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文檔簡介
2025屆湖北省恩施高級中學(xué)高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.2.已知函數(shù),,若方程恰有三個不相等的實根,則的取值范圍為()A. B.C. D.3.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.4.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.55.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.6.復(fù)數(shù)().A. B. C. D.7.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.8.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.9.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.10.的展開式中的系數(shù)為()A.-30 B.-40 C.40 D.5011.若雙曲線:()的一個焦點為,過點的直線與雙曲線交于、兩點,且的中點為,則的方程為()A. B. C. D.12.運行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.2017二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中的系數(shù)為_________.14.在某批次的某種燈泡中,隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.15.已知橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),四點,,,中恰有三點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點,求的正切的最大值.18.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積;(2)設(shè)曲線與曲線交于,兩點,求.19.(12分)數(shù)列的前項和為,且.數(shù)列滿足,其前項和為.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.20.(12分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.21.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,為橢圓上兩點,圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項.【詳解】因為,由單調(diào)遞增,則(),解得(),當(dāng)時,D選項正確.C選項是遞減區(qū)間,A,B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識.2、B【解析】
由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根,即,①.因為,①式兩邊同除以,得.所以方程有三個不等的正實根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因為,當(dāng)時,,所以在,上單調(diào)遞增,且時,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,且時,.所以當(dāng)時,取最大值,當(dāng),有一根.所以恰有兩個不相等的實根,所以.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時,,由對稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當(dāng)時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查計算能力.4、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.6、A【解析】試題分析:,故選A.【考點】復(fù)數(shù)運算【名師點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式的乘法法則,除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化.7、B【解析】
先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.8、D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點睛】本題考查向量投影的計算,同時也考查利用向量的模計算向量的夾角,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由的解集,可知及,進而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因為,所以的解集為,故選:A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
先寫出的通項公式,再根據(jù)的產(chǎn)生過程,即可求得.【詳解】對二項式,其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令,可得的系數(shù)為;令,可得的系數(shù)為;故的展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解,關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】
求出直線的斜率和方程,代入雙曲線的方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,結(jié)合焦點的坐標(biāo),可得的方程組,求得的值,即可得到答案.【詳解】由題意,直線的斜率為,可得直線的方程為,把直線的方程代入雙曲線,可得,設(shè),則,由的中點為,可得,解答,又由,即,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯(lián)立方程組,合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.12、D【解析】
依次運行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
變換,根據(jù)二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為:,,取和,計算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.14、10【解析】
先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.16、【解析】
先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,,所以.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因為關(guān)于軸對稱,所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設(shè)橢圓上的點(),設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設(shè)).故當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.18、(1);(2)【解析】
(1)利用互化公式,將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形,即可求出面積;(2)聯(lián)立方程組,分別求出和的坐標(biāo),即可求出.【詳解】解:(1)由于的極坐標(biāo)方程為,根據(jù)互化公式得,曲線的直角坐標(biāo)方程為:當(dāng)時,,當(dāng)時,,則曲線與極軸所在直線圍成的圖形,是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形,∴圍成圖形的面積.(2)由得,其直角坐標(biāo)為,化直角坐標(biāo)方程為,化直角坐標(biāo)方程為,∴,∴.【點睛】本題考查利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,以及聯(lián)立方程組求交點坐標(biāo),考查計算能力.19、(1),;(2).【解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式,再利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項公式;(2)運用等差數(shù)列的求和公式,運用數(shù)列的分組求和和裂項相消求和,化簡可得.【詳解】(1)當(dāng)時,,所以;當(dāng)時,,得,即,所以,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,.;(2)由(1)知數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,.,.所以.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用,注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和法和裂項相消求和,考查運算能力,屬于中檔題.20、(1)16;(2)115.【解析】
(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當(dāng)時根據(jù)題意有,共個;當(dāng)時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解:(1)三個數(shù)乘積為有兩種情況:“”,“”,其中“”共有:種,“”共有:種,利用分類計數(shù)原理得:為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有:種.(2)與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有:,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到:,時,應(yīng)滿足,,共個,時,應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,(否則),下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡上式關(guān)系式可以知道:,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,.檢驗:符合題意,共有個,綜上所述:共有個數(shù)對符合題意.【點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數(shù)的運算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意21、(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150,
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