6.4 探索三角形相似的條件 同步練習(xí)

第6章圖形的相似6.4探索三角形相似的條件基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理1.(2022山東臨沂中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=23，若AC=6A.65 B.125 C.2.(2022河北石家莊一模)如圖所示的是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線(xiàn)相互平行，則點(diǎn)P表示的數(shù)是()A.1 B.2 C.103 知識(shí)點(diǎn)2平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論3.(2020江蘇鹽城中考)如圖，BC∥DE，且BC<DE，AD=BC=4，AB+DE=10，則AEAC的值為.4.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，且ABAD=23，則AE知識(shí)點(diǎn)3三角形相似的條件5.(2022江蘇揚(yáng)州高郵期末)如圖，在下列四個(gè)條件：①∠B=∠C，②∠ADB=∠AEC，③AD∶AC=AE∶AB，④PE∶PD=PB∶PC中，隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPE∽△CPD的概率是()A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.16.(2022湖南邵陽(yáng)中考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在AC邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使△ADE∽△ABC.

7.小明和弟弟在玩耍時(shí)，發(fā)現(xiàn)爸爸的汽車(chē)?yán)锩嬗幸粋€(gè)三角形警示標(biāo)志，他們想做一個(gè)形狀相同的三角形警示標(biāo)志，但是他們手中只有一把10cm長(zhǎng)的直尺，小明的弟弟說(shuō)做不出來(lái)，小明說(shuō)可以做出來(lái)，你認(rèn)為誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢?說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)4三角形的重心8.如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，GE∥AC，若DE=2，則DC=.

9.(2022上海黃浦期末)如圖，在△ABC中，中線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)O，如果△AOE的面積是4，那么四邊形OECD的面積是.

能力提升全練10.(2022四川巴中中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC∶OC=1∶2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A.4 B.5 C.6 D.711.(2019四川涼山州中考)如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，則BE∶EC=()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶312.(2022安徽安慶懷寧模擬)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上，且AC∥EF∥DB.若BE=5，BF=3，AE=BC，則BDACA.23 B.12 13.(2022江蘇徐州二模)已知△ABC的一邊BC=5，另兩邊長(zhǎng)分別是3，4，若P是△ABC邊BC上異于B，C的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)截△ABC，截得的三角形與原△ABC相似，滿(mǎn)足這樣條件的直線(xiàn)有條.()

A.4 B.3 C.2 D.114.(2021江蘇連云港中考)如圖，BE是△ABC的中線(xiàn)，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D.若BF=3FE，則BDDC=.15.(2023江蘇無(wú)錫惠山期中)如圖，AB、DE是☉O的直徑，點(diǎn)C在☉O上，∠ABC=20°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)α°(0<α<180)，當(dāng)α=時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似.

16.(2020江蘇蘇州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-4，0)、(0，4)，點(diǎn)C(3，n)在第一象限內(nèi)，連接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO，則n=.

17.(2022湖北襄陽(yáng)中考)如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線(xiàn)AE交BD于點(diǎn)F，若BF∶FD=3∶1，AB+BE=33，則△ABC的周長(zhǎng)為.

18.(2021江蘇宿遷中考)如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD=2BD，CE=2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是.

19.(2019江蘇常州中考)如圖，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE=2BE，點(diǎn)M、N在線(xiàn)段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN=.

20.(2022四川巴中中考)四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，直徑AC與弦BD交于點(diǎn)E，直線(xiàn)PB與☉O相切于點(diǎn)B.(1)如圖1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求證：BA平分∠PBD；(2)如圖2，連接OB，若∠DBA=2∠PBA，求證：△OAB∽△CDE. 圖1 圖2素養(yǎng)探究全練21.(2023江蘇揚(yáng)州邗江月考)如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H，延長(zhǎng)AH交CD于F.(1)求證：△CDE∽△DAF；(2)當(dāng)FC=2時(shí)，求EC的長(zhǎng)；(3)若直線(xiàn)AF與線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，當(dāng)△DEB∽△GFD時(shí)，求DF的長(zhǎng).

