專項(xiàng)04 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用

專項(xiàng)04二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用類型一線段最值問題1.(2023山東菏澤中考)已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，其對(duì)稱軸為直線x=-32(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)D是線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，BD，將△ABD沿直線AD翻折，得到△AB'D，當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，分別交直線AC，線段BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G，求FG+2FP的最大值.類型二面積問題2.(2023湖北荊州中考)已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=(a-2)x2+(a+1)x+b.(1)若函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a=4b，則a的值是.

(2)如圖，若函數(shù)的圖像為拋物線，與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A(-2，0)，B(4，0)，并與動(dòng)直線l：x=m(0<m<4)交于點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2.①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△PBC的面積；②探究直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，S1-S2是否存在最大值，若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由.類型三與平行四邊形有關(guān)的問題3.(2023山東聊城中考)如圖1，拋物線y=ax2+bx-9與x軸交于點(diǎn)A(-3，0)，B(6，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P(m，0)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合)，過點(diǎn)P分別作PE∥BC，交AC于點(diǎn)E，作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，當(dāng)m為何值時(shí)，△PED的面積最大?并求出最大值.類型四角度存在性問題4.(2023湖南郴州中考)已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求PAPC的值(3)如圖2，取線段OC的中點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使tan∠QDB=12?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

專項(xiàng)04二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用答案全解全析1.解析(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，∴c=4，∵對(duì)稱軸為直線x=-32，∴-b-2=-32∴拋物線的解析式為y=-x2-3x+4.(2)如圖，過B'作x軸的垂線，垂足為H，令-x2-3x+4=0，解得x1=1，x2=-4，∴A(-4，0)，B(1，0)，∴AB=1-(-4)=5，由翻折可得AB'=AB=5，∵對(duì)稱軸為直線x=-32∴AH=-32-(-4)=52，∴∠AB'H=30°，∴∠B'AB=90°-∠AB'H=60°，由翻折可知∠B'AD=∠BAD，∴∠DAB=12∠B'AB=30°在Rt△AOD中，OD=OA·tan30°=43∴D0,4(3)設(shè)BC所在直線的解析式為y1=k1x+b1(k1≠0)，把B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得k1+∴y1=-4x+4，∵OA=OC=4，∴∠CAO=45°，又∵∠AEF=90°，∴直線PE與x軸所成夾角為45°，設(shè)P(m，-m2-3m+4)，設(shè)PE所在直線的解析式為y2=-x+b2，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入，得-m+b2=-m2-3m+4，解得b2=-m2-2m+4，∴y2=-x-m2-2m+4，令y1=y2，則-4x+4=-x-m2-2m+4，解得x=m2+2m3，即F點(diǎn)橫坐標(biāo)為m2+2m3，∴FG=yF=-4(m2+2m)3+4，2PF=2xF-x∴FG+2FP=-4(m2=-23m+∵點(diǎn)P在直線AC上方，∴-4<m<0，∴當(dāng)m=-52時(shí)，F(xiàn)G+2FP取得最大值，為492.解析(1)當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a-2=0，∴a=2，∴y=(2+1)x+24=3x+12，其圖像與x軸當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像與y軸必有一個(gè)交點(diǎn)，分情況討論：(i)當(dāng)與y軸交點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，其函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴令(a-2)x2+(a+1)x+b=0，∵a=4b，∴(a-2)x2+(a+1)x+a4=0∴Δ=(a+1)2-4(a-2)×a4=4a+1=0∴a=-14，∴y=-94x2+34x-116，易得其圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為1(ii)當(dāng)與y軸的交點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，易得b=0，∵a=4b，∴a=0，∴y=-2x2+x，易得其圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和12,0故答案為0或2或-14(2)如圖所示，設(shè)直線l與BC交于點(diǎn)F，直線l與x軸交于點(diǎn)H.