2024年新高考藝體生沖刺復(fù)習(xí)考點(diǎn)12 等比數(shù)列（解析版）

考點(diǎn)12等比數(shù)列

本節(jié)概要

知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列定義

L知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的有關(guān)公式

知識(shí)點(diǎn)三等比中項(xiàng)

知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)五等比數(shù)列的判定方法

等知識(shí)點(diǎn)六等比數(shù)列的單調(diào)性

比

數(shù)

列p考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

一考點(diǎn)二等比中項(xiàng)

一考點(diǎn)三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

考點(diǎn)一一考點(diǎn)四等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)之和

一考點(diǎn)五等比數(shù)列最值問(wèn)題

一考點(diǎn)六等比數(shù)列的證明與判斷

I考點(diǎn)七等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

T知:識(shí)，講:解

一.等比數(shù)列定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)

列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母g表示，定義的表達(dá)式為等=如/0,

二.等比數(shù)列的有關(guān)公式

1m

1.通項(xiàng)公式：：aH=a\c/'~^^an=am-^~.

19q=1,

=,

2.前〃項(xiàng)和公式：Sna\（1—（/'）a\—anq

i=~\?甘1.

i-qLq

三.等比中項(xiàng)

1.答比中項(xiàng)：如果小G、〃成等比數(shù)列，那么。叫做a與的等比中項(xiàng).即；G是a與的等比中項(xiàng)

=ab."a,G,2成等比數(shù)列”是“G是。與匕的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件.

2.若/〃+〃=〃+g=2r,則即?〃</=/；

四.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1.數(shù)列a”，am+kfam+2kf即+3"，…仍是等比數(shù)列：

2.數(shù)列S“，S21tLSm，S3m~s2m，…仍是等比數(shù)列（此時(shí)｛4〃｝的公比一1）.

五.等比數(shù)列的判定方法

1.定義法：若與為非零常數(shù)）或'="（</為非零常數(shù)且電2）,則｛〃“｝是等比數(shù)列.

2.中項(xiàng)公式法:若數(shù)列｛斯｝中且晶H=?皿+2（〃￡N*）,則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.

3.通項(xiàng)公式法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成〃〃=c"C（c,q均為不為0的常數(shù)，〃￡N）則｛〃”｝是等比數(shù)列.

4.前〃項(xiàng)和公式法：若數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和S”=hf—為常數(shù)且原0,分0,1）,則｛m｝是等比數(shù)列.

注意：

（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.

（2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

六.等比數(shù)列的單調(diào)性

當(dāng)g>l,0>0或0%<1,防<0時(shí)，｛〃“｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)夕>1,0Vo或0<斤1,m>0時(shí)，｛為｝是遞減數(shù)列;

當(dāng)夕=1時(shí)，｛m｝是常數(shù)列.

典例剖析|------------------------------------------------

考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的計(jì)算

【例】（2023?云南）在等比數(shù)列n｝中，

⑴已知q=-3,q=2,求生；

⑵已知6=1,9=2,%=16,求〃；

（3）已知%=9,求q；

3

⑷已知4=一］,6=-27,求q.

（5洶=5,q=2,求S?；

（6）%=右，q=g，求Sg；

lo2

⑺§3=14,a,=2,求q；

⑻$6=，，q=；，求

。uu

【答案】⑴%=T8(2)〃=5⑶4=±3；⑷4=8(5)耳=315658=^^^7)4=2或"=-3(8)%=24

1-16

【解析】(1)等比數(shù)列｛%｝中，4=-3,4=2,則%=—3x2'=-48.

(2)等比數(shù)列也｝中，4=1,q=2,a.=16,由〃“=16=1X2"T,可得〃=5.

(3)等比數(shù)列｛叫中，q=g,%=9,由%=9=卜/，可得g=±31

(4)等比數(shù)列｛q｝中，^=-|,%=-27,由4=—27=(—4,可得4=8.

(5)%=5,g=2，故S6=5X,；)=315

「riYl

78x1--

(6)4=“/=R，又。=5，故4=*=8，故&=—L~~——J=—'

162168I16

1----

2

(7)由53=q+〃2+%，可得14=2+2夕+2/,HP?72+^-6=0,解得q=2或q=-3.

(8)sJ[⑴Ji，故“X*等，即4=24

6?14648

1----

2

【變式】

（2023?廣東各地節(jié)選）已知數(shù)列㈤J為等比數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S”

⑴4=1,4=3,77=10;

⑵%

1

4=4=

3)3-3-

6292

\叫-=

/1n=|

1

X189求

-一g--

5)42?|

與

⑹=44=2求

=5

1*

8},求

--〃

/5=，

=87,,“4

-4

2,

山

9\63取

*)--2,一-

913280?

