高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系復(fù)習(xí)課課件 新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數(shù)學(xué)課件

第一講坐標(biāo)系復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)回顧坐標(biāo)系的重要知識(shí)點(diǎn).2.進(jìn)一步熟練極坐標(biāo)方程的求法，能熟練進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.能應(yīng)用極坐標(biāo)解決相關(guān)問題，并體會(huì)極坐標(biāo)在解決有關(guān)問題時(shí)的優(yōu)越性.知識(shí)梳理達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引知識(shí)梳理1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.2.極坐標(biāo)系(1)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox，一個(gè)長度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系.O點(diǎn)稱為極點(diǎn)，Ox稱為極軸.平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).ρ稱為極徑，θ稱為極角.(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面上的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ).由圖可知下面的關(guān)系式成立：或順便指出，上式對ρ<0也成立.這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.3.曲線極坐標(biāo)方程的求法求曲線的極坐標(biāo)的方法和步驟，和求直角坐標(biāo)方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標(biāo)(ρ，θ)的關(guān)系式f(ρ，θ)＝0表示出來，就得到曲線的極坐標(biāo)方程.題型探究類型一求曲線的極坐標(biāo)方程例1在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑r＝3.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；解答解設(shè)M(ρ，θ)是圓C上除O(0,0)以外的任意一點(diǎn)，由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)O(0,0)也在此方程所表示的圓上.解答解設(shè)點(diǎn)Q為(ρ1，θ1)，點(diǎn)P為(ρ0，θ0)，反思與感悟求軌跡方程的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法，在極坐標(biāo)中仍然適用，注意求誰設(shè)誰，找出所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)ρ，θ的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作圓ρ＝4sinθ的切線，求切線的極坐標(biāo)方程.解答設(shè)P(ρ，θ)是切線上除點(diǎn)N以外的任意一點(diǎn)，又N(2,0)滿足上式，故所求切線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝2.類型二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2

(2018·全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；解答解由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程.解答解由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓.由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，反思與感悟(1)互化的前提依舊是把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標(biāo)系下取相同的單位長度.(2)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程時(shí)，要注意湊出：ρcosθ，ρsinθ，tanθ，以方便用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)及tanθ＝代入化簡.跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)A，B的直角坐標(biāo)分別為(2,0)，(3，)，求以A為圓心，過點(diǎn)B的圓的極坐標(biāo)方程.解答故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝4x，化簡得ρ＝4cosθ，所以所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.類型三極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用解答解以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.則A，B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(ρ1cosθ1，ρ1sinθ1)，(ρ2cosθ2，ρ2sinθ2).(2)求△AOB面積的最大值和最小值.解答解在△AOB中，OA⊥OB.當(dāng)sin22θ1＝0時(shí)，(ρ1ρ2)2的最大值為a2b2，反思與感悟(1)用極坐標(biāo)解決問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系.建系的原則是有利用極徑、極角表示問題中的量.(2)用極坐標(biāo)解決問題，并不能忽視極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的互化問題.跟蹤訓(xùn)練3用極坐標(biāo)法證明：過拋物線的焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù).證明證明設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，AB是過焦點(diǎn)F的弦，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為ρ.以F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸，建立如圖所示的極坐標(biāo)系.設(shè)A的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)，則B的極坐標(biāo)為(ρ2，θ＋π)，達(dá)標(biāo)檢測1.已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ＝1，ρ＝4cosθ，則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_______.答案12342.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點(diǎn).若△AOB是等邊三角形，則a的值為___.解析答案1234解析由于圓和直線的直角坐標(biāo)方程分別為x2＋y2＝4y和y＝a，它們相交于A，B兩點(diǎn)，△AOB為等邊三角形，12343.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|＝______.答案12344.已知極坐標(biāo)方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6，(1)化C1，C2的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，并分別判斷曲線形狀；解答解由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，所以C1為圓心是(0,0)，半徑是10的圓.所以C2表示直線.1234(2)求C1，C2交點(diǎn)間的距離.1234故直線與圓相交，＝6<r＝