將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得4(解得a∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9，∴C(0，8).①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，P(1，9)，∴PH=9，xP=1，由B(4，0)，C(0，8)易得直線BC的解析式為y=-2x+8，∵F在直線l上，∴F的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，∴xF=1，∵F在直線BC：y=-2x+8上，∴F(1，6)，∴FH=6，OH=1，∴PF=PH-FH=9-6=3，BH=OB-OH=4-1=3，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12xP·PF+1=12×1×3+12×3×3=6②S1-S2存在最大值.易知OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P(m，-m2+2m+8)，∴PH=-m2+2m+8，∵OD⊥x軸，PH⊥x軸，∴OD∥PH，∴AOAH=ODPH，即22+∴OD=8-2m.∵S1=S△PBE=S△PAB-S△AOD-S四邊形EDOB，S2=S△CDE=S△OBC-S四邊形EDOB，∴S1-S2=S△PAB-S△AOD-S△OBC=AB·PH2-OA·OD2-OB·OC2=6(?m2+2m+8)2-2(8?2∴當(dāng)m=43時(shí)，S1-S2取得最大值，最大值為163.解析(1)將A(-3，0)，B(6，0)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-9，得9a-3∴拋物線的表達(dá)式為y=12x2-3(2)易知點(diǎn)C(0，-9)，設(shè)點(diǎn)P(m，0)，點(diǎn)Qn,12n2-32n?9，在A，C∵四邊形ACQP為平行四邊形，∴AP∥CQ，∴yQ=yC，∴12n2-32n-9=-9，∴點(diǎn)Q(3，-9).在A，C，P，Q四點(diǎn)組成的平行四邊形中，當(dāng)AC為邊，AP為對(duì)角線時(shí)(如圖2)，連接CQ，線段CQ的中點(diǎn)在x軸上，∴yC+yQ=0，∴12n2-32n-9+(-9)=0，解得n=32+3172∵yQ=-yC=9，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為32+3綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，-9)或32+3(3)設(shè)△PED的面積為S，由題意得AP=m+3，BP=6-m，OB=6，OC=9，AB=9，∴BC=62+9∵sin∠PBD=PDBP=OCBC，∴PD6?∴PD=3(6?m∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD=∠PDB=90°，∴PEBC=APAB，∴PE313=m∴S=12PE·PD=12(m+3)(6-m)=-12m-322+818，∴當(dāng)m=32時(shí)，△PED的面積最大，為814.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A(1，0)，B(4，0)，∴a+b∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-5x+4.(2)易知C(0，4)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=52∵△PAC的周長(zhǎng)=PA+PC+AC，AC為定長(zhǎng)，∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴PA+PC=PB+PC≥BC，故當(dāng)P，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小，為BC的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P為直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，由B(4，0)，C(0，4)易得直線BC的解析式為y=-x+4，當(dāng)x=52時(shí)，y=-52+4=∴P52,32，∵A(1，0)，∴PA=52-12PC=522+32-42=(3)存在.∵D為OC的中點(diǎn)，∴D(0，2)，∴OD=2，∵B(4，0)，∴OB=4，在Rt△BOD中，tan∠OBD=ODOB=1∵tan∠QDB=12=tan∠OBD，分情況討論：①當(dāng)Q點(diǎn)與D點(diǎn)在平行于x軸的直線上時(shí)，過點(diǎn)D作平行于x軸的直線，交拋物線于點(diǎn)Q1和Q2，如圖，則∠Q1DB=∠OBD，此時(shí)點(diǎn)Q1，Q2的縱坐標(biāo)為2，設(shè)點(diǎn)Q1的橫坐標(biāo)為t1，點(diǎn)Q2的橫坐標(biāo)為t2，則t1，t2滿足t2-5t+4=2，解得t1=5+172，t2=∴Q15+172,2，Q②當(dāng)Q點(diǎn)在D點(diǎn)所在水平線的下方，即yQ<yD時(shí)，如圖，設(shè)直線DQ與x軸交于點(diǎn)E，則DE=BE，設(shè)E(p，0)，則DE2=OE2+OD2=p2+4，BE2=(4-p)2，∴p2+4=(4-p)2，解得p=32，∴E3設(shè)直線DE的解析式為y=kx+q(k≠0)，代入D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得q=2,32k+q=0,解得k聯(lián)