【答案】⑴29524(2)汨⑶兩(4)378(5M=24(6)L3則=2⑺幾"5⑻峋”2?！?/p>

1_?10下。_1

【解析】(1)由q=l,夕=3,〃=10得與==與1=29524

?___i_

1aX

114HC=-nQ=3-65613=lxf.__1)=3280

由q=5，q=g6561得”\-qj_l2I6561J6561

3

619><2

(4)由％=6,4=2,=192^S?=^-^=~；=378

\-q1-2

189i%卜一品ma

(5)?,?等比數(shù)列｛《,｝中，56=:，q=：,...s°=I*=器解得q=24.

421-14

(6)在等比數(shù)列伍”｝中，VS3=14,q=2,顯然公比口工1,.?.華山=14,整理得等+9-6=0,

'-q

解得夕=-3或。=2.

(7)因?yàn)?=15,5|0=60,所以公比。工1,所以S$=——=15>S10=—^=60，

\-q\-q

4(T)

所以鬟=1=4,即1+/=4,所以八3,所以；^二一泉?jiǎng)t

《(j/)】-q2

i-q

九一2=~4——J=~x1-33=195-

\-q\-q2''

(8)顯然，由3=午組，即8一不二63,解得q=；,又4=3,即8(：尸=：,所以〃=6.

1\-q4-4

4(%)二7

(9)由56工2sj知qwl,由題意得［""2,

一(1-*)「63

\-q2

兩式相除得1+/=9,得9=2,?,=1,

"2\-q2

考點(diǎn)二等比中項(xiàng)

【例2-1］（2023?寧夏銀川）已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，4%4。=8,貝心洶產(chǎn)（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】由題設(shè)則廿6%0=?！?8=牝=2，所以=4；=4.故選：B

【例2-2］（2023?北京）正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝中，?！?N0是方程/一101+16=0的兩根，則log2a2021的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】團(tuán)〃2，4040是方程10.1+16=0的兩根，團(tuán)6為加=4：=16,

團(tuán)數(shù)列｛&｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，咚=4,01og2^2I=log24=2,故選:A.

【變式】

1.（2023?江蘇蘇州）已知等比數(shù)列｛《,｝中，4=2,4=8,則%=（）

A.4或TB.-4C.4D.8

【答案】C

【解析】設(shè)公比為9,則4=。4=2相＞0,

因?yàn)樯?2,4=8,所以4；=%緣=16,所以%=4.故選：C.

2.（2023?云南大理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,4%=3,%%=27,則。必=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】由等比數(shù)列｛《；｝，%的=d，〃26=。；，有=3x27=81,

又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以出生=9.故選：C.

3.（2023?上海閔行）已知等比數(shù)列｛〃“｝,%，生。是方程WT3x-l4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則仰的值為（）.

Lf—1313

A.±V14B.J14C.D.—

【答案】B

【解析】由題意可得，2+4o=13,a嗎0=14,且數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為心

則。聞”：3,qg＞0,"=」“'=擊"《爐=714.

ayqaAq=14

故選：B.

4.（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列｛%｝中，是方程V-8x+2=0的兩根，則生”二（）

4

A.72B.-V2C.±72D.3土石

【答案】A

,、伉+《=8

【解析】因?yàn)椋玻堑缺葦?shù)列，且小,必是方程丁-8戈+2=0的兩根，所以：：2，且久＞0,?。?。.

,“4^3

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得：&q=6q=a：=2,且%＞。，所以/=也

回旦幺=4=&.故選：A

%

5.（2023河南）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛q｝中，若,log3a,+log3a2+log3+log3a9的為

43「入c士

A.—B.-C.2D.25

341

【答案】A

【解析】在等比數(shù)列｛an｝中，由牝。5a6=3,得/3=3,

-4

則圖3%+log3%++1。93。9=log?。必S）=log忌=log3='.故選A.

考點(diǎn)三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

【例3-1］（2023?遼寧）等比數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)和為s.，若S“=-2"T-1,則4=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為心當(dāng)夕=1時(shí)，S“=叫,不合題意；

當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式S'）衛(wèi),

“\-q\-q\-q

依題意5“=八21-1=夕.2"-1=5+（-1）=0,/=2.

