案；【解答】解：由數(shù)軸可得，a＜0＜b，|a|＞|b|∴a+b＜0，∴，故答案為：b．14．（4分）根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一物體從地面以9.8m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x秒物體離地面的高度（單位：m）約為9.8x﹣4.9x2．根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過2秒落回到地面．【答案】2．【分析】根據(jù)“物體落回到地面”可得9.8x﹣4.9x2＝0，解此方程即可．【解答】解：由題意可得：9.8x﹣4.9x2＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝2，∴物體經(jīng)過2秒落回到地面．故答案為：2．15．（4分）如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長為﹣1．【答案】﹣1．【分析】已知圖中的①和②，③和④形狀大小分別完全相同，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可知①④能拼成一個直角三角形，②③能拼成一個直角三角形，并且這兩個直角三角形形狀大小相同，利用這兩個直角三角形即可拼成矩形；利用拼圖前后的面積相等列出方程求解即可得出答案．【解答】解：如圖：設AB＝b，圖1中的正方形面積為4，∴正方形邊長為2，直角三角形①中的長直角邊為2，∴b（2+b）＝4，解得：h＝﹣1（負值已舍去），∴AB＝﹣1，故答案為：﹣1．16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D為直線AC左側(cè)一點．若△ABC∽△CAD，則BC+CD的最大值為．【答案】．【分析】由相似三角形的性質(zhì)得出CD＝AC2，進而求出CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，設BC＝x，則BC+CD＝﹣+，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△CAD，∴＝，∵AB＝3，∴＝，∴CD＝AC2，∵∠ACB＝90°，∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2，∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，設BC＝x，∴BC+CD＝x+3﹣x2＝﹣+∴x＝時，BC+CD的最大值為．故答案為：．三.解答題（共86分）17．（8分）計算：÷﹣×+．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先計算乘法和除法，再合并即可得．【解答】解：原式＝﹣+2＝4+18．（8分）如圖，已知線段AB與CD交于點O，OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，求證：△AOC∽△DOB．【答案】證明過程見解析．【分析】由已知條件證得，由相似三角形的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，∴，，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△DOB．19．（8分）下面是小穎同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．解：2x2﹣3x﹣5＝0．，第一步，第二步，第三步x﹣，第四步x﹣，或x﹣，第五步x1＝，x2＝﹣1．第六步任務一：①小穎解方程的方法是C；A．直接開平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1；任務二：請你用“公式法“解該方程．【答案】任務一：①C；②等式基本性質(zhì)一；任務二：見解答．【分析】任務一：根據(jù)解答過程和等式的基本性質(zhì)求解即可；任務二：根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解即可．【解答】解：任務一：①由題意知，小穎解方程的方法是配方法，故選：C；②解方程過程中第二步變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1，故答案為：等式的基本性質(zhì)1；任務二：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣1．20．（8分）已知，．（1）求ab及a2+b2的值；（2）求不超過a5的最大整數(shù)．【答案】（1）ab＝1，a2+b2＝3；（2）11．【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入計算即可；（2）先求出a2，a4，再計算a8＝（a4）2，最后a10＝a8?a2，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）∵a＝，b＝，∴ab＝＝＝﹣1，a+b＝＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3；（2）∵a2＝（）2＝，∴a4＝（）2＝，∴a5＝＝∵≈2.236，∴a5＞＞11，＜12．因此，不超過a10的最大整數(shù)為11．21．（8分）如圖，已知△ABC，點D在BC延長線上，且CD＝BC．（1）求作?ACDE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若F是DE的中點，連接BF交AC于點M，連接CE交BF于點N，求的值．【答案】（1）見解析過程；（2）．【分析】（1）以點C為圓心，AB為半徑畫弧，以點D為圓心，AC為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，則四邊形ACDE為平行四邊形；（2）通過證明△BCM∽△BDF，可得DF＝2CM，通過證明△CMN∽△EFN，可求解．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AC∥DE，∴△BCM∽△BDF，∴，∵CD＝BC，∴BD＝2BC，∴DF＝2CM，∵點F是DE的中點，∴EF＝DF＝2CM，∵AC∥DE，∴△CMN∽△EFN，∴＝＝．22．（10分）某汽車租賃公司共有汽車50輛，市場調(diào)查表明，當租金為每輛每日200元時可全部租出，當租金每提高10元，租出去的汽車就減少2輛．（1）若租金提高了40元，租出去的汽車有42輛，日收益為10080元；（2）公司希望日收益達到10160元，你認為能否實現(xiàn)？若能，求出此時的租金；若不能，請說明理由．【答案】（1）42；10080；（2）日收益不能達到10160元．見解答．【分析】（1）租金提高40元，則每日可租出（50﹣）輛，根據(jù)總租金＝每輛車的租金×租車輛數(shù)解答；（2）根據(jù)總租金＝每輛車的租金×租車輛數(shù)，即可得出關于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＜0，即可得出該一元二次方程無解，進而可得出日收益不能達到10160元．【解答】解：（1）根據(jù)題意知，每日可租出：50﹣＝42（輛），日收益為：240×42＝10080（元）．故答案為：42；10080；（2）假設能實現(xiàn)，租金提高x元，依題意，得：（200+x）（50﹣）＝10160，整理，得：x2﹣50x+800＝0，∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×800＜0，∴該一元二次方程無解，∴日收益不能達到10160元．