第6章圖形的相似6.4探索三角形相似的條件答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.C∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC=23，∴AC?ECEC2.D如圖，OB=1.5，OA=3，OC=10，∵PB∥AC，∴OBOA=OPOC∴OP=5.∴點(diǎn)P表示的數(shù)是5.故選D.3.答案2解析∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC=AEAC，即4AB=DE4=AEAC，∴AB·DE=16，又∵AB+DE=10，且易知AB4.答案3解析如圖，過(guò)B作BF∥AC，交DE于點(diǎn)F，∵BF∥AC，∴∠FBO=∠C，∠BFO=∠CEO.又O為BC的中點(diǎn)，∴BO=CO，在△OBF和△OCE中，∠BFO=∠CEO,∠FBO=∠C,BO=CO,∴△OBF≌△OCE(AAS)，∴BF=CE，∵ABAD=23，∴BDAD=135.C由題意得∠DPC=∠EPB，①∠B=∠C，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CPD，②∵∠ADB=∠AEC，∴∠PDC=∠PEB，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CPD，③根據(jù)AD∶AC=AE∶AB，∠A=∠A，不能得到△ADB和△AEC相似，∴∠B≠∠C，故③不能使△BPE∽△CPD，④PE∶PD=PB∶PC，根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CPD，∴隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPE∽△CPD的概率是0.75，故選C.6.答案∠ADE=∠B(答案不唯一)解析∵∠A=∠A，∴當(dāng)∠ADE=∠B時(shí)，△ADE∽△ABC，故答案可以為∠ADE=∠B.(答案不唯一)7.解析小明說(shuō)的對(duì).理由：用10cm長(zhǎng)的直尺量出三角形警示標(biāo)志的各邊長(zhǎng)度，因?yàn)橐笞龀鰜?lái)的標(biāo)志與原來(lái)的三角形標(biāo)志形狀相同，大小沒(méi)有要求，可以縮小或放大相同倍數(shù)做出三根木條(或硬紙板條)，然后把它們釘起來(lái)即可.8.答案6解析∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AG∶DG=2∶1，∵GE∥AC，∴CEDE=AGDG=2，∴CE=2DE=2×2=4，∴CD=DE+CE9.答案8解析∵在△ABC中，中線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O是△ABC的重心，∴AO∶OD=2∶1，BO∶OE=2∶1，∵△AOE的面積是4，∴△AOB的面積=2×△AOE的面積=8，∴△BOD的面積=12×△AOB的面積=4，∴△ABD的面積=△AOB的面積+△BOD的面積=12，∴△ADC的面積=△ABD的面積=12，∴四邊形OECD的面積=△ADC的面積-△AOE的面積=12-4=8能力提升全練10.C∵CD∥OB，∴ACAO=CDOB，∵AC∶OC=1∶2，∴ACAO=13，∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，∴CD=3-1=2，∴2OB=11.B解法一：如圖，過(guò)O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中點(diǎn)，∴G是DC的中點(diǎn).又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，∴AO∶OE=2∶1，∴S△AOB∶S△BOE=2∶1，設(shè)S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，∵AD∶DC=1∶2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，∴S四邊形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，∵S△ABE=3S，∴BEEC解法二：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于F.∵O為BD中點(diǎn)，∴OB=OD，∴BE=EF，∵DF∥AE，∴EF∶FC=AD∶DC=1∶2，∴BE∶EC=1∶3.故選B.12.A設(shè)CF=x，∵EF∥AC，∴BFCF=BEAE，∴3x=5x+3，解得x=92，∴CF=913.B∵△ABC的一邊BC=5，另兩邊長(zhǎng)分別是3，4，32+42=52，∴∠BAC=90°，由于△ABC是直角三角形，過(guò)P點(diǎn)作直線(xiàn)截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，所以只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，過(guò)點(diǎn)P可作AB的垂線(xiàn)、AC的垂線(xiàn)、BC的垂線(xiàn)，共3條直線(xiàn).故選B.14.