故選:A

【例3-2］（2023?廣東）等比數(shù)列｛4｝的前〃?項(xiàng)和為4,前2〃?項(xiàng)和為12,則它的前項(xiàng)和是（）

A.28B.48

C.36D.52

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”，

則依題意有5,”=4,52—12,則5,產(chǎn)。，且%一4=0,

根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)有，力,邑,”-8”成等比數(shù)歹IJ,

所以（S2fM-SJ=Sm（S3m—S3即（12-4f=4（S3m-12）,

解得S3.,=28.

故選：A.

【例3-3】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是S“.已知＜=30,果=120,則()

A.13B.12C.6D.3

【答案】A

【解析】方法一因?yàn)镾3=30,06=120,所以4=4+4+4=30,$6=q+々2+4+44+45+4=12。，

所以56-1=4+6+%=90,所以片="："'：%=3.又％+4+%=9()X"=27(),得

Cly1"4)+'’3

S9=30+904-270=390,

所以員=當(dāng)=監(jiān)

1以S、30

故選：A.

方法二因?yàn)椤?=%+。2+/=30,$6=4+。2+a3+。4+%+。6=120,所以§6-其=&+%+牝=90,

4'。一力

所以4=2詈詈=3,所以標(biāo)'；q=W=13.

6+4+%S3qx(l-g3)1-3

\-q

故選:A.

【變式】

1.（2023?四川宜賓）已知等比數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和為工，若S.=p-3"-2,則〃等于（）

A.-3B.3C.-2D.2

【答案】D

【解析】依題意9工1，所以等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S二---4----q〃JH----4----，

"q\-q\-q

所以〃+（-2）=0,解得〃=2.故選：D.

2.（2023?河南省直轄縣級(jí)單位）等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且率=4，吟=()

94134

A.—B.-C.—D.-

4941

【答案】c

【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知,53，S6-S3A9-邑成等比數(shù)列，

因?yàn)榻?4,所以$6=45〃所以%3SQ9-4S3成等比數(shù)列，

%

ccccSq13

所以Sg—4S3=9S3,所以$9=135,所以法=丁.

故選：C.

3.（2023?寧夏銀川）設(shè)等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為5〃，已知S3=8,S6=7,則S9等于（）

1157j）5

A.-B.—C.—D.-

888r

【答案】C

【解析】已知：S,,Ss-S3,邑成等比數(shù)列，

且：53=8,56-S3=7-8=-l,0S9-S6=（-l）xtH=-!-,

88

故選：C

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和是S".已知邑=30,§6=120,則S12=()

A.900B.1200

C.15X(312-1)D.30x(36—1)

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為/因?yàn)?3=30,56=120,

所以S3=q+生+%=30,S6=4+生+/+/+6+4=120,

得￡—53=〃4+4+4=90,所以，==3,

01|?Cl-y?

所以I國(guó)------I回

所以I臼.

故選：

5.（2023上?河北石家莊?高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，工為其前〃項(xiàng)和，若4+%+/=3,

《+6+4=9,則S］2=（）

A.27B.39C.81D.120

【答案】D

【解析】由題知，|岡|岡----1,

因?yàn)閿?shù)列|國(guó)------成等比數(shù)列，

所以|岡|，

所以|岡?

故選：D.

考點(diǎn)四等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)之和

【例4-1］（2023河北）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011,偶數(shù)項(xiàng)之和為2022,則這

個(gè)數(shù)列的公比為（）.

A.8B.-2C.4D.2

【答案】D

【解析】設(shè)該等比數(shù)列為｛%｝,其項(xiàng)數(shù)為厄|項(xiàng),公比為內(nèi)由題意易知夕工1,

設(shè)奇數(shù)項(xiàng)之和為5,偶數(shù)項(xiàng)之和為S?，易知奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為外,公比為目1勺等比數(shù)列，

偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為國(guó)內(nèi)等比數(shù)列，

則回，回，所以回，即4=2.

所以這個(gè)數(shù)列的公比為2.故選:D.

【例4-2］（2023?重慶）已知等比數(shù)歹有2〃+1項(xiàng)，％=1,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42,

則〃=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列有2〃+i項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有百項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)有〃項(xiàng)，設(shè)公比為q,

得到奇數(shù)項(xiàng)為S

偶數(shù)項(xiàng)為|國(guó)------|，整體代入得夕=2,

所以前2〃+1項(xiàng)的和為0,解得國(guó)｝

故選:B

【變式】

1.：2023?安徽池州）已知等比數(shù)列｛4｝的公比4=2,前100項(xiàng)和為品1tl=90,則其偶數(shù)項(xiàng)/+為+L+4^為

()

A.15B.30

C.45D.60

【答案】D

［解析］設(shè)］岡|,則|岡

乂因?yàn)閨回|，所以向

所以|國(guó)—一?

