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文檔簡介
云南省江川區(qū)第二中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.直線與拋物線C:交于A,B兩點,直線,且l與C相切,切點為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.3.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50504.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.15.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或6.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要7.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.8.已知數(shù)列的首項,且,其中,,,下列敘述正確的是()A.若是等差數(shù)列,則一定有 B.若是等比數(shù)列,則一定有C.若不是等差數(shù)列,則一定有 D.若不是等比數(shù)列,則一定有9.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.10.已知雙曲線:的焦點為,,且上點滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.511.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y滿足,則的最小值為________.14.割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法,由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立,他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積,從而得出圓周率.現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點,則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________.15.設(shè)實數(shù)x,y滿足,則點表示的區(qū)域面積為______.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當(dāng)最大時,三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為:.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取得最大值時直線的直角坐標(biāo)方程.19.(12分)在銳角中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)當(dāng),且時,求的面積.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點,的頂點也在曲線上運動,求面積的最大值.21.(12分)已知函數(shù)(1)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:22.(10分)在中,角的對邊分別為,若.(1)求角的大小;(2)若,為外一點,,求四邊形面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點到直線的距離從而.令當(dāng)時,;當(dāng)時,故,即的最小值為本題正確選項:【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.2、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.4、A【解析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當(dāng)時,取最大值故選:A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當(dāng),解得
,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時,存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.7、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設(shè)是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設(shè)外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.8、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進行判斷即可.【詳解】A:當(dāng)時,,顯然符合是等差數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;B:當(dāng)時,,顯然符合是等比數(shù)列,但是此時不成立,故本說法不正確;C:當(dāng)時,因此有常數(shù),因此是等差數(shù)列,因此當(dāng)不是等差數(shù)列時,一定有,故本說法正確;D:當(dāng)時,若時,顯然數(shù)列是等比數(shù)列,故本說法不正確.故選:C【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運算能力.11、C【解析】
分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).12、D【解析】
由復(fù)數(shù)除法運算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對應(yīng)點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點,代入即得。【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當(dāng)直線經(jīng)過C點時,直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,是基礎(chǔ)題。14、【解析】
求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積,再用幾何概型公式求出即可.【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形,可分割為12個頂角為,腰為1的等腰三角形,∴該正十二邊形的面積為,根據(jù)幾何概型公式,該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為,故答案為:.【點睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點坐標(biāo),利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎(chǔ)題.16、4【解析】設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)32【解析】
利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三個正數(shù)的基本不等式,構(gòu)造和是定值即可求出的最大值.【詳解】(1)∵,,所以不等式的解集為,即為不等式的解集為,∴的解集為,即不等式的解集為,化簡可得,不等式的解集為,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),等號成立,即,,時,等號成立,∴的最大值為32.【點睛】本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式的靈活運用;其中利用構(gòu)造出和為定值即為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式取最值的條件:一正二定三相等是本題的易錯點;屬于中檔題.18、(1)曲線,曲線.(2).【解析】
(1)用和消去參數(shù)即得的極坐標(biāo)方程;將兩邊同時乘以,然后由解得直角坐標(biāo)方程.(2)過極點的直線的參數(shù)方程為,代入到和:中,表示出即可求解.【詳解】解:由和,得,化簡得故:將兩邊同時乘以,得因為,所以得的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)直線的極坐標(biāo)方程由,得,由,得故當(dāng)時,取得最大值此時直線的極坐標(biāo)方程為:,其直角坐標(biāo)方程為:.【點睛】考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程中的幾何意義求距離的的最大值方法;中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用二倍角公式求解即可,注意隱含條件.(2)利用(1)中的結(jié)論,結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值,又由求出的值,最后由正弦定理求出的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】(1)由已知可得,所以,因為在銳角中,,所以(2)因為,所以,因為是銳角三角形,所以,所以.由正弦定理可得:,所以,所以【點睛】此類問題是高考的常考題型,主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識,同時考查了學(xué)生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能,屬于中檔題.20、(1):,:;(2)【解析】
(1)由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由即可得的底,由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值,即可得解.【詳解】(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為,由得,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線即,圓心到直線的距離,所以,又點到直線的距離的最大值為,所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對任意恒成立等價于對任意恒成立,令,,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(
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