23．（10分）已知關于x的方程：x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，其中n為整數(shù)．（1）求證：此方程不可能有兩個相等的實數(shù)根．（2）若方程的兩個根均為整數(shù)，求n的值．【答案】（1）證明見解答過程；（2）10或﹣18或0或﹣8．【分析】（1）先求出該方程根據(jù)的判別式為16（n+4）2﹣232，再根據(jù)n為整數(shù)得16（n+4）2﹣232≠0，由此可得出答案；（2）將該方程配方得（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，進而得（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，然后根據(jù)x，n均為整數(shù)，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），將該方程轉(zhuǎn)化為關于n，x的方程中，然后解方程組求出n的值就可．【解答】證明：（1）對于方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，根的判別式為：（﹣6）2﹣4×（﹣4n2﹣32n）＝16n2+128n+36＝16（n+4）2﹣232，∵n為整數(shù)，∵16（n+4）2是一個整數(shù)的平方，232不是完全平方數(shù)，∴當n為整數(shù)時，16（n+4）2﹣232≠0，∴此方程不可能有兩個相等的實數(shù)根．（2）x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0，配方得：x2﹣6x+9﹣（4n2+32n+64）+55＝0，∴（x﹣3）2﹣（2n+8）2＝﹣55，∴（2n+8+x﹣3）（2n+8﹣x+3）＝55，即（2n+x+5）（2n﹣x+11）＝55，∵x，n均為整數(shù)，55＝1×55＝（﹣1）×（﹣55）＝5×11＝（﹣5）×（﹣11），∴或或或或或或或，由或，解得：n＝10；由或，解得：n＝﹣18；由或，解得：n＝0；由或，解得：n＝﹣8，當n＝10時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x﹣720＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合題意；當n＝﹣18時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x﹣720＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣24，符合題意；當n＝0時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x＝0，解得：x1＝0，x2＝6，符合題意；當n＝﹣8時，方程x2﹣6x﹣4n2﹣32n＝0為：x2﹣6x＝0，解得：x1＝0，x2＝6，符合題意，綜上所述：當方程的兩個根均為整數(shù)，n的值為10或﹣18或0或﹣8．24．（12分）綜合與實踐：（1）活動一（閱讀經(jīng)典）如圖1，等腰△ABC，頂角∠BAC＝36°，BD平分∠ABC．求證：△ABD和△BCD都為等腰三角形．這個例題大家都熟悉．這個△ABC是個特殊等腰三角形，平分線把圖中等腰△ABC分成三個等腰三角形，底邊與腰的比值等于黃金分割值，我們把這種三角形稱為黃金三角形．以下是求等腰△ABC的底邊與腰的比值過程：由△ABC、△ABD和△BCD都為等腰三角形可得AB＝AC，AD＝BD＝BC，設CD＝x，AD＝BD＝BC＝y(tǒng)，因為底角∠ACB＝∠BCD，則∠BAC＝∠CBD．所以△BDC∽△ABC，所以，得．整理，得到，解得＝．所以等腰△ABC的底邊與腰的比值等于0.618（保留三位小數(shù)）．活動小結(jié)：通過輔助線（分割線），可以求得一些不是特殊圖形（包含三角形、角等常見圖形）的一些線段的比值．（2）活動二（實踐研究）：如圖2，等腰△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC．求邊BC與邊AB的比值．解：過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E．（以上是小龍同學解此題所作的輔助線，請您幫助小龍完成剩下的解答過程．）（3）活動三（問題解決）在活動二（實踐研究）原有條件不變情況下，老題新增以下條件，并提出問題，請解答問題：如圖3，延長BA到點D，使得AD＝AB，連接CD，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）2﹣．【分析】（1）解一元二次方程求得結(jié)果；（2）過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E，∠B＝∠ABC＝＝75°，進而求得∠ABD＝∠EDB＝45°，從而得出BC＝DB＝，設DE＝BE＝a，可表示出BD＝，AE＝，AB＝BE+AE＝（，進而得出結(jié)果；（3）作∠CBH＝60°，BH交CD于H，可得出∠ACD＝∠D＝15°，進而得出∠D＝∠DBH，從而DH＝BH，設CB＝k，則DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，從而CD＝DH+CH＝（2+，進而得出結(jié)果．【解答】解：（1）由得，＝，∵，∴≈，故答案為：；（2）如圖1，過點B作BH⊥AC于點H，截取DH＝CH，過D作DE⊥AB于點E，∴BD＝BC，∠BED＝90°，∴∠C＝∠BDC，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ABC＝＝75°，∴∠BDC＝75°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝75°﹣30°＝45°，∴∠BED＝90°﹣∠ABD＝45°，∴BC＝DB＝，設DE＝BE＝a，∴BD＝，AE＝，∴AB＝BE+AE＝（，∴；（3）如圖2，作∠CBH＝60°，BH交CD于H，∵AB＝AC，AD＝AB，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD，∵∠D+∠ACD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠D＝15°，由（2）知，∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°，∴∠CHB＝90°﹣∠CBH＝30°，∴∠DBH＝∠CHB﹣∠D＝15°，∴∠D＝∠DBH，∴DH＝BH，設CB＝k，則DH＝BH＝2BC＝2k，CH＝BC＝，∴CD＝DH+CH＝（2+，∴．25．（14分）如圖1，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝1，點E在AB上．（1）當AE＝AD，∠DCE＝2∠BCE，求證：∠DCE＝45°．（2）如圖2，延長CD及BA相交于點F，延長CE及DA相交于點G，△AED的周長為2．①求AF?AG的值．②連接FG，F(xiàn)G⊥CF，取FG的中點M，連接CM，作FN⊥CM，連接NG，求NG與NC的數(shù)量關系．【答案】（1）證明見解答；（2）①AF?AG＝2；②NC＝NG，理由見解答．【分析】（1）如圖1，連接AC交DE于P，先根據(jù)題意可知：△ABC是等腰直角三角形，則∠ACB＝∠BAC＝45°，再由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；（2）①如圖2，過點C作CH⊥AD，交AD的延長線于H，延長AB至O