故選:D

2.（2023江西）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛q｝,所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為

64,則6=（）

A.1B.4

C.12D.36

【答案】C

【解析】由題意可得所有項(xiàng)之和|因|是所有偶數(shù)項(xiàng)之和同的4倍,所以，|岡一故0

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為9,設(shè)該等比數(shù)列共有舊恢,

則兇，所以，q=g,

因?yàn)閨岡|，可得4=4,因此，S

故選：C.

3.：2023?河南）已知等比數(shù)列｛可：共有32項(xiàng)，其公比"=3,且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60,則數(shù)列｛〃,,｝

的所有項(xiàng)之和是（）

A.30B.60C.90D.120

【答案】D

【脩析】設(shè)等比數(shù)列｛七｝的奇數(shù):之和為偶數(shù)項(xiàng)之和為國(guó)

則|岡------|岡

乂叵一|，則舊|，解得|區(qū)]

故數(shù)列打/的所有項(xiàng)之和劇目-----.

故選:D

4.（2023?陜西寶雞）已知等比數(shù)列｛〃"｝中，q=1,%+/++。勺+1=85,a2+a4++a2k=42,則％=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4，

則|區(qū)……--]，

即|岡------

因?yàn)?+4++4?=42,所以“二2,

則區(qū)，

即I回|，解得目，

故選:B.

考點(diǎn)五等比數(shù)列最值問(wèn)題

【例5-1】（2023廣西）設(shè)等比數(shù)列M”｝的公比為9，其前〃項(xiàng)和為2,前〃項(xiàng)積為「，并滿足條件可>1

%019―1<0

〃刈9%。2。>1,4。2。-1,下列結(jié)論正確的是（）

A.*^2019<,^2020B.S2019swo_1<°

c.T2O2Q是數(shù)列｛?；｝中的最大值D.數(shù)列億｝無(wú)最大值

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列｛4｝中，〃刈必。2。>1，則有曜」|，有向二，

又由00,即區(qū)］,必有I區(qū)|卜。<4<1由此分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,岡，故S2019Vs2020,AI上確；

對(duì)于B,等比數(shù)列｛4｝中，4>1,則|岡一|,則|岡,即|國(guó)―|,B

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,|岡------|,則?是數(shù)列｛瑁中的最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；

對(duì)干D,由C的結(jié)論，D錯(cuò)誤；

故選:A.

【變式】

1.（2023黑龍江）設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為9,其前〃項(xiàng)和為工，前〃項(xiàng)積為，，且滿足條件％>1,>1，

"4<0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.0<q<lB.0<a6as<1

C.S”的最大值為S?D.，的最大值為八

【答案】C

【解析】若同’則直3向二］，所以|岡與4%>1矛盾；

若回I；則因?yàn)?>1，所以叵三；回;則?區(qū)J，與貂<°矛盾，

因此0<4<1,所以A正確.

因?yàn)槿羲詜岡———|，因此|因~即B正確.

因?yàn)閨岡”,所以S“單調(diào)遞增，即S”的最大值不為邑，C錯(cuò)誤.

因?yàn)楫?dāng)后一!時(shí),I岡“卜當(dāng)I目時(shí),|岡------1,所以7；的最大值為"，即D正確.故選：C

2.（2022上?江西贛州?高三校聯(lián)考期中）設(shè)公比為的等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為儲(chǔ)前〃項(xiàng)積為7；,且q>l,

色*<0,則下列結(jié)論正確的是（）

“2022_I

A.B.S2021s2G一1>°

C.q22是數(shù)列｛1｝中的最大值D.數(shù)列｛（｝無(wú)最大值

【答案】B

【解析】當(dāng)國(guó)］時(shí)，則I岡------―不合乎題意；

當(dāng)回I時(shí),對(duì)任意的回一1，|岡一……|，且有回，可得|區(qū)T'|，

可得|兇|,此時(shí)S，與題干不符，不合乎題意；

故0<”1,故A錯(cuò)誤;

對(duì)任意的〃wN"|岡且有S,可得|國(guó)

此時(shí)，數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則|岡|，

結(jié)合約二!<0可得|岡------

42022—]J------------------

結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得|因

故舊]?岡I

d國(guó)故B正確；

回是數(shù)列回中的最大值，故CD錯(cuò)誤故選：B.

