數(shù)學(xué)學(xué)案：圓與圓的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第二章2.3.4圓與圓的位置關(guān)系1．根據(jù)給定的兩圓的方程,會用代數(shù)法和幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系．2．了解兩圓的五種位置關(guān)系，并能運用兩圓位置關(guān)系解決有關(guān)實際問題．圓與圓位置關(guān)系的判定1．幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系____________|r1－r2|＜d＜____________d＜______【做一做1－1】兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關(guān)系是（)．A．相離B．相交C．內(nèi)切D．外切【做一做1－2】已知兩圓的半徑分別為方程x2－7x＋12＝0的兩個根,如果圓心距O1O2＝8，則兩圓的位置關(guān)系是（）．A．外離B．外切C．內(nèi)切D．相交【做一做1－3】兩圓x2＋y2＝r2與(x－2）2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切,則r的值是（）．A．eq\r(5）B．5C．eq\f(\r（5),2)D．2eq\r(5）2．代數(shù)法設(shè)兩圓方程分別為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al（2,1)＋Eeq\o\al（2，1）－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al（2,2)－4F2＞0），聯(lián)立方程得則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點個數(shù)____個____個____個兩圓的位置關(guān)系________或________或____【做一做2】利用代數(shù)法判斷圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0的位置關(guān)系．一些特殊圓的方程的設(shè)法剖析：（1)圓心為定點（a，b）的同心圓系方程為（x－a）2＋(y－b)2＝r2，其中a，b為定值,r是參數(shù)．(2）半徑為定值r的圓系方程為(x－a）2＋（y－b)2＝r2，其中a，b為參數(shù),r＞0是定值．(3)過圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與直線Ax＋By＋C＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(4）過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2:x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圓系中不含圓C2.題型一由兩圓的位置關(guān)系確定參數(shù)問題【例1】已知圓C1:x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0,m為何值時,(1)圓C1與圓C2相外切；（2）圓C1與圓C2內(nèi)含？分析：充分利用兩圓位置關(guān)系的判定公式(幾何法）．反思：圓心距為|C1C2｜，兩圓半徑為r1，r2，則兩圓外切?|C1C2|＝r1＋r2；兩圓內(nèi)含?|C1C2｜＜|r2－r1｜，轉(zhuǎn)化為方程或不等式的問題來解決．題型二兩圓的公共弦問題【例2】已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0。（1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2）求公共弦所在直線的方程；（3）求公共弦的長度．分析:只有當(dāng)兩圓相交時,才能將兩圓方程相減得到公共弦所在直線的方程，并求公共弦的長度．反思：求兩相交圓的公共弦所在直線的方程及公共弦長時，一般不用求交點的方法，常用兩方程相減法消去二次項，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦長．題型三圓與圓的綜合性問題【例3】求圓心在直線x－y－4＝0上,且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程．分析：解法一：先解出圓與圓的交點的坐標(biāo),再利用圓的性質(zhì)與已知條件確定圓心;解法二:解出兩圓交點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法；解法三:設(shè)出符合條件的圓系方程求解．反思:在解有關(guān)圓的問題時,要盡量結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，這樣可減少運算量．解法一側(cè)重于用圓的性質(zhì)；而解法二、三側(cè)重于用方程形式的求解．題型四易錯辨析【例4】已知集合A＝{(x，y）｜x2＋y2＝4｝,B＝{（x，y)｜(x－3）2＋(y－4）2＝a2}，若A∩B中有且僅有一個元素,求a的值．錯解：由題意A∩B中有且僅有一個元素可知兩圓相切，∴O1O2＝5＝a＋2或5＝a－2?！郺＝3或a＝7.錯因分析：把a誤認(rèn)為正數(shù)而導(dǎo)致丟解．1圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是（）．A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切2圓O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圓O2:x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線有(）．A．2條B．3條C．4條D．0條3若a2＋b2＝1，則圓(x－a）2＋y2＝1與圓x2＋（y－b)2＝1的位置關(guān)系為__________．4若圓x2＋y2＝4與x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相內(nèi)切，則a＝__________。5求半徑為1，且與圓x2＋y2＝4相切的動圓圓心的軌跡方程．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．d＞r1＋r2d＝r1＋r2r1＋r2d＝｜r1－r2｜|r1－r2｜【做一做1－1】B【做一做1－2】A由方程x2－7x＋12＝0得兩個根分別為3和4，故兩圓半徑之和為7,而兩圓心之間的距離為8，故這兩圓外離．