答案3解析如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE=∠ADC，∠AEG=∠C，∴△AGE∽△ADC，∴GEDC=AEAC，∵BE是△ABC的中線(xiàn)，∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AEAC=12，∴GEDC=12，∴DC=2GE，∵BF=3FE，∴EFBF=13，∵∴△GFE∽△DFB，∴GEBD=EFBF∴BDDC15.答案50或70或160解析連接OC，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似，如圖，∵∠ABC=20°，OB=OC，∴∠OCB=∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-40°=50°，∴α=50；當(dāng)DE⊥BC時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似，如圖，∴∠COD=∠BOD=12×(180°-40°)=70°，∴α=70當(dāng)DE⊥AC時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似，如圖，∴∠COE=∠AOE=∠ABC=20°，∴∠COD=180°-20°=160°，∴α=160.故答案為50或70或160.16.答案解析如圖，設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，∴∠DCE=∠CAO，∵∠BCA=2∠CAO，∴∠BCA=2∠DCE，∴∠DCE=∠DCB，∵CD⊥y軸，∴∠CDE=∠CDB=90°，又∵CD=CD，∴△CDE≌△CDB(ASA)，∴DE=DB，∵B(0，4)，C(3，n)，∴CD=3，OD=n，OB=4，∴DE=DB=OB-OD=4-n，∴OE=OD-DE=n-(4-n)=2n-4，∵A(-4，0)，∴AO=4，∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，∴AOCD=OEDE，∴43=17.答案53解析如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T.∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴FM=FN，∴S△ABF∴AB=3AD，設(shè)AD=DC=a，則AB=3a，AC=2a，∵AD=DC，DT∥AE，∴ET=CT，BEET=設(shè)ET=CT=b，則BE=3b，∵AB+BE=33，∴3a+3b=33，∴a+b=3，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=5a+5b=53，故答案為53.18.答案4解析如圖，連接DE.∵CD=2BD，CE=2AE，∴CECA=CDCB=23，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴DEBA=CDCB=23，∠CED=∠CAB，∴DE∥BA，∴△DEF∽△ABF，∴DEAB=DFAF=23，∴S△AFE=35S△ADE，∵CE=2AE，∴S△ADE=13S△ADC，∴S△AFE=15S△ADC，∵CD=2BD，∴S△ADC=23S△ABC，∴S△AFE=215S△ABC，∵△ABC中，AB19.答案6或15解析如圖所示，作PF⊥BD于F，①M(fèi)N為等腰△PMN的底邊，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，BC=AD=3AB=310，∴AB=CD=10，∴BD=AB2+AD2=10，∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴PD=12AD=3102，∵∠PDF=∠BDA，∠PFD=∠A=90°，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB=PDBD，即PF10=310210，解得PF=32，∵CE=2BE，∴BC=AD=3BE，∴BE=CD，∴CE=2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥BD，∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，∵∠PFN=∠C=90②MN為等腰△PMN的腰，由①得PF=32，M'F=3，設(shè)M'N'=PN'=x，則FN'=3-x，在Rt△PN'F中，322+(3-x)2=x2，∴x=158，故20.證明(1)連接OB，∵直線(xiàn)PB與☉O相切于點(diǎn)B，∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°.又∵OA=OB，∴△AOB為等邊三角形.又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO.∴∠ABE=12∠ABO=30°=∠PBA∴BA平分∠PBD.(2)∵直線(xiàn)PB與☉O相切于點(diǎn)B，∴∠PBO=90°.∴∠PBA+∠ABO=90°.∵AC為直徑，∴∠ABC=90°.∴∠OBC+∠ABO=90°.∴∠OBC=∠PBA.∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB.∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA.∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE.素養(yǎng)探究全練21.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