3.（2023?山東青島）（多選）己知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)積為7；,且滿足

。20：3+生024<2,（％2_3-1）（&024-1）<。，則（）

A.0<4<1B.a2023a2。25>1

C.對(duì)任意的正整數(shù)〃，有[之小7D.使得7；>1的最小正整數(shù)〃為4047

【答案】BD

[解析】依題意，|岡------

由干（限一。（％024-1）<。，所以回或回

若回，則。<夕<1,則I岡一I矛盾,

所以回，則“>1,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

叵，B選項(xiàng)正確.

由于0，所以，的最小值為4陽(yáng)，即|國(guó)所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由于。2023+%）24<2,所以|回卜所以|回

所以回

由于“>1,且回，所以第臼時(shí),|岡------|，

綜上所述，使得所>1的最小正整數(shù)〃為回"I，所以D選項(xiàng)正確.

故選:BD

考點(diǎn)六等比數(shù)列的證明與判斷

【例6】（2023河南焦作）已知數(shù)列｛〃/滿足4=1,，以>|=2（〃+1）〃“，設(shè)

⑴判斷數(shù)列｛2｝是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

⑵求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析

⑵回

【解析】（1）由題知:回卜:厄一I，又4=1,

區(qū)|是以1為首項(xiàng),2為公比的等L匕數(shù)列

（2）由（1）知因

【變式】

1.（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列上｝的首項(xiàng)為3,且滿足，用+4=32.

⑴求證：,〃一2"｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列｛q｝是否是等比數(shù)歹U.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵|岡-----1,數(shù)列｛《J不是等比數(shù)列

【解析】（1）由a/j+aLS?1,Ira~

所以回二1是以1為首項(xiàng)，T為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）得回,|岡

所以|因

所以數(shù)列｛《J不是等比數(shù)列.

2.12023秋課時(shí)練習(xí)）己知數(shù)列｛4｝滿足；=1,勺-%i+3（〃？2）.

⑴求證：｛q+3｝為等比數(shù)列；

⑵求｛q｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

創(chuàng)岡］

【解析】（1）已知遞推公式|岡------兩邊同時(shí)加上3,

得:|岡

因?yàn)镮區(qū)|，

所以國(guó),

又向］,

所以數(shù)列［岡,是以［國(guó)一|為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.

（2）由（］）|岡則0

3.（2023?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)回巨

（1）證明：數(shù)列B為等比數(shù)列：

⑵求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵

【解析】（1）因?yàn)?,所以0

考點(diǎn)七等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

【例7】（2023上?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事："三百七十八里關(guān),

初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)〃.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天

健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地廁此人第

4天與第5天共走的里程數(shù)為（）

A.24B.36C.42D.60

【答案】B

【解析】設(shè)第〃天走的里程數(shù)為@其中|國(guó)一］，

由題意可知，數(shù)列｛q｝是以外為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以L解得4=192,

1--

2

所以此人第4天與第5天共走里程數(shù)為4+4=192x（3+192x（gj=36.故選：B.

【變式】

1.（2023?陜西寶雞?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10

年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該

產(chǎn)品的銷售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：

1.3,0?13.79）（）

A.3937萬(wàn)元B.3837萬(wàn)元

C.3737萬(wàn)元D.3637萬(wàn)元

【答案】A

【解析】設(shè)4=100,j=L3/-3,4向-10=L3（a“-10）,

所以數(shù)列I區(qū)I是首項(xiàng)為電|公比為國(guó)的等比數(shù)列，

所以I岡—I

則因回日-------I（萬(wàn)元）.

故選：A

2.（2023?上海楊浦）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：”今有坦厚五

尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢？”描述的問(wèn)題是：有五

尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠

減半，則（）天后兩鼠相遇.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

1J1Y----

【解析】設(shè)〃天后能打穿，則紀(jì)1+」21之5,化簡(jiǎn)為0，

27」------------

2

令-4,則/（2）=?]<0J（3）=8?a4>0,又由函數(shù)的單調(diào)性可知/（〃）=2”-*?4在（2,3）

內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以至少需要3天.故選：C.