【做一做1－3】C2．210相交外切內(nèi)切外離內(nèi)含【做一做2】解：聯(lián)立方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＋6y＝0，,x2＋y2－6x＝0,)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(①，②)）①－②得2x＋6y＝0，即x＝－3y。③把③代入①并整理，得y＝0或y＝－eq\f(9，5）。當(dāng)y＝0時，x＝0;當(dāng)y＝－eq\f(9,5)時,x＝eq\f（27，5）。綜上可知，兩圓相交于兩點，這兩點坐標(biāo)分別為(0,0），eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（27,5),－\f(9，5）))。典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：配方得C1：（x－m)2＋（y＋2）2＝9，C2：（x＋1)2＋(y－m）2＝4。(1)由圓C1與圓C2外切，得eq\r（m＋12＋m＋22)＝3＋2。即（m＋1）2＋（m＋2)2＝25，解得m1＝－5,m2＝2。（2)由圓C1與圓C2內(nèi)含,得eq\r（m＋12＋m＋22）＜3－2，即（m＋1)2＋（m＋2)2＜1.解得－2＜m＜－1?！纠?】解:(1)將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1：(x－1）2＋（y＋5)2＝50，C2:（x＋1)2＋（y＋1)2＝10。則圓C1的圓心為(1，－5）,半徑r1＝5eq\r(2),圓C2的圓心為（－1，－1),半徑r2＝eq\r(10）.又|C1C2|＝2eq\r（5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10），r1－r2＝5eq\r（2）－eq\r（10)，∴r1－r2＜｜C1C2｜＜r1＋r2。∴兩圓相交．(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在直線方程為x－2y＋4＝0.（3)解法一：兩方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0,））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①，②))兩式相減得x＝2y－4,③把③代入②得y2－2y＝0，所以y1＝0，y2＝2.故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝0，））eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＝0，,y2＝2。))所以交點坐標(biāo)為（－4，0)和（0，2）．所以兩圓的公共弦長為eq\r（－4－02＋0－22）＝2eq\r(5）。解法二：兩方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減得x－2y＋4＝0，即兩圓相交弦所在直線的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心為C（1,－5)，半徑r＝5eq\r（2).圓心C到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×－5＋4｜，\r（1＋－22））＝3eq\r（5)。設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝eq\r（5），所以公共弦長為2eq\r（5)?！纠?】解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2－4x－6＝0，，x2＋y2－4y－6＝0)）得到兩圓公共弦所在直線方程為y＝x。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x,,x2＋y2－4y－6＝0,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，，y1＝－1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝3，，y2＝3.)）所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點分別為A(－1，－1），B(3，3)，線段AB的垂直平分線方程為y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，,y＝－1，))所以所求圓的圓心為（3,－1），半徑長為eq\r（3－32＋[3－－1］2）＝4。所以所求圓的方程為(x－3）2＋（y＋1)2＝16.解法二：同解法一,求得A(－1，－1)，B（3,3)．設(shè)所求圓的方程為（x－a）2＋（y－b)2＝r2,則由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，，b＝－1，,r2＝16.)）所以所求圓的方程為（x－3）3＋（y＋1）2＝16。解法三：設(shè)經(jīng)過兩圓交點的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1），即x2＋y2－eq\f（4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ）y－6＝0，所以圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ），\f（2λ,1＋λ）））。又圓心在直線x－y－4＝0上，所以eq\f(2，1＋λ)－eq\f(2λ，1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq\f(1,3）.所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.【例4】正解：由A∩B中有且僅有一個元素,可知兩圓相切，∴O1O2＝5＝|a｜＋2或5＝｜｜a|－2｜，解得a＝±3,或a＝±7.綜上，知a的值為±3或±7。隨堂練習(xí)·鞏固1．B2．B由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圓心和半徑分別為O1（－2,2），r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圓心和半徑分別為O2(2，5），r2＝4.因為d(O1,O2)＝5，r1＋r2＝5,即r1＋r2＝d（O1，O2),所以兩圓外切，由平面幾何知識得兩圓有3條公切線．3．相交∵圓(x－a)2＋y2＝1的圓心為(a,0），半徑r1＝1；圓x2＋(y－b)2＝1的圓心為(0,b），半徑r2＝1,∴圓心距d＝eq\r（a2＋b2)＝