3.（2023北京）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載："今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，蒲生口自半”.其意為：

今有蒲草第一日長(zhǎng)高3尺，以后蒲草每日長(zhǎng)高前一日的半數(shù)，則蒲草第5日的高度為（）

A.二3尺B.3三尺C.4坦5尺D.933尺

1632816

【答案】D

【解析】由題意，蒲草每口增長(zhǎng)的高度成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項(xiàng)為3,公比為

3（1-。93

蒲草第5日的高度為等比數(shù)列前5項(xiàng)和，邑=-=（尺），故選：D.

16

2

4.（2023?河南洛陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,

共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的卜.一層燈數(shù)是

上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】設(shè)頂層的燈數(shù)是外,則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列｛〃“｝,

所以，由題可得回，解得4=3,所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.

鞏固基礎(chǔ)

1.（2023?江蘇南通）正項(xiàng)等比數(shù)列｛&｝中，4=1,。必=81,則4=（）

A.75B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為/因?yàn)閿?shù)列㈤｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以回由題4=1，

則|岡|，所以|因I，所以|岡一"二口故選:B

2.（2023?河北邢臺(tái)）在等比數(shù)列;4｝中，若%的為%=36，則%q4=（）

A.6B.9C.±6D.妁

【答案】A

【解析】因?yàn)閨岡-----所以|岡葉（負(fù)值舍去），所以|岡-----|.故選:A

3.（2023?江蘇常州）已知等比數(shù)列｛4｝滿足q=2,4+。3+/=26,則%+牝+%=（）

A.26B.78C.104D.130

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為心根據(jù)已知可得，回，

所以，回，解得|岡力所以，|岡------|岡-------

故選:B.

4.（2023?安徽合肥）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃“｝中，若4+外+%=18,-+—+-=2,則，=（）

a,。v

A.1B.2C.3D.26

【答案】C

,、.111al+&Ia】+。,+d18c

【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以q%=%，故,+7+7=aa+（=---/—"=/=2,

所以片=9,乂%＞（），所以4=3.故選：C.

5.（2023?云南?怒江俠傣族自治州民族中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，，洶=2%,

2q+4%=5,則S$=()

A.29B.31C.33D.36

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛qj是等比數(shù)列，%%=2a3，所以生%=%乂生。'=2例，即%/=2,則為=2.

又因?yàn)?q+4%=5,故有弓=!.所以/=&=：,則q=

4452

所有所有

4=*=16,故B項(xiàng)正確.故選：B.

q=31'

6.（2023?黑龍江）在等比數(shù)列｛q｝中，若%=2,%%=%，則｛4,｝的公比夕=（）

A.V2B.，C.2/D.4

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列乩｝的公比為9,因?yàn)椋?2且％4=%,可得2%=%,可得夕=&=；.故選：B.

ai2

7.（2023?天津和平）在等比數(shù)列?［叫中，34:4，2生成等差數(shù)列，則”組=（）

2%+6

A.3B.-C.9D.-

39

【答案】C

【解析】設(shè)｛4｝的公比為4，

則由題意可知0卜［耳三I，

顯然百一1時(shí),|國(guó)一無(wú)意義舍去；所以回.故選：C

8.（2023?全全模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝滿足|岡若回，則q=

（）

A.yB.伸C.2D.伸

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4.由［百-----）得回，解得4=g，

s

叵0H

區(qū)得4=；.故選：A

9.（2022?云南臨滄）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足:后一］,若存在兩項(xiàng)向二|使得但

則叵］的最小值為（

3

A.-B.岡

4

【答案】A

【解析】等比數(shù)列｛q｝中，I岡—I岡—I岡一t

叵

當(dāng)且僅當(dāng)尸即|國(guó)------1時(shí)等號(hào)成立.故選:A.

10.（2023?陜西）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列低｝是等比數(shù)列，0,且|岡則0

（）

【答案】B

可得|回|，即叵］,

【解析】數(shù)列也｝是等差數(shù)列，0

數(shù)列｛包｝是等比數(shù)列，|岡----1,可得|岡|；可得|岡|，

則0

故選:B.

11.（2023?河北邢臺(tái)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛6,｝中，S.為其前〃項(xiàng)和，若S“=6,%=78,則除=（）

A.786B.240C.486D.726

【答案】D

【解析】因?yàn)椋鹮,｝為等比數(shù)列，所以S.，|岡|岡……仍為等比數(shù)列.

設(shè)|岡因?yàn)镾”=6,S%=78,所以6,百］,國(guó)Z|成等比數(shù)列.

由區(qū)］,解得x=24或工=一18（舍去），

所以數(shù)列九回…|，|區(qū)|I的公比為3.

因?yàn)镾〃=6,響|岡....

所以I岡一"1，I岡I，